DISTRIBUSI GAMMA BIVARIAT BERDASARKAN KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA DAN DISTRIBUSI BETA SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1 Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : MURWATI 0901060157 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2013
HALAIVIAN PERSE TUJUAT\I DISTRIBUSI GAMMA BIVARIAT BERDASARKANT KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA DAN DISTRIBUSI BETA SKRIPSI Oleh: MURWATI 0901060157 Skripsi ini disetujui oleh dosen pemhimbing untukdiajukan dan dipertahankan di depan tim penguji Skripsi Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Univercitas Muhammadiyah Purwokerto Mengetahui, Pembimbing I Pembimbing /iir ti aj> ffiy(ekasetvaninssih.m.si llr.ffii hlrk. 2t60037 h[fk.zrcang t l1
Skripsi Berjudul DISTRIBUSI GAMMA BTVARIAT BERDASARKAI\I KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA DAI\ DISTRIBUSI BETA Dipersiapkau dan disusun oleh: MT}RWATI 0901060157 Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 14 Agustus 2013 dan dinyatakan memenuhi syarat untuk diterima sebagai kelengkapan persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Pembimbing 1. Eka Setyaningsih. S.Si.. M.Si NIK.2160109 Dr. H. Akhmad Jazuli. M.Si NIK.2160037 Penguji 1. Erni Widiyastuti. S.Si.. M.Si NtK.2160227 zarul/ 2. Chumaedi Sugihandardji. S,Si.. M.Si NIK.2160127 Purwokerto, 14 Agustus 2013 Universitas Muharnmadiyah Purwokerto Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan s ffi lll
SURAT PERNYATAAN Saya yang bertanda tan gan di bawah ini: Nama Murwati NIM 090 r 060 157 Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Menyusun skripsi dengan judul : DISTRIBUSI GAMMA BIVARIAT BERDASARKAI\I KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GAMMA DAI\[ DISTRIBUSI BETA Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi ini adalatr hasil karya tulis saya sendiri dan bukan dibuatkan orang lain atau jiplakan karya oftmg lain. Bila pernyataan ini tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi termasuk pencabutan gelar kesarjanaan yang sudah saya peroleh. Pnrwokerto, 14 Agustus 2013 Yang menyatakan MURWATI (0e010601s7) 1V a
ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk membangun distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan distribusi Beta serta membangun pdf bersama, ekspektasi, dan kovariannya. Penelitian ini menggunakan metode studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1) Menyelidiki kaitan antara distribusi Gamma dan distribusi Beta. 2) Menelaah Lemma Yeo dan Milne. 3) Membangun distribusi Gamma Bivariat dengan Metode Transformasi Jacobian. 4) Mencari pdf bersama, ekspektasi, dan kovarian dari distribusi Gamma Bivariat yang telah dibangun. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa dapat dibentuk dua distribusi Gamma Bivariat berdasarkan karakteristik distribusi Gamma dan Beta dari dan dengan : a) dan merupakan variabel random yang berdistribusi Gamma dan merupakan varibel random yang berdistribusi Beta; b) dan merupakan variabel random yang berdistribusi Beta dan merupakan varibel random yang berdistribusi Gamma. Selain itu, dapat dibangun pula pdf bersama, ekspektasi, dan kovarian berdasarkan karakteristik masing-masing distribusi Gamma dan distribusi Beta yang disajikan. Kata kunci: Distribusi Gamma, Distribusi Beta, Distribusi Gamma Bivariat, Lemma Yeo dan Milne v
MOTTO ا ن م ع ١ ل ع س ر ي س ر ا ۷ ٦ ف ا ذ اف ر غ ت ف ا ن ص ب Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Maka apabila kamu telah selesai (dari suatu urusan) tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain) Q.S. Al. Insyirah: 6-7 ا ن م ات و ع د و ن ل ت و م ا ا ن ت م ب م ع ج ز ي ن ۴۳۱ Sesungguhnya apapun yang dijanjikan kepadamu pasti datang dan kamu tidak mampu menolaknya Q.S. Al An am: 134 Pertolongan Allah mungkin tidak secepatnya, tapi selalu setepat-nya. Hidup memang indah, tapi akan lebih indah apabila memberikan kebahagiaan kepada orang-orang yang kita sayangi. vi
PERSEMBAHAN Rasa syukur terucap pada-mu Ya Rabb atas berkat dan rahmat-mu skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. Dengan kesungguhan hati, skripsi ini saya persembahkan untuk: 1. Kedua orang tua saya yang telah memberikan dukungan dan doa yang tak pernah henti-hentinya kepada saya. 2. Adik-adik saya tercinta; Bagas Saputra dan Farih Akmal Ghaisan yang selalu memberi semangat dan doa. 3. Nenek dan kakek saya yang sangat saya cintai yang selalu memberikan doa dan dukungan penuh agar skripsi ini cepat terselesaikan. 4. Untuk teman-teman tersayang khususnya teman Kosyandu dan teman dari Prodi Matematika angkatan 2009 yang telah memberikan dukungan selama saya menyusun skripsi ini. vii
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyusun skripsi yang berjudul Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta. Skripsi ini penulis susun sebagai persyaratan akhir untuk memperoleh gelar sarjana di Universitas Muhammadiyah Purwokerto. Dalam penelitian skripsi ini, peneliti banyak mendapatkan bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan yang baik ini, peneliti mengucapkan terima kasih kepada 1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H, M.H, Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 2. Drs. Ahmad, M.Pd, Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas muhammadiyah Purwokerto. 3. Erni Widiyastuti, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 4. Eka Setyaningsih, S.Si, M.Si dan Dr. H. Akhmad Jazuli, M.Si selaku Pembimbing I dan Pembimbing II yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, petunjuk, dan arahan dalam penyusunan skripsi ini. 5. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah memberi bimbingan selama belajar di Universitas Muhammadiyah Purwokerto. viii
6. Semua pihak yang telah memberikan bantuan yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak dan menambah wawasan bagi para pembaca. Purwokerto, Juli 2013 Penulis ix
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN...... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii SURAT PERNYATAAN... iv ABSTRAK... v MOTTO... vi PERSEMBAHAN... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR SIMBOL... xii DAFTAR GAMBAR... xiv BAB 1 PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang...... 1 B. Rumusan Masalah... 4 C. Tujuan Penelitian... 4 D. Manfaat Penelitian... 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA... 6 A. Jumlahan Power Binomial... 6 B. Turunan dan Integral... 7 1. Turunan... 7 2. Integral... 10 C. Beberapa Fungsi Khusus... 13 1. Fungsi Gamma... 13 2. Fungsi Whittaker... 17 3. Fungsi Tricomi... 17 4. Fungsi Gamma Tak Lengkap... 18 5. Fungsi Beta... 19 x
D. Variabel Random Kotinu... 23 1. Variabel Random... 23 2. pdf (Probability Density Function) dan CDF (Cummulative Distribution Function) untuk Variabel Random Kontinu... 24 3. Ekspektasi dan Variansi... 26 4. Momen... 28 E. Distribusi Gamma dan Distribusi Beta... 29 1. Distribusi Gamma... 29 2. Distribusi Beta... 32 F. Distribusi Bersama... 34 1. pdf Bersama... 34 2. pdf Marginal... 35 3. Variabel Random Saling Bebas... 36 4. Ekspektasi dan Produk Momen... 37 5. Metode Transformasi Jacobian... 39 BAB III METODE PENELITIAN... 40 BAB IV PEMBAHASAN... 44 A. Kaitan Antara Distribusi Gamma dan Distribusi Beta... 44 B. Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta... 49 C. Karakteristik Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta... 56 1. pdf Bersama Distribusi Gamma Bivariat Berdasarkan Karakteristik Distribusi Gamma dan Distribusi Beta... 56 2. Ekspektasi dan Kovarian... 77 BAB V PENUTUP... 88 A. Kesimpulan... 88 B. Saran... 89 DAFTAR PUSTAKA... 90 xi
DAFTAR SIMBOL : anggota : himpunan bilangan riil : himpunan bilangan bulat : himpunan bilangan bulat positif : union/ gabungan : nilai mutlak dari : kurang dari : lebih dari : kurang dari atau sama dengan : lebih dari atau sama dengan : ( )( ) ( ) : fungsi Gamma dengan parameter ( ) : fungsi Gamma Tak Lengkap pada interval [ ] ( ) : fungsi Gamma Tak Lengkap pada interval [ ] ( ) : fungsi Beta dengan parameter bentuk dan ( ) : Fungsi Whittaker dari dengan parameter dan ( ) : Fungsi Tricomi dari dengan parameter dan ( ) : nilai ekspektasi dari variabel random ( ) : variansi dari variabel random ( ) : fungsi pembangkit momen dari variabel random ( ) : momen ke- dari variabel random xii
: tak terhingga : negatif tak terhingga : bilangan alam (2,718282 ) xiii
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1. Daerah pengintegralan pada bidang ( )... 11 Gambar 2. Integral lipat dua dengan daerah persegi panjang... 12 xiv