Jurl Pedidik Fisik Vol No, Mret 5 ISSN 55-5785 http://jourlui-luddicid/ideksphp/pedidikfisik APLIKASI PROGRAM MATLAB DALAM MEMECAHKAN KASUS FISIKA: DINAMIKA SISTEM MASSA DAN PEGAS (PRINSIP NILAI DAN VEKTOR EIGEN) Muh Sid L Jurus Fisik Fkults Sis d Tekologi UIN Aluddi Mkssr, muhmmdsidlto8@gmilcom Abstrk Softwre Mtlb dipliksik dlm pemech ksus fisik megguk progrm perhitug ili d vektor eige Ksus fisik yg dipechk dlh sutu bed yg bergerk secr osiltor terdiri dri sistem empt mss d empt pegs Tuju pliksi progrm ii dlh utuk meetuk seberp besr simpg pegs, sehigg ili (hrg) d vektor eige dpt diperoleh Metode yg dilkuk dlh memftk persol ili d vektor eige utuk meghitug simpg pegs dlm progrm Mtlb Pd ksus gerk osiltor, peetu besr msig-msig sistem mss d kostt pegs telh ditetpk sesui sistem Persm gerk utuk sistem mss d pegs msigmsig ditiju setip titik mss d fugsi yg diguk dlh q ( t) i jt e, yg disebut sebgi fugsi zts, kemudi didiferesilk du kli terhdp wktu Deg megguk pliksi progrm Mtlb mk hsil yg diperoleh meujukk bhw deg memftk perith eig (eige) progrm mtlb dpt meujukk secr perhitug kurt hsil ruig (eksekusi) ili d vektor eige Kt kuci: Mtlb, dimik, osiltor, simpg, ili d vektor eige Pedhulu Ltr Belkg Dlm kehidup sehri-hri, byk permslh dri feome rel yg dpt dijelsk mellui pembetuk model mtemtik Pd umumy perumus model mtemtik ii berup fugsi Dlm byk ksus, tidk semu model mtemtik tersebut dpt diselesik secr mudh deg megguk metode litik, sehigg diguk metode umerik utuk mecri peyelesiy Metode umerik dlh tekik yg diguk utuk memformulsik persol mtemtik sehigg dpt dipechk deg opersi perhitug tu ritmetik bis (tmbh, kurg, kli, d bgi) Pd umumy metode umerik tidk megutmk diperolehy jwb yg eksk (tept), tetpi megushk perumus metode yg meghsilk jwb pedekt yg berbed dri jwb yg eksk sebesr sutu ili yg merupk glt dri metode yg diguk Nmu demiki, hsil perhitug deg metode umerik cukup dpt memberik solusi pd persol yg dihdpi Slh stu peerp dri metode umerik ii yitu dlm mslh ili eige d vektor eige Metode umerik memberik sutu cr ltertif yg diguk utuk meemuk ili eige d vektor eige dri sutu mtriks Cr yg diguk dlm metode umerik ii termsuk uik kre dlm peyelesiy hy diperluk opersi-opersi ljbr bis Hy sj, dlm peghitugy tidk cukup dilkuk sekli tetpi hrus dilkuk berulgulg smpi ditemuk ili yg koverge ke stu ili yg merupk ili peyelesiy Nili eige byk diguk utuk medptk solusi berbgi bidg Kre permslh ili eige cukup petig keguy, mk berbgi metode yg diguk utuk meemuk ili eige mejdi petig utuk dipeljri Metode umerik memberik sutu cr ltertif yg diguk utuk meemuk ili eige d vektor eige dri sutu mtriks, slh stuy yitu metode pgkt Dlm mecri ili eige d vektor eige megguk metode pgkt, k memerluk proses itersi yg sgt pjg utuk meemuk hsil yg medekti ili yg sebery Semki byk itersi yg dilkuk, mk semki bik hsil yg diperoleh Rumus Mslh Rumus mslh dri peeliti ii dlh: ) Bgim meyelesik persol ili d vektor eige deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb? P g e 89
Jurl Pedidik Fisik Vol No, Mret 5 ISSN 55-5785 http://jourlui-luddicid/ideksphp/pedidikfisik ) Seberp besr ili d vektor eige pd proses pemech ksus dimik (gerk osiltor) sistem mss d pegs deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb? Tuju Peeliti Tuju yg telh dicpi dlm peeliti ii dlh: ) Utuk megethui lgkh-lgkh peyelesi persol ili d vektor eige deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb ) Utuk megethui besr ili d vektor eige pd proses pemech ksus dimik (gerk osiltor) sistem mss d pegs deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb Tiju Pustk Defiisi Nili d Vektor Eige Slh stu peerp mtriks pd persol fisik, dpt dijumpi dlm betuk persm A Deg A = ij dlh mtriks bujur sgkr berorde () d dlh sutu bilg (sklr) Utuk solusi trivil = berppu hrg k memeuhi, d bisy solusi ii tidk byk guy dlm fisik Utuk solusi o-trivil yitu, hrg yg memeuhi persm tersebut disebut ili eige tu ili krkteristik dri mtriks A d solusi yg bersesui deg persm yg diberik A disebut vektor eige tu vektor krkteristik dri A Jik persm tersebut diytk dlm betuk sistem persm yg terpish, misly: tu: Jik rus k dipidhk ke rus kiri, mk persmy mejdi: ( ) ( Metode Jcobi ) ( ) ( ) Slh stu metode utuk memechk persol ili d vektor eige dlh metode Jcobi Metode ii merupk metode betuk digolissi sutu mtriks deg megguk sistem koordit Misl ditetuk koordit du dimesi sebgi berikut: A cos A si si cos () Persm di ts dpt diytk dlm betuk mtriks: A A cos si si cos () tu dpt diugkpk dlm betuk persm secr umum yitu: A T () cos si Mtriks T memiliki mtriks si cos trspose: T cos si T (4) si cos Pd mtriks T persm () d T T persm (4) dpt diperlihtk sift P g e 9
Jurl Pedidik Fisik Vol No, Mret 5 ISSN 55-5785 http://jourlui-luddicid/ideksphp/pedidikfisik perkli mtriks yg disebut mtriks digolmtriks ii dpt diguk utuk persm eige T T T T T T T I tu T T Ksus Fisik: Gerk Osiltor Sistem Empt Mss d Lim Pegs Berikut stu ksus utuk memechk persm dimik pd sistem mss d pegs seperti gmbr dibwh ii Gmbr : Tiju sistem empt mss d lim pegs (Sumber: Dokume pribdi) Tiju pd setip titik mss, diperoleh m q k k k ) q k q k q ( k k k ) q ( 4 4 4 5 4 q kq ( k k) q kq ( k k5) q4 q k4q kq ( k k4) q k5q4 4q 4 k5q4 m m m Fugsi zts yg diguk dlh: jt q ( t) i e deg i =,, ; d j = bilg kompleks berili, dlh simpg pegs Jik fugsi ii didiferesilk du kli terhdp wktu mk diperoleh: jt q ( t) i e Msukk hsil diferesil tersebut kemsigmsig tiju setip titik mss, sehigg dibetuk mejdi: m k k k ) k k ( k k k ) k m ( 4 4 4 5 4 m k ( k k) k ( k k5) 4 m k4 k ( k k4) k54 k 4 k k m m44 k54 Pd ksus sistem mss d pegs dits, k ditetuk msig-msig ili kostt pegs d pegs yg diguk yitu: m = kg; m = kg; m = kg; m 4 = 4 kg ; k = kgn/m; k = k = kgn/m; k 4 = 5 kgn/m d k 5 = 5 kgn/m Msig-msig ili di ts disubtitusi kepersm tiju setip titik mss: k 5 m m 4 55 5 64 4 54 5 45 54 44 54 Dri empt tiju tersebut, mk dpt diytk dlm betuk: A B Deg A 4 55 5 6 d 4 5 B 5 45 5 5 Utuk meetuk ili simpg pegs, dpt dihitug deg megguk persol ili d vektor eige Nili dlh vektor eige Mft Peeliti Peeliti ii bermft bgi mhsisw fisik khususy yg memiti fisik komputsi d komputsi sis di bidg pedidik tu tekologi pedidik Metode Peeliti Pergkt Luk d Kers yg diguk Dlm proses uji pemrogrm komputer yg dilkuk dlm peeliti ii megguk pergkt luk d pergkt kers Proses uji cob dilkuk pd sebuh PC deg itel (R) tom (TM) CPU N7 @,6 GHz 798 MHz deg memori,99 GB Sistem opersi yg diguk dlh Microsoft Widows XP Profesiol SP versio d bhs pemrogrm yg telh diguk dlh pd pliksi metode yitu MATLAB 65 Vribel Peeliti Dt prmeter yg dibutuhk dlh: ) Vribel bebs: ili mss d kostt pegs, kedu prmeter ii sgt diperluk utuk proses pemodel dlm peiju gerk osiltor deg sistem empt mss d P g e 9
Jurl Pedidik Fisik Vol No, Mret 5 ISSN 55-5785 http://jourlui-luddicid/ideksphp/pedidikfisik lim pegs sesui deg ksus yg ditetuk seperti pd gmbr ) Vribel terikt: peetu ili d vektor eige deg megguk pliksi progrm Mtlb ) Vribel kotrol: fugsi yg diguk dlm memechk ksus ii dlh fugsi zts, ksus gerk osiltor deg sistem empt mss d lim pegs yg ditetuk d bhs pemrogrm yg difokusk megguk Mtlb Prosedur Peeliti Prosedur peeliti ii dilkuk sebgi berikut: ) Membut model ksus gerk osiltor deg sistem empt mss d lim pegs seperti pd gmbr di ts, kemudi meetpk msig-msig ili mss d kostty (ili tidk boleh megguk dt ck mu perlu diperhitugk sesui deg tigkt kekurt dt) Meiju setip mss d memodelk kedlm betuk persm diferesil orde du jt ) Megguk fugsi zts q ( t) i e sebgi fugsi pemech ksus d mediferesilk du kli terhdp wktu ) Seljuty hsil diferesil tersebut ke msig-msig persm setip mss (poit b), seljuty mesubstitusi ili mss d kostt pegs kemudi meghitugy d membut model mtriks sebgi lgkh terkhir sebelum msuk dlm proses pembut progrm 4) Dri progrm yg telh dibut mk seljuty me-ruig progrm tersebut deg megiput semu eleme-eleme mtriks tersebut, d lgkh seljuty mecetk kedu mtriks yg pd khiry ili d vektor eige diperoleh 4 Algorim Progrm Tidk Tidk MULAI Sipk rug utuk mtriks A Msukk jumlh bris d kolom Iput eleme mtriks A Cetk Mtriks M Sipk rug utuk mtriks B Msukk jumlh bris d kolom Iput eleme mtriks B Cetk Mtriks B Meetuk vektor eige Lmbd=eig(A) Meetuk vektor eige Omeg= sqrt(oes(,)/lmbd) Tidk Tidk Cetk hsil ili d vektor eige SELESAI P g e 9
Jurl Pedidik Fisik Vol No, Mret 5 ISSN 55-5785 http://jourlui-luddicid/ideksphp/pedidikfisik Gmbr : Skem lgoritm progrm komputsi yg diguk Hsil d Pembhs Deg meliht skem lgoritm progrm seperti pd gmbr, mk dibut mejdi stu progrm komputsi utuk meetuk ili d vektor eige berdsrk ksus fisik berup gerk osiltor deg sistem empt mss d lim pegs, sehigg diperoleh hsil eksekusi iliy Berikut hsil ruig progrm dpt ditmpilk pd jedel commd widow setelh ditek F5 sebgi berikut: + PERSOALAN NILAI DAN VEKTOR EIGEN ================================ + Sipk rug utuk mtriks A Msukk jumlh bris=4 Msukk jumlh kolom=4 #### INPUT ELEMEN MATRIKS A #### A, = A, A, A,4 A, A, A, A,4 A, A, A, = A,4 A4, A4, A4, A4,4 =4 Mtriks A A = 4 Sipk rug utuk mtriks B Msukk jumlh bris=4 Msukk jumlh kolom=4 #### INPUT ELEMEN MATRIKS B #### B, =5 B, =- B, =-5 B,4 =6 B, =- B, =4 B, =- B,4 =5 B, =-5 B, =- B, =45 B,4 =-5 B4, B4, B4, B4,4 =5 Mtriks B B= 5 - -5 6-4 - 5-5 - 45-5 5 ========= Nili Eige ============ lmbd = 9 4 7 ==========Vektor Eige =========== Omeg = P g e 9
Jurl Pedidik Fisik Vol No, Mret 5 ISSN 55-5785 http://jourlui-luddicid/ideksphp/pedidikfisik 879 76876 5869 9649 Dri hsil peetu deg megguk pliksi progrm dpt dikethui bhw ili eige (lmbd) diperoleh 9; ; 4; 7 d vektor eige (omeg) dihsilk 879; 76876; 5869; 9649 4 Kesimpul Berdsrk hsil pemrogrm di ts, mk dpt disimpulk bhw: ) Utuk meyelesik persol ili d vektor eige deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb dpt dilkuk deg memftk perith eig yitu lmbd=eig(a,b) utuk meetuk ili eige d omeg =sqrt (oes(,y)/lmbd) utuk meetuk vektor eige ) Pd proses pemech ksus dimik (gerk osiltor) sistem mss d pegs deg megguk pliksi bhs pemrogrm Mtlb diperoleh besr ili eige = 9; ; 4; 7 d vektor eige 879; 76876; 5869; 9649 Sr dlm peeliti ii, diperluk beberp ksus sistem dimik yg berbed kedy, utuk membdigk sejuh m gerk osiltor tersebut mmpu melkuk osilsi yg diigik Seli itu diperluk pemhm kosep dsr peetu ili eige d vektor eige secr perhitug lgsug tp megguk pliksi bhs pemrogrm 5 Dftr Pustk AMchi, 4, Implemetsi Pedekt Sitifik, Pem Krkter d Koservsi pd Pembeljr Mteri Pertumbuh (Olie), JPPI () (4) 8 5 (http://jourluescid/ju/ idephp/jpii, dikses 9 September 4) Amiuddi, Jmrud 8 Dsr-Dsr Fisik Komputsi Megguk MATLAB Yogykrt: Gv Medi Etter, DM 99 Egieerig Problem Solvig with MATLAB Pretice Hll Eglewood Cliff New Jersey 76 Gicoli, Dougls C, Fisik Jilid Ed 5 Erlgg Jkrt Guidi, AA, 6 MATLAB Progrmmig Bdug: Iformtik Hllidy, Dvid & Robert Resick 99 Fisik Jilid d (Alih bhs: Ptur Silb d Erwi Sucipto), Edisi ke- Jkrt: Erlgg Supriyto Supro, 9, Komputsi utuk Sis d Tekik Edisi Jkrt: Deprteme Fisik-FMIPA, Uiverists Idoesi P g e 94