PENENTUAN ANUITAS JIWA BERJANGKA INDIVIDU KASUS KONTINU MENGGUNAKAN METODE WOOLHOUSE

Transkripsi

1 PENENTUAN ANUITAS JIWA BERJANGKA INDIVIDU KASUS KONTINU MENGGUNAKAN METODE WOOLHOUSE Desi Rtsri, Nev Styhdewi, Shtik Mrth 3,,3 Uiversits Tjugpur, Potik Emil korespodesi : zhcie@gmil.com Auits dlh sergki pembyr dlm jumlh tertetu yg dilkuk setip selg wktu d jgk wktu tertetu secr berkl. Auits diguk dlm sursi jiw d berbgi betuk sursi liy. Usur yg plig petig dlm meghitug besry premi dlm jgk wktu tertetu dlh uits. Metode Woolhouse merupk slh stu metode yg diguk utuk meetuk ili tui uits deg pembyr m kli dlm sethu. Metode Woolhouse diperoleh dri pedekt Euler-Mcluri. Metode Woolhouse ii memberik pedekt peili yg sesui terhdp ili tui uits yg dibyrk secr thu. Lgkh-lgkh dlm peeliti ii dlh meetuk ili tui uits deg pembyr sekli dlm sethu, d meetuk ili tui uits deg pembyr m kli dlm sethu. Berdsrk kedu persm tersebut, dibetuk sutu persm ili tui uits kotiu megguk metode Woolhouse. Seljuty persm tersebut diguk utuk pedekt peili uits. Hsil perhitug meujukk bhw peggu metode Woolhouse ii dpt diguk oleh perush sursi utuk peili ili tui uits khususy uits berjgk. Hl ii dikrek hsil tersebut memberik peili yg sesui terhdp ili tui uits utuk pembyr yg dilkuk beberp kli dlm sethu. Kt Kuci: ili tui uits, formul,euler-mcluri PENDAHULUAN Auits memiliki per yg petig dlm mtemtik keug kre byk sekli pembyr yg dilkuk tidk secr tui. Pembyr cicil rumh misly yg dilkuk secr berthp selm beberp thu. Cr pembyr ii disebut uits. Dlm sursi, uits jug diguk yitu pd pembyr premi yg dilkuk oleh pesert sursi, pembyr pesiu pd pegwi tupu kryw. Secr umum uits dlh sutu pembyr dlm jumlh tertetu yg dilkuk setip selg wktu d jgk wktu tertetu secr berkeljut []. Auits ii serig disebut deg uits psti kre tidk bergtug oleh fktor-fktor yg li, seli tigkt suku bug d jgk wktu pembyr. Auits ii serig ditemui dlm sistem pembyr di perbk d lembg keug liy, seperti pegembli kredit oleh pegmbil kredit kepd bk tu istitusi liy, pembyr bug bul oleh bk, d pembyrpembyr liy. Jdi, per uits sgt petig kre pembyr yg dilkuk k lebih rig dibdigk deg pembyr secr tui.

2 Berdsrk jeisy, uits dpt dibedk mejdi du mcm, yitu uits psti (certi uity) d uits jiw (life uity). Auits psti pembyry dilkuk tp syrt. Sedgk pd uits jiw pembyry berkit deg hidup d meiggly seseorg. Auits jiw merupk sutu pembyr jumlh tertetu yg dilkuk dlm selg wktu d jgk wktu tertetu yg diserti deg fktor kelgsug hidup (survivl). Deg kt li, uits jiw merupk uits psti yg diserti deg fktor kelgsug hidup. Fktor kelgsug hidup sgt diperhtik dlm kturi, kre pembyr d mft yg diberik dlm sursi jiw tu d pesiu berkit deg usi hidup seseorg. Berdsrk sistem pembyry, uits terbgi mejdi du yitu pembyr uits yg dilkuk pd setip wl periode yg disebut uits wl (due uity) d pembyr uits yg dilkuk pd setip khir periode yg disebut uits khir (immedite uity). Didlm uits dpt dibedk jug berdsrk lmy pembyr, pembyr yg dilkuk selm seseorg yg berusi thu msih tetp hidup dimk uits seumur hidup (whole life uity), sedgk pembyr yg dilkuk seseorg yg berusi thu selm jgk wktu tertetu dimk uits berjgk (temporry uity) dlm kotrk sursi bisy jgk wktu yg diguk 5 thu, 0 thu, smpi 0 thu. Auits jiw dpt digmbrk sebgi sutu deret pembyr yg dilkuk oleh seseorg deg usi thu. Ditiju dri sisi mft kemti yg dibyrk terdpt model sursi jiw deg mft kemti yg dibyrk pd wl thu kemti (kotiu) d model sursi jiw deg mft kemti yg dibyrk pd khir thu kemti (diskrit) []. Pd peeliti ii, peulis tertrik membhs bgim peetu ili tui uits jiw berjgk thu deg pembyr m kli dlm sethu utuk idividu deg metode Woolhouse. Peeliti ii bertuju utuk megkji metode Woolhouse dlm meetuk besry ili tui uits jiw berjgk thu deg pembyr m kli dlm sethu. Dlm peeliti ii peulis membhs sursi jiw berjgk thu, pembyr mft kemti dilkuk hy jik pesert sursi meiggl di dlm thu ms kepeserty. Dihitug sejk pesert sursi memutusk terdftr mejdi pesert sursi. Dickso et l., (009) mejelsk terdpt beberp mcm metode tu sumsi yg diguk dlm meetuk ili tui dri uits seperti sumsi Uiform Distributio of Deths (UDD), Metode Woolhouse, d kursi secr umerik. Metode Woolhouse merupk

3 slh stu metode yg diguk utuk meetuk ili uits yg k dibyrk berdsrk pedekt Euler-Mcluri. Peksir yg dilkuk berdsrk metode Woolhouse deg megguk fktor percept mortlit d percept pembug ii efisie dlm meetuk ili tui uits. Pd peeliti ii, peulis tertrik membhs bgim peetu ili tui uits jiw berjgk thu deg pembyr m kli dlm sethu utuk idividu megguk metode Woolhouse. Peeliti ii bertuju megkji metode Woolhouse utuk meetuk perhitug ili tui uits jiw berjgk thu deg pembyr m kli dlm sethu. METODOLOGI Peili ili tui uits difokusk pd uits jiw berjgk thu deg pembyr m kli dlm sethu d uits yg diguk dlh uits kotiu, tbel mortlit yg diguk yitu Tbel Mortlit Idoesi 0 (TMI 0) pd peeliti ii perhitug di khususk utuk pesert sursi pri. Berdsrk rpt Dew Gubeur tggl 8 Oktober 03 smpi deg 4 April 05 tigkt suku bug yg diguk sebesr 7,5%, 7,50% d 7,75%. Peeliti ii dimuli deg meetuk usi pesert sursi yki thu, jgk wktu pembyr ili tui uits selm thu. Seljuty meetuk pelug hidup d mtiy tertggug mellui tbel mortlit. Setelh disumsik tigkt suku bug yg diguk, k ditetuk fktor disko. Seljuty dihitug ili tui uits berjgk utuk pembyr thu. Setelh itu, ditetuk ili tui uits berjgk utuk pembyr m kli dlm sethu deg metode Woolhouse. LANDASAN TEORI Metode Woolhouse dlh slh stu metode yg diguk dlm meghitug ili tui uits dri uits yg dibyrk beberp kli dlm sethu. Metode ii diperoleh dri pegembg formul Euler-Mcluri [3]. Formul Euler-Mcluri dlh slh stu metode itegrsi umerik. Deg megguk metode Woolhouse ii dpt meghsilk pedekt peili utuk ili tui uits dri pesert sursi jiw higg usi yg lebih tu [6]. Khusus dlm peeliti ii hy smpi pd turu pertm rtiy turu kedu d turu tigkt tiggiy dibik. Utuk sutu itegrl fugsi g deg itervl b,, formul Euler-Mcluri diytk sebgi berikut:

4 b N 4 h h gd () h g ( th) g () gb () g'() g'() b g"() g"() b... t0 () 70 deg b h d N dlh bilg bult. N Seljuty k ditetuk ili tui uits deg pembyr sebyk m kli dlm sethu berdsrk pedekt formul Euler-Mcluri, dim pd peeliti ii hy smpi pd turu pertm sj. Sehigg Persm () diytk sebgi berikut: b N h g( d ) h g ( th) g ( ) gb ( ) g'( ) g'( b) t0 () Mislk itervl b, meytk bts wktu pembyr deg dlh wl wktu pembyr d b = khir wktu pembyr, N meytk byky periode pembyr d h meytk besr pembyr tip periode. sehigg deg megguk gris wktu dpt diilustrsik sebgi berikut [6]: Kemudi berdsrk Persm () k ditetuk ili tui uits deg lgkhlgkh sebgi berikut:. Pd lgkh pertm ii, k diytk ili tui uits deg pembyr sekli b 0 dlm sethu, mbil 0, b = N = mk h sehigg diperoleh: N g( d ) gt ( ) g(0) g ( ) g'(0) g'( ) t0 (3) 0 0 Gmbr. Ilustrsi rgki pembyr uits Persm (3) dlh ili tui uits deg pembyr sekli dlm sethu berdsrk formul Euler-Mcluri.. Lgkh kedu utuk ili tui uits deg pembyr sebyk m kli dlm sethu, mbil 0, b = d N = m mk b 0 h sehigg diperoleh N m m g( d ) gt ( ) g(0) g ( ) g'(0) g'( ) m 0 t0 (4) m

5 Persm (4) merupk persm ili tui uits deg pembyr sebyk m kli dlm sethu. Seljuty, kre Persm (3) d Persm (4) mempuyi ili yg kurg lebih sm, sehigg dpt dibetuk: m t0 m t 0 g( t) g(0) g( ) g'(0) g'( ) g( t) g(0) g( ) g'(0) g'( ) tu dpt diperoleh t m m m t0 m t0 m m g gt ( ) g(0) g ( ) g'(0) g'( ) (5) Persm (5) yg diperoleh merupk metode Woolhouse yg diguk utuk meetuk ili tui uits dim pembyry dilkuk sebyk m kli dlm sethu. Mislk terdpt sutu fugsi g() t yg meytk ili tui uits pd wktu t deg pembyr sekli dlm sethu yg diytk deg: t gt () v p (6) t Perhtik bhw g(0), seljuty deg meuruk fugsi gt () d pd st t = 0 diperoleh: g'(0) ( ) (7) Kemudi utuk meytk ili tui uits seumur hidup deg pembyr sebyk m kli dlm sethu, mk Persm (4) dpt ditulis mejdi: tm / t m m v tm / p v tp ( ) m t 0 t 0 m m (8) t/ m v t/ mp diotsik deg m t0 ( m) t v t p diotsik deg t0 Seljuty Persm (8) dpt ditulisk deg: ( m) m m ( ) m m (9) Persm (9) dlh ili tui uits wl seumur hidup utuk seseorg yg berusi thu deg pembyr yg dilkuk sebyk m kli. Seljuty utuk ili tui uits wl seumur hidup utuk pesert sursi berusi + thu dlh ( m) m m ( ) m m (0)

6 Kemudi diytk jug hubug tr uits wl seumur hidup d uits wl berjgk utuk pembyr yg dilkuk sebyk m kli dlm sethu sebgi berikut: v p () ( m) ( m) ( m) : Nili tui uits wl berjgk deg metode Woolhouse dpt diperoleh deg mesubstitusik Persm (9) d (0) ke Persm (), sehigg diperoleh: ( m) m m : : v p v p m m () Hubug tr uits wl berjgk d uits khir berjgk utuk pembyr m kli dlm sethu sebgi berikut: m m : : v p (3) m Kemudi, berdsrk hubug dits dpt diperoleh ili tui uits khir berjgk deg pembyr sebyk m kli dlm sethu selm thu megguk metode Woolhouse yg diytk sebgi berikut: ( m) m m v : : p v p m m (4) Pd uits jiw jug terdpt cr pembyr yg dilkuk secr kotiu. Dlm sethu, dilkuk m kli pembyr deg m deg megguk Persm (9) mk uits seumur hidup yg kotiu diytk sebgi berikut: (5) Mislk jgk pembyr sursi thu, mk uits jiw kotiu utuk uits berjgk diotsik deg utuk m diytk sebgi berikut: utuk m, d deg megguk Persm () : : v p v p (6) Peili ili tui uits berdsrk metode Woolhouse jug memiliki perbed deg peili yg liy, khususy utuk percept mortlits seseorg yg berusi thu. Dim utuk percept mortlits tidk meglmi perubh yg byk tr umur thu d thu, sehigg dpt diytk bhw [3]: deg t, utuk t

7 tu dpt diperoleh p e dt log log p p Pedekt peili ili tui uits deg metode ii diperluk percept pembug, percept mortlits d ili tui uits pembyr thu dri pesert sursi. HASIL DAN PEMBAHASAN Seljuty k diberik ilustrsi peetu ili tui uits jiw berjgk ksus kotiu megguk metode Woolhouse. Dlm peyelesi perhitug megguk Tbel Mortlit Idoesi (TMI) 0 utuk pri d dibtu oleh Microsoft Ecel. Dipliksik pd usi 5 55 thu kre pd umumy usi 5-55 thu usi produktif, sudh hrus muli memperbiki tigkt kehidupy, d memikirk ms depy sert memiliki perlidug sursi utuk memidhk risiko kepd perush sursi. Adpu ilustrsi yg k dibhs dlm peeliti ii dlh peetu uits jiw berjgk pembyr thu sebesr Rp deg jgk wktu pembyr d tigkt suku bug yg sm tetpi usi berbed, ili tui uits jiw bergk pembyr thu sebesr Rp deg usi d tigkt suku bug sm tetpi jgk wktu pembyr berbed, ili tui uits pembyr thu sebesr Rp deg jgk wktu pembyr d usi sm tetpi tigkt suku bug berbed d ili tui uits jiw berjgk pembyr thu sebesr Rp deg jgk wktu pembyr d tigkt suku bug berbed tetpi usi sm. Ksus pertm, seorg pri yg berusi 5 thu megikuti progrm sursi berjgk selm 5 thu, deg tigkt bug yg diberik oleh perush sursi kepd pesert sursi dlh 7,5%. Ak ditetuk ili tui uits berjgk deg pembyr sekli dlm sethu yg k diguk utuk meghitug ili tui uits kotiu megguk metode Woolhouse. Lgkh wl dlm perhitug ili tui uits jiw wl berjgk dlh meetuk fktor disko v. v 0,9303 i 0,075 Kemudi, deg megguk Tbel Mortlit Idoesi 0 pri k ditetuk pelug hidup pesert tersebut yg berusi 5 thu k hidup 0 thu kemudi.

8 l p5 l5 l5 l 0,98649 Kemudi dpt ditetuk ili tui uits wl berjgk sekli dlm sethu. 5:5 N N D , , ,0454 9,4453 Secr log dpt dilkuk perhitug ili tui uits wl berjgk sekli dlm sethu. Secr legkp perhitug ili tui uits wl sekli dlm sethu disjik dlm Tbel. Tbel. Nili Tui Auits Jiw Berjgk Pembyr Thu Sebesr Rp deg Jgk Wktu Pembyr d Tigkt Suku Bug yg Sm tetpi Usi Berbed X : Tbel meujukk ili tui uits berjgk deg pembyr sekli dlm sethu utuk pesert sursi deg usi d tigkt suku bug yg bervrisi tetpi jgk wktu pembyr sm yitu 5 thu, dpt diliht bhw utuk usi yg semki tu mk ili tui uitsy jug semki kecil kre dipegruhi oleh pelug hidup pesert sursi jiw. Seljuty k ditetuk terlebih dhulu percept pembug. i log log,075 0,073 Kemudi percept mortlits berdsrk peili deg metode Woolhouse utuk pesert sursi jiw yg berusi 5 thu. 5 log p4 log p5 0,00084 d percept mortlits higg 5 thu berikuty dlh 45 log p44 log p45 0,0044

9 Seljuty ditetuk ili tui uits berjgk yg kotiu utuk pembyr sekli dlm sethu, deg megguk Persm (8) sebgi berikut: 5:5 D N N D D , , , , , ,0 Setelh meetuk uits berjgk yg kotiu deg pembyr sekli dlm sethu, seljuty ditetuk uits berjgk kotiu megguk metode Woolhouse, berdsrk Persm (34) sebgi berikut: v p v p 5:5 5: ,4453 0, , :5 0,073 0, , , ,073 0,0044 9, 44530, , :5 9,0796 5:5 Secr log dpt dilkuk proses perhitug ili tui uits berjgk pembyr thu d m kli dlm sethu. Secr legkp dpt disjik dlm Tbel. Tbel Nili Tui Auits Jiw Berjgk Pembyr Thu Sebesr Rp deg Usi d Tigkt Suku Bug Sm tetpi Jgk Wktu Pembyr Berbed Woolhouse Woolhouse Woolhouse : Tbel meujukk bhw semki tu usi pesert sursi jiw mk ili tui uitsy semki kecil d utuk jgk wktu pembyr. Kemudi deg usi yg sm semki lm jgk wktu pembyr mk ili tui uits k semki membesr.

10 Peili yg liy dlh semki serig pembyr yg dilkuk dlm sethu, ili tui uits k semki berkurg. Pd perhitug ili tui uis seljuty, k ditetuk ili tui uits berdsrk tigkt suku bug yg bervrisi. Tigkt suku bug yg diguk berdsrk BI Rte dri tggl 8 Oktober 03 smpi deg 4 April 05 yitu 7.5%, 7.50% d 7.75%. Secr legkp perhitug Nili Auits berjgk 0 thu deg pembyr premi sekli dlm sethu berdsrk tigkt suku bug yg yg Berbed dpt diliht pd Tbel 3. Tbel 3 Nili Tui Auits Jiw Berjgk Pembyr Thu Sebesr Rp deg Jgk Wktu Pembyr d Usi Sm tetpi Tigkt Suku Bug Berbed 7.5% 7.50% 7.75% 0 : : : Woolhouse Woolhouse Woolhouse Dpt diliht Tbel 3 perhitug ili tui uits berdsrk metode Woolhouse deg tigkt bug yg berbed meujukk bhw semki tiggi tigkt suku bug yg diberik oleh perush sursi deg jgk wktu pembyr yg sm d usi yg sm mk ili tui uits k semki kecil. Kemudi semki tiggi tigkt suku bug deg jgk wktu yg semki lm utuk usi yg sm, mk ili tui uits mki membesr. Pd perhitug seljuty, k ditetuk ili tui uits jiw berjgk utuk usi 5 thu deg tigkt bug yg berbed. Tigkt bug yg diguk dlh tigkt bug fluktutif. Berdsrk BI Rte dri tggl 8 Oktober 03 smpi deg 4 April 05 yki 7,5%, 7.50%, d 7.75%. Secr legkp perhitug ili tui uits jiw berjgk berdsrk tigkt bug yg berbed dpt diliht pd Tbel 4 berikut: Tbel 4 Nili Tui Auits Jiw Berjgk Pembyr Thu Sebesr Rp deg Jgk Wktu Pembyr Berbed d Tigkt Suku Bug Berbed tetpi Usi Sm 7,5% 7,50% 7,75%

11 : : : Woolhouse Woolhouse Woolhouse Berdsrk Tbel 4 ili tui uits berjgk deg jgk wktu pembyr berbed tigkt suku bug berbed tetpi usi sm meujukk bhw semki besr tigkt suku bug utuk seorg pri berusi 5 thu mk ili tui uity semki murh kre dipeghui oleh pelug hidup seseorg, d utuk jgk wktu yg berbed utuk usi yg sm mk semki lm jgk wktuy mk ili tui uits yg hrus dibyrk semki mhl pul. KESIMPULAN Nili tui uits deg megguk metode Woolhouse merupk ili tui uits deg pembyr yg dilkuk sebyk m kli dlm sethu. Peetu ili tui uits megguk metode Woolhouse memerluk percept pembug, percept kemti d ili tui uits pembyr thu. Metode Woolhouse ii memberik pedekt peili semki tu usi pesert sursi jiw mk ili tui uits kotiu semki kecil. Utuk jgk wktu yg lm mk ili tui uits kotiu semki besr kre dipegruhi oleh pelug hidup pesert sursi jiw d utuk tigkt bug yg diguk, semki besr tigkt suku bug mk ili tui uits semki kecil. DAFTAR PUSTAKA []. Futmi, T., 993, Mtemtik Asursi Jiw, Bgi. Terj. dri Seimei Hoke Sugku, Jok ( 9 Revisio), oleh Herliyto, G. Peerbit Icorported Foudtio Orietl Life Isurce Culturl Developmet Ceter, Jp. []. Bowers, N.L., Geerber, H.U., Hickm, J.C., Joes, D.A. d Nesbitt, C.J., 986, Acturil Mthemtics, Society of Acturies, Schumhurg. [3]. Dickso, D.C.M., Hrdy, M.R d Wters, H.R., 009, Acturil Mthemtics for Life Cotiget Risks, Cmbridge Uiversity Pres, New York. [4]. Sembirig, R.K., 986, Buku Mteri Pokok Asursi, Modul ke -5, Kruik, Uiversits Terbuk, Jkrt. [5]. Kelliso, Stephe G., 99, The Theory of Iterest, McGrw-Hill, New York. Humirh, R., 03, Auits Akhir Megguk Formul Woolhouse Utuk Sttus Hidup Gbug, Fkults MIPA Uiversits Riu, Pek Bru