BAB V. SIFAT GELOMBANG DARI PARTIKEL

BAB V. SIFAT GELOMBANG DARI PARTIKEL Bangsa Perancis Louis Victor prince de Broglie (189-1987) menyampaikan ipotesisnya bawa materi memiliki sifat gelombang di samping sifat partikel. Prinsip ini yang merupakan pangkal dari pengembangan mekanika kuantum dari Erwin Scrodinger berkebangsaaan Austria (1887-1961). A. Sifat Gelombang Elektron 1. Gelombang de Broglie de Broglie pada taun 194 menyarankan tentang alasan teoritis yaitu analogi dualitas gelombang partikel poton. Jika panjang gelombang (λ) serta momen tum elektron (p) besaran tersebut diubungkan dalam persamaan sebagai f λ = juga p = 1 p c Persamaan (1) λ merupakan panjang gelombang poton (partikel materi atau panjang gelombang de Broglie). Menurut de Broglie persamaan (1) berlaku untuk semua benda tidak anya elektron saja. Apabila partikel massa m memiliki kecepatan v atau momentum mv seingga panjang gelombang de Broglie menjadi λ = a mv Makin besar momentum partikel, panjang gelombang de Broglie akan semakin pendek. Dalam persamaan (a) dapat berlaku keadaan relativitas untuk massa mo m = 3 1 v / c Dari persamaan (1 atau a) disebut tetapan Planck dan c kelajuan caaya dan f frekuensi poton. Dengan persamaan (3) memberikan bentuk persamaan (a) men jadi λ = Conto 1. 1 v m v o / c Berapaka panjang gelombang de Broglie dari materi a. mobil massa 1000 kg bergerak dengan kecepatan 100 m s -1 b. bola golf massa 46 gram berkecepatan 30 m s -1 c. asap rokok 10-6 gram berkecepatan 1 cm s -1 d. elektron berkecepatan 10 7 m s -1 b

61 Penyelesaian menggunakan persamaan (a) 6,63.10 Js a. mobil λ = = 6,6.10-39 m 3 1 (10 kg) 100 ms 6,63.10 Js b. bola golf λ = 1 (0,046 kg) 30 ms = 4,8.10-34 m 6,63.10 Js c. asap λ = = 6,6.10-5 m 9 1 (10 kg)10 ms Hasil peritungan panjang gelombang mobil, bola golf dan asap terlalu kecil apabila dibanding dengan ukuran bola seingga sebagai akibat perilaku gelombang yang diarapkan tidak terlalu tampak. d. Panjang gelombang elektron karena kecepatan elektron v << c maka nilai massa bukan massa relativitas yaitu 9,1.10-31 kg 6, 63. 10 Js λ = = 7,3.10-11 m 31 7 1 ( 9, 1. 10 kg) 10 ms Karena kecilnya nilai seingga anya partikel ukuran atom (inti atom) yang berperilaku gelombangnya dapat teramati. Hasil peritungan (d) panjang gelombang ampir mendekati ukuran elektron. Misal ukuran jari-jari atom H 5,3.10-11 m seingga diliat dari perbandingan ukurannya tampak dapat berperilaku sebagai gelombang. Conto. Berapa panjang gelombang de Broglie elektron yang memiliki energi kinetik 1 ev? Penyelesaian menggunakan persamaan (). Conto soal ini bukan masala relativitas karena nilai energi diam elektron 5,1.10 5 ev (diketaui 1 ev merupakan nilai yang sangat kecil bila dibanding energi diamnya). Persamaan () λ = dari pernyataan momentum (p = m Ek mv) seingga p = m v p = m Ek. 31 19 1 p = m (Ek) = ( 9, 1)( 10 kg)( 1eV )( 1, 6)[ 10 J ( ev ) ] 6, 63. 10 Js Panjang gelombangnya menjadi λ = 5 1 5, 4. 10 kg ms 1 Jawaban dapat dilakukan dengan p = m (Ek) = c = 5,4.10-5 kg m s -1 = 1,.10-9 m m c ( Ek) seingga 5 pc = ( 5, 1)( 10 ev )( 1eV ) = 1,0.10 3 ev

6 Panjang gelombangnya menjadi λ = Conto 3. c = = p pc 140 ev nm = 1, nm 3 1, 0. 10 ev Sebua poton dan sebua elektron memiliki panjang gelombang sama. Ba gaimana perbandingan momentum linier poton dan elektronnya? Bagimana perbandingan energi total poton dengan partikel? Bagaimana perbandingan energi kinetik poton dengan partikel? Penyelesaian menggunakan persamaan () Persamaan () λ = atau p = pp = pp seingga tinggal mv Energi total poton Ep = f = c = pc energi partikel Ep = m c = p c v c. Energi total partikel > dari energi poton karena umumnya v << c. Energi kinetik poton Ekp = Ep = p c partikel Ekp = ½ m v = p v. Ek parti kel < Ek poton karena umumnya v << c. Hipotesis (de Broglie) menyatakan bawa elektron mempunyai sifat gelombang. de Broglie menunjukkan bawa orbit-orbit Bor, atom H, dapat diperole berdasarkan keadaan keliling orbit. Keliling orbit elektron merupakan kelipatan bulat panjang gelombang. Bila orbit keliling berupa lingkaran seingga terjadi ubungan π r = n λ 4 Selanjutnya persamaan (4) sebagai keadaan gelombang berdiri dengan tali pan- jang (πr ujung terikat). Persamaan (1 dan 4) akan membentuk persamaan n π r = n atau rp = p. Kelajuan Gelombang de Broglie Apabila kecepatan perambatan gelombang de Borglie (w) seingga dalam ge lombang akan terdapat ubungan w = fλ. Energi poton E = f energi partikel E = mc mc ; (f = ) dengan menggunakan persamaan () kecepatan gelombang de Broglie menjadi mc c w = = 6 mv v Karena kecepatan partikel v (nilai v < c) seingga nilai w persamaan (6) akan le- p p 5

63 bi besar c. Analisis tersebut memberikan asil yang tidak terduga. Dengan demikian kita arus membedakan antara kecepatan fase atau kecepatan gelombang dan kecepatan kelompok. Bila kita memiliki dua gelombang berjalan dan melakukan superposisi maka asil superposisinya akan memunculkan pengertian kecepatan kelompok dan fase. Dua gelombang yang memiliki persamaan sebagai berikut Y1 = A Cos (ωt - kx) 7a dan Y = A Cos [(ω + dω) t - (k + dk) x] 7b Superposisi gelombang persamaan (7) yaitu Y = Y1 + Y asilnya menjadi Y = A Cos ½ [(ω + dω) t - (k + dk) x] Cos ½ (dω t - dk x) Nilai dω kecil dibandingkan dengan ω juga dk dengan k seingga dapat diperole anggapan ω ω + dω juga k k + dk. Dengan demikian asil superposisi menjadi Y = A Cos (ωt - kx) Cos ½ (dω t - dk x) 8 Persamaan. (8) menyatakan gelombang berfrekuensi sudut ω dengan angka gelombang k yang termodulasi dengan frekuensi ½ dω dan angka gelombang ½ dk Efek dari modulasi mengasilkan kelompok gelombang. Kecepatan fase (w) memenui ubungan (ωt - kx) = tetap dan jika diferensial menjadi ω dt - k dx = 0 dan kecepatan fase didefinisikan sebagai dx w = = 9 dt k Gelombang pembawa, merupakan kelompok gelombang berjalan dengan memenui persamaan ½ (dω t - dk x) = tetap atau ½ (dω dt - dk dx) = 0. Dengan de mikian jika kecepatan kelompok u didefinisikan sebagai dx d u = = 10 dt dk Frekuensi sudut (ω) angka gelombang (k) gelombang de Broglie dari partikel massa diam mo yang bergerak dengan kecepatan v adala ω = πf. Dengan mc m c memasukkan nilai f = seingga ω =. Dengan demikian frekuensi gelombang de Broglie menjadi mo c ω = 11 1 v / c

64 mv Angka gelombang k = dan lewat persamaan () bentuk k = π seingga menjadi mo v k = 1 1 v / c d / dv Persamaan (10) dibuat u = serta persamaan (11) dibuat menjadi bentuk dk / dv d m = o v dk m dan persamaan (1) 3 / = o. Dengan demi dv ( 1 v / c ) dv 3 / ( 1 v / c ) kian nilai kecepatan kelompok persamaan (10) menjadi u = v 13 Persamaan (1). menyatakan bawa kecepatan kelompok sama dengan kecepatan partikelnya. Conto 4. Kecepatan fase gelombang permukaan air dengan γ tegangan permu- kaan, ρ kerapatan air. Carila bentuk kecepatan kelompok gelombang tersebut! Penyelesaian menggunakan persamaan (9 dan 10) w = serta λ = Kecepatan kelompok Conto 5 d u = seingga u = 3/ dk seingga w = k k k ω = k w atau ω = 3 k g Gelombang merambat dengan kecepatan fase w = dengan g percepat- an gravitasi bumi. Bagaimana bentuk kecepatan kelompok (u) gelombang ini? Nyatakan asil tersebut dalam kecepatan fase! Penyelesaian menggunakan persamaan (9 dan 10) Kecepatan fase w = g g (karena k = ) dan w = seingga = k k k k atau ω = d g g k. Kecepatan kelompok u = = ½ seingga u = ½ w. dk k 3. Kecepatan Kelompok, Fase dan Indeks Bias Kecepatan fase (w = v) dalam ruang ampa berlaku v = (μoεo) -1/, di dalam baan berlaku v = (με) -1/. Indeks bias dinyatakan sebagai n = (μrεr) 1/. Di alam ter

65 dapat baan dispersif dan nondipersif. Baan nondispersif (kecepatan bukan fungsi frekuensi u = w misal ruang ampa). Baan dispersif (kecepatan sebagai fungsi frekuensi u w) serta terdapat dua jenis yaitu normal dispersif dan anomali dispersif. Baan normal dispersif kecepatan fase (w) bertamba dengan bertambanya λ, ( > 0; u < w). Baan anomali dispersif < 0 ; u > w). Jika ω = π f dw dw d d dv dv seingga ω = k v persamaan (10) u = v + atau u = v - λ dk d B. Sifat Gelombang Partikel 1. Partikel dalam Kotak Gerak terbatas di dalam kotak dengan persyaratan atau anggapan, -. dinding kotak cukup keras seingga tumbukan partikel dengan dinding lenting sempurna l Gambar 1 -. Kecepatan gerak partikel jau lebi kecil dari kecepatan caaya. Gerak partikel (sebagai gelombang) di dalam kotak diasumsikan sebagai gelombang berdiri sebagai akibat pantulan gelombang (partikel) dengan dinding kotak dapat dianggap pantulan dalam ujung terikat. Jika partikel dalam kotak panjang kotak seingga panjang gelombang de l Gambar Broglie ( ) yang mungkin adala n n = n Persamaan (14) n merupakan bilangan bulat 1,, 3..... dan seterusnya. Dari persamaan (1 dan 14) memberikan formulasi momentum lini er yang mungkin dalam kotak menurut de Broglie menjadi pn = = n n p Energi kinetik Ek = dari persamaan (1) karena partikel dalam model seper mo ti ini tidak memiliki energi potensial, seingga energi yang dimiliki arus bernilai En = n 16 8mo Persamaan (16) menyatakan tingkat energi yang diijinkan serta n disebut bilangan 14 15

66 kuantum. Persamaan (16) menyatakan bawa partikel di dalam kotak tidak dapat memiliki energi sembarang seperti partikel bebas. Gelombang partikel dalam kotak, panjang gelombang atau energi tertentu pula seubungan dengan λ. Conto 6. Berapaka energi sebua elektron di dalam kotak panjang 10-10 m Penyelesaian menggunakan persamaan (16) En = n ( 6, 66. 10 js) = 6,0.10-18 n J = 38 n ev 31 10 8 ( 9, 1. 10 kg)( 10 m) Energi minimum yang arus dimiliki elektron yang bersesuaian untuk n = 1, adala 38 ev, n = adala 15 ev Conto 7. Benda massa 1,5 μg bergerak diantara dua dinding terpisa 0,1 mm. Benda tersebut menempu kedua dinding diperlukan waktu 10 detik. Berapa bilangan kuantum yang dimiliki benda dalam gerakan tersebut? Penyelesaian menggunakan persamaan (16). s 10 4 m v = = = 8,33.10-7 m s -1 dengan demikian E = Ek = ½ mv set 10s ingga menjadi E = ½ (1,5.10-9 kg)( 8,33.10-7 m s -1 ) = 5,.10 - J 9 4 8 ( 1, 5. 10 kg)( 5,. 10 J)( 10 m) Persamaan (14) n = = 3,8.10 14 ( 6, 63. 10 Js) Bilangan ini sangat besar tidak mungkin terjadi daera pembicaran kuantun fisik. Prinsip Ketidakpastian Heisenberg Partikel yang bergerak (dipandang memiliki gelombang de Broglie) dan partikel dianggap berada pada posisi tertentu di dalam gelombang kelompok. Jika kita ingin mengetaui secara tepat letak partikel maka kita perlu mempersempit kedudukan partikel dalam kelompok gelombangnya. Dengan demikian, kedudukan partikel tertentu dengan tepat dapat ditemukan, tetapi panjang gelombangnya sulit ditentukan keberadaannya. Terdapat ubungan timbal-balik antar ketidakpas- tian posisi yang ineren Δx dari pertikel yang bersangkutan dengan momentumnya yang ineren Δp. Semakin kecil Δx maka semakin besar nilai Δp dan sebaliknya. Superposisi dua gelombang sera dengan ω dan k yang sedikit berbeda akan mengasilkan sederet gelombang kelompok. Hubungan antara jarak Δx dan pe-

67 lebaran Δk bergantung pada bentuk gelombang kelompok serta bergantung pada definisi Δx dan Δk yang diperlukan. Hubungan perkalian ketidakpastian Δx dan Δk dinyatakan sebagai. Δx Δk ½ 17 p Persamaan (1) memberartikan nilai angka gelombang k = π seingga ketidakpastian Δk dalam gelombang de Broglie dengan ketidakpastian momentum Δp dalam partikel menjadi Δp = Δk akibatnya lewat persamaan (17) menjadi Δx Δp 18 4 Persamaan (18) menyatakan ketidakpastian yang disampaikan ole Werner Heisenberg (1901 1976) pada taun 197. Prinsip ketidakpastian dapat didekati dari berbagai ara. Poton memiliki sifat gelombang, dengan demikian kedudukan elektron Δx tidak dapat ditentukan dengan ketelitian yang lebi kecil dari panjang gelombang yang dipakai kira-kira nilai λ (dengan kata lain Δx λ). Δx merupakan nilai ketidakpastian dalam nilai x yang dapat diamati. Semakin pendek nilai λ semakin kecil juga nilai ketidakpastian Δx untuk elektron tersebut. Setiap poton memiliki momentum /λ dan bila poton tersebut bertumbukan terjadi perubaan momentum (perubaan momentumnya Δp = /λ dan nilai Δp merupakan ketidakpastian dari p). Kedua persamaan di atas menyatakan bila λ pendek akan diasilkan Δx kecil tetapi Δp besar. Sebaliknya bila λ besar diasilkan Δp kecil tetapi Δx besar. Jika kedua persamaan digabungkan dengan mengingat persamaan (1) akan diasilkan bentuk Δp Δx 19 Persamaan (19) lebi biasa dipakai dari persamaan (18) karena batas bawa / sangat jarang dipenui. Conto 8. Inti atom berjari-jari 5.10-15 m. Lewat prinsip ketidakpastian, tentukan batas bawa energi elektron, yang arus dimiliki untuk dapat menjadi partikel penyusun

68 inti atomik! Penyelesaian menggunakan persamaan (18) Dengan mengambil nilai Δx = 5.10-15 m seingga nilai ketidak pastian 1 Δp 4 x 6, 63. 10 Js 1 = 11.10-1 kg ms -1 15 4 ( 3, 14) 5. 10 m Nilai 11.10-1 kg ms -1, merupakan ketidakpastian momentum elektron dalam inti. 0rde momentum (p) arus besar paling sedikit sama dengan 11.10-1 kg ms -1. Elektron dengan momentum 11.10-1 kg ms -1 akan memiliki Ek jau lebi besar dari energi diamnya (mo c ). Energi (pc) seingga E (11.10-1 kg ms -1 )(3.10 8 m) 33.10-13 J. Energi elektron agar dapat menjadi partikel dalam inti, arus berenergi > 3.10-14 J. Dari eksperimen elektron dalam atom mantap tidak memiliki energi kurang dari 3.10-14 J seingga dapat disimpulkan tidak ada elektron dalam inti. Conto 9. Atom idrogen jari-jari 5,3.10-11 m gunakan prinsip ketidakpastian untuk memperkirakan energi elektron yang dapat dimiliki ole atom. Penyelesaian menggunakan persamaan (18) 1 Persamaan (18) Δp 4 x 6, 63. 10 Js 1 99.10-6 kg ms -1 11 4 ( 3, 14) 5, 3. 10 m Elektrom yang memiliki momentum 99.10-6 kg ms -1 (berkelakuan sebagai partikel klasik) seingga Ek = ½ mv p 6 1 99. 10 kg m s = ½ = ½ m 31 9, 1. 10 kg = 5,4.10-19 J = 3,4 ev. Catatan. Ek elektron pada tingkat terenda dalam atom idrogen 13,6 ev. 3. Pemakaian Prinsip Ketidakpastian Bentuk ketidakpastian pengukuran energi E yang diradiasikan pada selang waktu Δt dalam proses atomik. Bila gelombang kelompok dapat dianggap sebagai 1 satu gelombang frekuensi Δf dalam pengukuran Δf seingga ketidakpastian t energi ΔE Δf menjadi ΔE atau ΔE Δt 0a t Peritungan yang teliti persamaan (0a) berdasarkan sifat gelombang kelompok terkoreksi menjadi

69 ΔE Δt 4 Persamaan (0b) merupakan bentuk ketidakpastian energi dan waktu Conto 10. Elektron tereksitasi, kelebian energinya berupa poton. Periode rata-rata berlangsungnya eksitasi atom dan saat meradiasikannya 10-8 s. Berapaka ketidak pastian energi dan waktu? Penyelesaian menggunakan persamaan (0) 6, 63. 10 Js ΔE = 5,3.10-7 J. 8 ( 4 ) 10 s gelombang datang E Ketidakpastian frekuensi menjadi Δf Δy y 7 5, 3. 10 J gelombang bias = = 8,0.10 8 Hz. 6, 63. 10 Js θ Partikel lewat suatu cela, jika lebar ce Gambar 3. 0b la Δy dengan jara antar cela y. Misal elektron jatu pada cela, secara tegak lurus rus, seingga memiliki ketidakpastian Δy. Pola difraksi minimum pertama terjadi pada sudut θ yang diberikan sebagai dalam bentuk persamaan Sin θ =. Bila y sudut θ kecil seingga nilai Sin θ = θ serta λ = /p. Akirnya kita dapatkan bentuk persamaan θ = 1 p y Nilai tersebut diitung ketidakpastian Δp, kita ketaui komponen orisontal elektron. Dalam masala tersebut komponen momentum vertikal p. Jangkauan mi nimum pertama θ arus p θ = p Persamaan (1 dan ) diperole Conto 11. Δp Δy = 3 Buktikan prinsip ketidakpastian dapat dinyatakan dalam bentuk ΔL Δθ 4 ΔL menyatakan ketidakpastian momentum sudut Δθ menyatakan ketidakpastian posisi sudut.

70 Penyelesaian menggunakan persamaan (18) Δx r Δθ Gambar 4. Conto 1. Δ x = r Δθ, L = m v r serta ΔL = m Δv r. x Δx Δp atau r m Δv akirnya Δθ Δp 4 r 4 4 Posisi sudut akan menjadi tertentu ketika Δθ π dalam al ini berlaku Δ L (π) akirnya ΔL 4 8 Energi 1 ev elektron dapat ditunjukkan berkecepatan,05.10 6 ms -1. Asumsikan anda dapat mengitung kelajuan, dengan ketepatan 1,5 %. Dengan ketepatan tersebut anda secara simultan mengitung momentum elektron? Penyelesaian menggunakan persamaan (18) p = mv = (9,11.10-31 kg)(,05.10 6 ms -1 ) = 1,87.10-4 kg m s -1 Ketidakpastian momentum 1,5 % akan sama dengan (1,5 %)(1,87.10-4 kg m s -1 ) atau sama dengan,80.10-6 kg m s -1 Δx = p = 6,63. 10 Js =,4.10-8 m -6 1,80.10 kgm s