PENGANTAR TEORI INTEGRAL

Transkripsi

1 BAB 6 PENGANTAR TEORI INTEGRAL Oe c ot uderstd... the uiverslity of lw of ture, the reltioship of thigs, without uderstdig of mthemtics. There is o wy to do it. Richrd P FEYNMAN 6. Pedhul Dlm klkulus sisw mempeljri du mcm itegrl. ilustrsi berikut. ˆ x 3 dx = 4 x4 + C Diperhtik du di m C dlh kostt sebrg, d ˆ 2 [ ] 2 x 3 dx = 4 x4 = ( 2 4 4) = Ekspresi pertm dlh itegrl tktetu (ideite itegrl) tu tiderivtif d ekspresi kedu dlh itegrl tertetu (deite itegrl). Sepits llu kedu betuk ii idetik d teori yg medsriy dlh sm yitu megguk kosep derivtif. Selm puluh thu pr mtemtikw medeisik itegrl tertetu lgsug dri tiderivtif. Pdhl sesugguhy cr ii kurg ps kre dpt meghmbt perkembg teori itegrl itu sediri seperti perh dikemuk oleh Cuchy. Cuchy meliht bhw pegerti itegrl tertetu dpt dipishk dri itegrl tktetu.

2 2 BAB 6. PENGANTAR TEORI INTEGRAL Utuk ii di kembli ke geometri org-org Yui kuo yg meyjik metod meghitug lus derh di dlm kurv tertutup deg pedekt bgu-bgu sederh (persegi pjg, segitig, bujursgkr). Kembli ke cotoh, bhw itegrl berikut ˆ 2 x 3 dx dpt diiterpretsik sebgi lus derh di dlm kurv yg dibtsi oleh grk y = x 3, gris x = d x = 2 sert gris y = (sumbu X). Cry dlh deg membgi itervl [, 2] dlm subitervl [, + ], [+, + 2 ],, [ +, 2]. Seljuty dibgu pr persegipjg deg ls subitervl tersebut. Utuk itu du kemugki dri seki byk kemugki pemilih tiggi persegipjg dlh dimbil ujug kiri d ujug k subitervl seperti disjik pd gmbr berikut. Pd gmbr kiri diperoleh pr persegi pjg deg lebr ls k d tiggi f( + ), k =, 2,, sehigg lus keseluruhy dlh S L = ( + k )3. Gmbr 6.: Ilustrsi proksimsi lus Sedgk pd gmbr k pr persegi pjg tersebut mempuyi lebr ls d tiggi f(+ k ), k =, 2,, sehigg lus keseluruhy dlh S U = ( + k )3. Dpt diphmi bhw lus sesugguhy berd di tr kedu kutits ii. Bil membesr mk kedu kutits ii slig medekti. Perhtik hsil perhitug umerik berikut.

3 6.2. PENDEFINISIAN INTEGRAL S L S U Dpt dimti bhw dri bwh meigkt d dri ts meuru meuju ili 2 x3 dx = 5 4 = Jels, berlku x3 dx Ilustrsi ii medsri pedeisi itegrl tktetu ˆb f(x) dx. (6..) 6.2 Pedeisi Itegrl Pertm-tm, itervl [, b] dipech berdsrk titik-titik prtisi = x < x < x 2 < < x = b sehigg terbetuk subitervl [x, x ], [x, x 2 ],, [x, x ]. Himpu titiktitik π = {x, x, x 2,, x } ii disebut prtisi pd [, b]. Norm (mesh) prtisi π dideisik sebgi π := mx (x k x k ).,2,, Lebr msig-msig subitervl tidk hrus sm. Berdsrk deisi ii mk prtisi miiml memut du titik ujug itervl d b. Cotoh 6.. Mislk I := [, ] mk. π = {, } dlh prtisi pd I deg orm π =. () π 2 = {, 3, 2, } dlh prtisi deg orm π 2 = mx{( 3 ), ( 2 3 ), ( 2 )} = 2. (b) π = {,, 2,, = } prtisi pd I yitu prtisi sergm kre lebr setip subitervly sm. Mesh prtisi ii dlh π =. Byk titik pd prtisi ii bergtug pd N. (c) Q = {, 4, 2 } buk prtisi dikrek titik ujug itervl x = tidk msuk himpu ii. (d) Q = {, 3, 4, } buk prtisi sebb urut := x < x := 3 < x 2 := 4 < x 3 := tidk dipeuhi.

4 4 BAB 6. PENGANTAR TEORI INTEGRAL y=f(x) y=f(x) y=f(x) Gmbr 6.2: Berbgi jumlh Riem Pembhs kosep prtisi lebih detil k diberik pd pokok bhs berikuty. Seljuty dibetuk jumlh berikut. S(π, f) := f(ξ k )(x k x k ) (6.2.) di m ξ k [x k, x k ] disebut lbel (tg) subitervl I k = [x k, x k ]. Ekspresi (6.2.) disebut jumlh Riem (Riem sum). Jumlh Riem ii sesugguhy fugsi dri lbel ξ k. Artiy setip lbel digti mk ili jumlh Riem jug berubh. Iterpretsi beberp jumlh Riem ditujukk pd Gmbr 6.2. Pedeisi itegrl tertetu (6..) seljuty didsrk pd jumlh Riem ii d tidk megguk kosep diferesil sm sekli Metod Cuchy Cuchy medeisik itegrl utuk fugsi kotiu. Bil fugsi f kotiu mk it jumlh Riem (6.2.) d ppu lbel ξ k yg dipilih di dlm I k. Seljuty it jumlh Riem ii dimbil sebgi ili itegrl tktetu (6..). Eksistesi it ii diberik dlm teorem berikut. Teorem 6.. Mislk f fugsi kotiu pd itervl [, b]. Mk terdpt bilg I sehigg setip ɛ > terdpt δ > di m setip prtisi π = { = x, x, x 2,, x = b} deg orm π < δ berlku f(ξ k )(x k x k ) I < ɛ di m lbel ξ k [x k, x k ] dipilih sebrg. Seljuty bilg I pd teorem ii dideisik sebgi ili itegrl tketu, ditulis f(x) dx = I.

5 6.2. PENDEFINISIAN INTEGRAL 5 Bukti. Liht Thomso, Brucker d Brucker (2). Deisi 6.. Berdsrk teorem di ts, itegrl fugsi kotiu dideisik sebgi it jumlh Riem berikut f(x) dx := f(ξ k )(x k x k ). (6.2.2) π Limit ii dimbil utuk orm prtisi meuju ol. Bil π mk. Sebliky, bil belum tetu π. Hl ii dikrek dpt sj pembh titik-titik prtisi hy dilkuk pd beberp subitervl sj. Tetpi dlm ksus prtisi sergm, yitu semu subitervly mempuyi pjg sm mk kedu syrt ii ekuivle, yitu bil hy bil π. Mislk π = {x, x,, x } prtisi sergm pd [, b], yitu I k = (x k x k ) = b := h mk diperoleh titik prtisi x k = + kh, k =,, 2,,. Deg megmbil ξ k sebgi tepi kiri subitervl [x k, x k ], yitu ξ k = x k + (k )h mk berdsrk (6.2.2) diperoleh f(x) dx := π b f(ξ k )(x k x k ) = f( + k (b )). (6.2.3) Formul (6.2.3) k berbed jik dimbil lbel ξ k berbed, misly sebgi tepi k subitervl mu hsil ity k memberik ili yg sm. Cotoh 6.2. Buktik bil f fugsi kost, yitu f(x) = α mk b f(x) dx = α(b ). Bukti. Utuk sebrg prtisi π = {x, x,, x } mk diperoleh jumlh Riem berikut S(π, f) = = α f(ξ k )(x k x k ) (x k x k ) = α(x x + x 2 x + x 3 x x x ) = α(x x ) = α(b ). Kre sebrg prtisi d lbel (ξ k ), S(π, f) = α(b ) tidk bergtug pd mk berdsrk (6.2.2) disimpulk f(x) dx = α(b ).

6 6 BAB 6. PENGANTAR TEORI INTEGRAL Cotoh 6.3. Buktik 2 x3 dx = 5 4 deg megguk prtisi sergm. Bukti. Cukup guk (6.2.2) di m =, b = 2 d f(x) = x 3. Diperoleh b f( + k (b )) = = = f( + k ) ( + k )3 ) k k2 ( k3 3 = k }{{} k k 3 =: p Seljuty deg megguk rumus jumlh k = 2 ( + ), k2 = 6 ( + )(2 + ) d k3 = ( 2 ( + )) 2 mk diperoleh p = ( 2 ( + ) ) ( 6 ( + )(2 + 2) ) + 4 ( 2 ( + ) ) 2 = O( ) = O( ) di m O( ) suku yg didomisi dri ts oleh, yitu O( ) = K utuk sutu kostt K. Mudh ditujukk deg mejbrk semu suku dlm opersi di ts (liht deisi big-o pd bb sebelumy). Diperhtik berlku O( ) =. Akhiry diperoleh ˆ 2 x 3 b dx = = = 5 4. ( O( ) f( + k (b )) ) Cotoh 6.4. Nytk it berikut dlm betuk itegrl pd f ( ) k.

7 6.2. PENDEFINISIAN INTEGRAL 7 Peyelesi. Bdigk deg (6.2.3), diperoleh b = + k (b ) = k Substitusi persm pertm ke persm kedu diperoleh + k = k = b =. Jdi diperoleh f ( ) k = ˆ f(x) dx. Cotoh 6.5. Nytk it berikut dlm betuk itegrl, kemudi hituglh iliy deg klkulus bis. e / + e 2/ + + e ( )/ + e / d { ( + ) 2 + ( + 2) ( + ) 2 }. Peyelesi.. Tulis dulu dlm otsi sigm, diperoleh e k/. Berdsrk cotoh sebelumy betuk ii dpt ditulis dlm itegrl ˆ e x dx, sebb f( k ) = ek/, jdi f(x) = e x. Seljuty diselesik deg klkulus diperoleh e k/ = ˆ e x dx = [e x ] = e e = e.

8 8 BAB 6. PENGANTAR TEORI INTEGRAL 2. Ubh dulu kedlm betuk stdr ( + k) 2 = ( ) 2 = + k ( + ( k ) ( + ) 2 + ( + 2) ( + ) 2 ) 2 = = ( + ( k )) 2. Deg membdigk ii terhdp (6.2.2) mk diperoleh f(x) = (+x) 2, =, b =. Jdi it ii dpt diytk dlm itegrl berikut { } ˆ Seljuty diselesik deg klkulus bis diperoleh ˆ ˆ dx ( + x) 2 = ( + x) 2 d( + x) [ = ( + x) = ( 2 ) = 2. ] ( + x) 2 dx. Bisy proses pembukti itegrl megguk prtisi sergm seperti beberp cotoh sebelumy. Nmu demiki kit dpt jug megmbil prtisi tksergm seperti diberik cotoh berikut. Cotoh 6.6. Hituglh itegrl b xp dx, p deg memech itervl [, b] dlm subitervl [, q], [q, q 2 ], [q, q ] di m q := b. Peyelesi. Perhtik bhw prtisi π = {, q, q 2,, q, q = b} buk prtisi sergm seperti dlm byk cotoh sebelumy. Dimti bhw pjg subitervly membetuk bris geometri, yitu (q ), q(q ), q 2 (q ),. Ii merupk prtisi tksergm. Deg demiki subitervl I k = [q k, q k ] mempuyi lebr I k = x k = q k q k = q k (q ). Kre q = b mk q = b = ( b ) /. Amti bhw bil mk q. Bil q mk lebr subitervl I k sehigg orm prtisi π utuk. Jdi kit dpt meghitug itegrl ii sebgi berikut f(x) dx = f(ξ k ) x k = f(ξ k )q k (q )

9 6.2. PENDEFINISIAN INTEGRAL 9 mk ξ k [x k, x k ] sebrg titik lbel. Utuk kli ii dimbil lbely sebgi ujug k subitervl, yitu ξ k = x k = q k. Diperoleh f(ξ k )q k (q ) = = (q k ) p q k (q ) p+ q kp+k (q ) = p+ q q ( q p+ ) k. } {{ } S Kre p mk S dlh deret geometri deg suku pertm q p+ d rsio r = q p+. Deg megguk rumus jumlh deret geometri diperoleh ( S = qp+ q (p+) ) q ( p+ = qp+ (q ) p+ ) ( q p+ = qp+ (p+) (q ) p+ ) ( q p+ = qp+ (p+) (b) p+ ) q p+. Kemudi disubstitusik ke dlm persm sebelumy, diperoleh f(ξ k )q k (q ) = p+ q q ( q p+ ) k } {{ } S = p+ q q p+ ( (p+) (b) p+ ) q q p+ ( b p+ p+). = qp+ q p q p+

10 BAB 6. PENGANTAR TEORI INTEGRAL Seljuty diperoleh f(x) dx = = q q p+ q p q p+ f(ξ k )q k (q ) ( b p+ p+) = ( b p+ p+) q p+ q p q q p+. }{{} L Hitug dulu ili it L. Kre it ii merupk betuk tktetu mk dpt diguk tur L'Hospitl, yitu Akhiry diperoleh L = q q p+ q p q p+ (p + )q p pq p = q (p + )q p = q p (p + )q = p p + = p +. x p dx = ( b p+ p+) q p+ q p q q p+ }{{} L = ( b p+ p+). p + Perhtik deg sksm bhw metod perhitug di ts tidk berlku jik = sebb prtisi yg dimksud tidk terdeisi.