Vol. 3, No., 7-79, Januai 7 Model Matematika Sistem Pesediaan (Q, R) Yang Tekait Dengan Mutu Baang Dan Infomasi Pemintaan Lengkap Agus Sukmana Abstact This pape deals with an inventoy model fo continuous eview (Q, ) whee thee ae some popotions of defective items in the odeed items. The numbe of defective items in a lot vay and it is assumed that thei popotions follow a beta distibution. Lead time demand is a andom vaiable, its distibution and paametes ae known. This model also accommodates a condition whee lost sales and back ode policy ae implemented in one cycle with diffeent popotions of defective items. Numeical example is also given fo illustation. Keywods: continuous eview, defective items, full demand infomation, inventoy. 1. Pendahuluan Tujuan dai pengelolaan pesediaan adalah untuk memenuhi pemintaan pelanggan dengan ekspektasi biaya pengelolaan yang minimun. Ada bebeapa sistem pesediaan yang dikenal satu diantaanya adalah jenis continuous eview. Sistem pesediaan ini memantau tingkat pesediaan dai waktu ke waktu secaa teus meneus. Pengadaan baang sejumlah Q dilakukan bila tingkat pesediaan (on-hand inventoy) mencapai titik (disebut titik pemesanan kembali). Titik ditentukan dengan mempehitungkan pemintaan selama waktu (L) menunggu baang yang dipesan tiba. Selanjutnya model sistem pesediaan tesebut dibei nama model pesediaan (Q, ). Besanya pemintaan meupakan vaiabel acak, bila distibusi dan paametenya diketahui, disebut infomasi pemintaan lengkap. Dai sejumlah Q unit baang yang tiba dai hasil pemesanan sebelumnya tidak seluuhnya bemutu baik. Untuk memastikan mutu baang dilakukan pemeiksaan (inspeksi) tehadap seluuh Q unit baang tesebut. Misalkan tedapat y unit yang cacat, maka hanya Q-y unit tesedia untuk memenuhi pemintaan peiode beikutnya. Poposi baang cacat untuk setiap lot bebeda dan meupakan vaiabel acak. Gamba 1 membeikan ilustasi tingkat pesediaan baang dai waktu ke waktu. Pada siklus yang petama, pesediaan baang sebanyak dapat memenuhi pemintaan yang pobabilistik selama waktu tunggu L. Sedangkan pada siklus ke- dan ke-3 pemintaan lebih besa dai sehingga tejadi kekuangan pesediaan (tingkat pesediaan negatif). Ada kebijakan bila tejadi kekuangan pesediaan. Kebijakan petama disebut back ode, pelanggan besedia menunggu sampai baang datang dan sebagai kompensasi dibeikan sejumlah uang (peusahaan membaya penalti). Kebijakan kedua disebut lost sales, pelanggan tidak besedia menunggu dan membatalkan pembelian baang seta peusahaan tetap dikenai penalti (biasanya penalti untuk lost sales lebih tinggi dai penalti untuk back ode kaena mempehitungkan kehilangan kesempatan untuk mempeoleh keuntungan). Pada siklus yang kedua tejadi kekuangan Staf pengaja pada Juusan Matematika Univesitas Paahyangan Bandung, e-mail : asukmana@home.unpa.ac.id
71 pesediaan dan pelanggan besedia menunggu sampai baang yang dipesan tiba. Segea setelah baang tiba, pemintaan tesebut dipenuhi dan tingkat pesediaan baang pada awal siklus beikutnya kuang dai Q unit. Pada siklus ke-3 tejadi kekuangan pesediaan dan pelanggan tidak besedia menunggu dan membatalkan pemesanan sehingga tingkat pesediaan pada awal siklus ke-4 sebesa Q. Tingkat Pesediaan (uni L Q 1 3 4 Makalah ini akan membahas model matematika untuk sistem pesediaan (Q,) dengan mutu baang yang tidak seluuhnya baik. Distibusi pemintaan yang dibahas adalah nomal dan eksponensial. Model juga mempetimbangkan kebijakan lost sales dan back ode dapat muncul besamaan dalam satu siklus dengan poposi tetentu. Uutan pembahasan sebagai beikut: fomulasi model, optimasi model dengan tujuan mencai nilai vaiabel keputusan yang optimal,dan contoh pehitungan seta analisisnya. Sistem pesediaan continuous eview dibahas antaa lain pada: [Hopp,1996] dan [Hadley,1963]. Pengembangan menjadi model (Q,,L) antaa lain oleh [Ben-Daya,1999] untuk L deteministik dan distibusi pemintaan nomal, sedangkan [Fenny, 4] untuk distibusi eksponensial. Model (Q,,L) dengan baang cacat dibahas [Wu, 1], [Sukmana,dkk 5] membahas model untuk infomasi pemintaan lengkap dan pasial.. Fomulasi Model.1 Notasi-notasi Waktu Notasi-notasi yang digunakan adalah sebagai beikut: D : Rata-ata banyak pemintaan pe tahun. A : pengadaan baang pe siklusnya h : simpan baang baik pe unit pe tahun h : simpan baang cacat pe unit pe tahun. (h <h) Q : Banyak baang yang dipesan dalam satu kali pemesanan. Y : Banyak baang cacat, bedistibusi Binomial(Q,p) p : poposi baang cacat p [,1 ), bedistibusi Beta. : Titik dimana pada saat tingkat pesediaan mencapai titik dilakukan pemesanan. L : Waktu pengiiman baang ( lamanya waktu antaa pemesanan dan baang tiba). : Poposi tejadinya back ode, dan 1- adalah poposi lost sales, [,1]. : denda / penalti yang haus dibaya kaena tejadi kekuangan pesediaan. : Kesempatan untuk mendapatkan keuntungan yang hilang kaena lost sales. v : pemeiksaan pe unit.
7 X : Rata-ata pemintaan selama waktu ancang (vaiabel acak). x : max{x,}. Model Pesediaan Ekspektasi biaya total pesediaan petahun diasumsikan tedii dai komponenkomponen: biaya pemesanan, biaya simpan baang bemutu baik, biaya simpan baang cacat, biaya kekuangan pesediaan, dan biaya pemeiksaan (inspeksi). Selama selang peencanaan setahun, ata-ata banyaknya siklus adalah 1 ET ( ) dengan ata-ata panjang setiap siklus adalah: E Q Y E T (1) D Beikut akan dibahas uaian masing-masing komponen biaya: pemesanan pemesanan petahun dihitung bedasakan ekspektasi fekuensi pemesanan selama satu tahun dikalikan dengan biaya (tetap) untuk setiap kali melakukan pemesanan. D A = D A () E Q Y Q E( Y ). simpan baang mutu baik untuk menyimpan baang bemutu baik petahun dihitung bedasakan pekalian ekspektasi banyaknya baang yang disimpan dalam satu siklus dengan ekspektasi fekuensi pemesanan dalam satu tahun dan biaya simpan baang pe unit petahun sama dengan: ( Q Y) Q Y D E. L 1 E X.. h D E( Q Y) Q QE( Y ) E( Y ) = h h[ L (1 ) E( X ) ] (3) ( Q E( Y )) di mana ( 1 ) E( X ) adalah banyaknya baang yang dikembalikan akibat pelanggan membatalkan pesanan (lost-sales). simpan baang cacat yang dikeluakan untuk menyimpan sementaa baang cacat hasil pemeiksaan sebelum dikembalikan kepada pemasok pada siklus beikutnya dihitung bedasakan ekspektasi jumlah baang usak dikalikan biaya simpan baang usak peunit petahun: ( Q Y ) D E( Y ) E( Y ) E Q h' = h' Q h' (4) D E( Q Y ) Q E( Y ) Q E( Y ) kekuangan pesediaan untuk membaya denda akibat peusahaan tidak dapat memenuhi pemintaan. Pada kasus lost-sales juga kehilangan kesempatan untuk mempeoleh keuntungan kaena pelanggan membatalkan pesanan. Ekspektasi biaya kekuangan petahun adalah: D E X D 1 = 1 E X (5) E Q Y Q E Y pemeiksaan (inspeksi)
73 yang haus dikeluakan untuk memeiksa kualiatas baang yang dipesan. Ekspektasi biaya pemeiksaan petahun adalah: DvQ DvQ = (6) EQ Y Q EY Sehingga ekpektasi biaya total petahun dapat ditulis: AD h Q E QY E Y EAC( Q, ) h. L 1 E X E Q E Y E Q E Y EY EY D 1 E X h' Q h' EQ EY EQ EY EQ EY DvQ (7) E Q E Y Banyaknya baang usak (Y) meupakan vaiabel acak bedistibusi Binomial dengan paamete Q dan p, sedangkan poposi baang usak (p) untuk setiap lot bebeda-beda mengikuti distibusi tetentu, sehingga ekspektasi Y adalah: E Y p QE p (8) dan vaiansi Y adalah: Va Y p QE p 1p (9) atau E Y Q E p QE p 1 p (1) Diasumsikan p bedistibusi Beta(s, dengan ataan E( p) s ( s dan vaiansi Va( p) st s t ( s t 1) Subsitusikan pesamaan (8) dan (1) ke pesamaan (7), menjadi pesamaan: AD h Q E p E p E p1 p EAC Q, Q 1 E p Q 1 E p 1E p 1E p E p1 p h. L 1 E X h' Q 1 1 E p 1 E p E p D 1 E X Dv (11) Q 1 Pesamaan (11) memuat bentuk E ( X ) yang begantung pada distibusi pemintaan. 3. Optimisasi 3.1 Distibusi Nomal Bila pemintaan bedistibusi nomal dengan ataan (mean) L L dan simpangan baku L L maka titik pemesanan kembali ditulis:
74 L k L. Ekspektasi jumlah kekuangan dinyatakan dalam pesamaan : E X X f X, dx, (1) Vaiabel x diubah menjadi t menggunakan tansfomasi t ( x L) L, sehingga: L L E( X ) ( t L L ) f ( t L L,,1) Ldt (13) Misalkan t ( L) L substitusikan L L kedalam (13), maka E( X ) ( t ) L f ( t L L,,1) Ldt (14) Vaiabel X diubah menjadi vaiabel t, sehingga pesamaan (14) menjadi: dengan Jacobian 1 (15) E( t ) ( t ) L f ( t L L,,1) J Ldt J dx dt L Sehingga dapat ditulis : E( t ) L ( t ) f ( t L L,,1) dt (16) Kaena t bedistibusi Nomal baku maka (16) dapat ditulis : E( t ) L ( t ) ( dt L t( dt ( dt dengan (.) fungsi kepadatan peluang nomal baku. Pesamaan (17) disedehanakan: Bukti: (17) ( i ) t ( dt ( ) (18a) (ii) ( dt [1 ( )] ( ) (18b) (i). E( t ( dt t( dt t( dt sehingga, t ( dt t( dt dengan () t fungsi kepadatan nomal baku. t 1 t ( dt te t Misalkan u, maka: dt
75 (ii). ) dt ( dt atau 1 u 1 u t( dt e du e ( ) ( t ( dt 1 ( dt 1 ( dt ( ) dimana ( ) ( dt fungsi distibusi kumulatif nomal baku Substitusikan kedalam (17), dipeoleh: E( t ) L( ) (19) dengan ( ) ( ) ( ). Kemudian substitusikan kedalam pesamaan (11). Nilai Q dan yang meminimumkan biaya, dicai melalui tuunan petama dan kedua dai ekspektasi total biaya EAC(Q,) tehadap vaiabel Q dan k. dan EAC( Q, k) AD h E p E p = 1 E p Q Q 1 E p 1 E p D 1 E p1 p L k h' Q 1 E p 1 E p EAC Q k AD D 3 3, [ (1 )] L ( k) Q Q [1 E( p)] Q [1 E( p)] sehingga untuk suatu nilai k yang tetap, ekspektasi biaya total adalah fungsi konveks. Dai pesamaan () dipeoleh nilai Q yang optimal adalah: Q * DA 1 L k 1 ' 1 h E p E p h E p p Dengan menggunakan atuan Leibnit pada pesamaan (1) dipeoleh: E ' ( X ) X f X L L dx,, f X,, L L dx = - P ( k ) () dimana k PZ k dan Z adalah vaiabel acak dai distibusi Nomal baku. P () (1)
76 Tuunan petama tehadap k adalah: EAC Q, k D 1 1 L h L h LP k P k k Q 1 E p kemudian disedehanakan menjadi: h P k (3) D h1 Q 1 E 1 p Kemudian dicai nilai k yang optimum yang memenuhi pesamaan () dan (3), hasilnya * * digunakan untuk mencai optimum menggunakan umus L k L. Solusi pesamaan () dan (3) tidak mudah diselesaikan secaa langsung, tetapi cukup mudah diselesaikan secaa iteatif menggunakan algoitma beikut: Algoitma : 1) Mulai dai 1 k s, hitung nilai dai ) Hitung Q1 dengan menggunakan pesamaan (1). 3) Substitusi nilai 1 4) Nilai 1 menggunakan pesamaan (19) k 1 Q ke dalam pesamaan (3) dipeoleh nilai dai P k. P k digunakan untuk mencai nilai dai k yang dipeoleh dai nilai inves dai 1- P k pada distibusi nomal baku. Ulangi langkah 1) - 4) sampai dipeoleh nilai Q dan k yang hampi tetap, nilai tesebut menjadi * * Q* dan k* optimal, nilai * dihitung menggunakan umus L k L. 3. Distibusi Eksponensial Bila pemintaan bedistibusi Eksponensial dengan paamete,nilai Q* memenuhi : 1, _ D Fexp L Q (4) _ h 1 E p 1 1 F exp, L dengan _ 1 F exp, L exp[ ] dx (5) L L Sedangkan nilai * memenuhi pesamaan: _ 1 1 1 1, exp g A E X h E p F L _ h D 1 Fexp, L 1 E p E p h ' E p 1 p 1 1 E X e dan..l dimana 1 (6)
f(x) Winoto Buwono, Agus Sukmana 77 4. Contoh Numeik Data di bawah ini akan diteapkan ke dalam model untuk dianalisa : D = 6 unit/tahun; A = $ untuk setiapkali pesan; h = $ peunit/tahun; v = $1.6 peunit ; h = $1 peunit petahun; = $5 pe unit; = $15 pe unit; L = 4 dan 8 minggu. Poposi baang cacat p diasumsikan bedistibusi Beta(3,1), sehingga p, p, 5 E. Gamba mempelihatkan peluang tebesa tejadi disekita p=,. Gafik Distibusi Beta (3, 1) E dan 4 3 1 4.1 Distibusi Nomal Gamba. fungsi kepadatan peluang Beta (3,1) Semakin besa poposi pelanggan yang memilih kebijakan backode (yang memilih kebijakan lost-sales semakin kecil) dapat menuunkan nilai *, ini tejadi kaena penalti untuk backode lebih kecil dibandingkan lost-sales. Sedangkan biaya total semakin menuun, akibat langsung dai menuunnya biaya simpan. Lamanya waktu tunggu bepengauh lebih besa pada * dibandingkan dengan Q*, kaena tingkat pesediaan * dipesiapkan untuk memenuhi kebutuhan selama waktu tunggu, peningkatan sebesa kali untuk waktu tunggu meningkatkan * hampi dua kalinya (lihat Tabel 1) Tabel 1. Hasil pehitungan untuk pemintaan bedistibusi Nomal β poposi Back ode L Q* * Pesan Simpan Kekuangan Total 8 17 134 379.55 163.96 139.8 4683.33 4 13 76 466.83 1959.37 99. 455.41.1 8 17 134 378.88 15. 141. 467.1 4 13 75 466.35 195.89 1. 4517.46. 8 17 133 378.14 138.91 14.8 4659.84 4 13 75 465.81 1941.58 11.35 458.73.3 8 17 13 377.3 14.39 144.58 4646.7 4 13 74 465.19 1931.8 1.6 4499.9.4 8 18 131 376.33 18.15 146.63 4631.1 4 13 74 464.49 1919.75 14.9 4488.33.5 8 18 131 375.1 89.75 149.3 4613.98 4 13 73 463.66 196.69 15.81 4476.16 Sambungan Tabel 1...4.6.8 1 x
78 β poposi Back ode L Q* * Pesan Simpan Kekuangan Total.6 8 18 19 373.86 68.56 151.89 4594.3 4 13 7 46.68 1891.65 17.85 446.18.7 8 18 18 37.1 43.66 155.4 4571.8 4 13 71 461.48 1873.97 11.37 4445.81.8 8 18 16 37.1 13.59 159.87 4543.58 4 13 7 459.95 185.61 113.57 446.1.9 8 18 14 367.3 1975.8 165.87 459. 4 133 69 457.89 185.78 117.87 441.54 1 8 19 1 363.5 195.5 174.6 4463.35 4 133 67 454.9 179.3 14.13 4369.6 4. Distibusi Eksponensial Kaakteistik model untuk distibusi pemintaan eksponensial hampi sama dengan distibusi pemintaan nomal yang telah dijelaskan pada bagian sebelumnya. Sedangkan pebedaannya teletak pada nilai Q* dan * yang nilainya hampi dua kali lipat nilai untuk distibusi nomal. (lihat tabel ) Tabel. β poposi backode L Q* * Pesan Simpan Kekuangan Total 8 34 33 184.9 795.83 179.3 176.36 4 177 174 139.76 4416.7 91.74 7458.1.1 8 34 315 1839.99 6949.4 1791.68 158.9 4 178 17 139.57 4343.81 9.9 7385.6. 8 35 38 1839.647 679.1 1793.38 143.3 4 178 166 139.34 464.63 9.96 736.94.3 8 35 99 1839. 6615.74 1795.41 15.36 4 178 16 139.8 4178.4 93.74 7.86.4 8 35 89 1838.7 643.7 1797.9 159.86 4 178 157 138.75 48.46 94.71 715.9.5 8 35 79 1838.6 68.38 18.99 9847.4 4 178 15 138.35 3975.83 95.9 7.8.6 8 35 66 1837.4 5965.1 184.95 967.31 4 178 146 137.84 3855.6 97.4 69.5.7 8 36 5 1836.15 5684.86 181.1 9331. 4 178 139 137.15 3716.5 99.45 6763.13.8 8 36 36 1834.65 5354.9 1817.51 96.45 4 178 131 136. 3553. 91.4 661.65.9 8 37 16 183.4 4951.6 188.36 861.5 4 178 11 134.83 3354.61 916.36 645.8 1 8 39 19 188.8 4434.8 1846.15 819.75 4 179 18 13.58 311. 93.8 6156.88 5. Penutup 5.1 Kesimpulan - Distibusi pemintaan sangat bepengauh tehadap nilai Q dan yang optimum. - Distibusi pemintaan menentukan ataan jumlah kekuangan pesediaan E ( X ) sebagai konsekuensinya untuk setiap distibusi memelukan umus tesendii untuk mencai Q dan
79 yang optimum (bandingkan umus (3) untuk distibusi nomal dan (6) untuk distibusi eksponensial yang memiliki bentuk yang sangat bebeda). - total bekuang seiing meningkatnya poposi backode. 5. Saan pengembangan Dalam paktek tidak telalu mudah untuk mengenali distibusi pemintaan dan juga menuunkan umus-umusnya. Oleh kaena itu pelu dikembangkan model sedehana untuk mengakomodasi bebagai kasus distibusi pemintaan tetapi memiliki solusi yang cukup dekat pada solusi eksaknya. Dafta Pustaka [1] M. Ben-Daya dan M.Haiga, 1999, Some Stochastic Inventoy Models with Deteministic Vaiable Lead Time, Euopean Jounal of Opeational Reseach, 113, p. 4-51. [] W.Buwono, 5, Model pesediaan (Q,, L) untuk poduk yang memuat baang cacat dengan infomasi pemintaan lengkap, Skipsi Juusan Matematika Univesitas Paahyangan. [3] W.J. Hopp, dan M.L. Speaman, M.L., 1996, Facto Physics: Foundations of Manufactuing Management, Richad D. Iwin. [4] A.Sukmana, W.Buwono, Y.Aman, dan Fenny, 5, Model Matematika untuk Sistem Pesediaan (Q,,L), dipesentasikan pada Semina Nasional Matematika 5 di Univesitas Pendidikan Indonesia Bandung, Agustus 5 [5] K.S. Wu dan L.Y. Ouyang, 1, (Q,,L) Inventoy Model with Defective Items, Computes and Industial Engineeing, 39, p.173-185 [6] Fenny, 4, Model Pesediaan (Q,, L) dengan Infomasi Pemintaan Lengkap dan L Deteministik, Skipsi Juusan Matematika, Univesitas Paahyangan.