QUATERNION AND IT S PROPERTIES Muh. Irwan Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Info: Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Edisi: Januari Juni 015 Artikel No.: 3 Halaman: 16-0 ISSN: 355-083X Prodi Matematika UINAM ABSTRAK Bilangan quaternion merupakan perluasan bilangan kompleks,sehingga sifat-sifat yang berlaku pada bilangan kompleks juga berlaku pada bilangan quaternion kecuali sifat komutatif terhadap operasi perkalian. Pada penelitian ini diperlihatkan beberapa sifat quaternion seperti modulasi, konjugasi serta perkalian bilangan quaternion dengan suatu fungsi eksponensial yang merupakan fungsi yang bernilai quaternion. Yang selanjutnya dapat diterapkan pada bidang-bidang tertentu. Kata Kunci: Bilangan kompleks, Quaternion 1. PENDAHULUAN Sistem bilangan dalam ilmu matematika merupakan suatu hal yang mendasar untuk diketahui. Berbagai jenis bilangan seperti bilangan genap, ganjil, prima, komposit, bilangan asli, bilangan nol, bilangan cacah, sampai pada bilangan riil dan imajiner. sedangkan gabungan antara bilangan imajiner dan bilangan riil dikenal dengan nama bilangan kompleks. Sehingga dapat dikatakan bahwa Bilangan kompleks marupakan bilangan yang terluas dari sistem bilangan. Oleh karena itu, tidak salah jika bilangan kompleks memiliki penjelasan yang tidak sedikit dalam matematika dan terapannya. Seperti, geometri, vektor fungsi, matriks dan lain-lain. Bilangan kompleks memiliki banyak diantaranya dalam bidang fisika, kimia, komputer, statistika dan lain sebagainya. Salah satu perluasan bilangan kompleks adalah bilangan quaternion. Bilangan quaternion pertama kali diperkenalkan oleh Sir William Rowman Hamilton pada tahun 1805-1865. Perbedaan bilangan quaternion dengan bilangan kompeks terletak pada bagian imejiner, dimana bagian imejinernya ada tiga bagian yang merupakan kombinasi linear antara satu dengan yang lain. Seperti bilangan kompleks, bilangan quaternion juga memiliki peranan penting dalam berbagai bidang ilmu seperti kimia, fisika pemrosesan gambar dan signal, komputer grafik, dan kompressi data. Beberapa penelitian telah dilakukan di antaranya, The maximal and minimal ranks of a quaternion matrix expression with applications yang diteliti oleh somaye dkk. pada tahun 013, penelitian berikutnya The general quaternionic M J sets on the mapping z z α + c (α N), pada tahun 007 oleh wang Xing yuan dan sun yuan-yuan. Penelitian berikutnya pada tahun 008 yang berjudul The Colombeau Quaternion Algebra Cortes yang ditulis oleh w. ferrero m.a., dan juriaans s.o. Dari berbagai penelitian di atas sehingga pada penelitian ini akan dibahas tentang sifat-sifat bilangan quaternion. TINJAUAN PUSTAKA a. Bilangan Kompleks Definisi.1 Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari bilangan riil (a, b) atau a + bi, dimana i = 1. Berdasarkan definisi di atas, jika a = 0 dan b 0 maka bilangan kompleks disebut bilangan imajiner murni, jika x = 0 dan y = 1 disebut satuan imajiner. Karena Bilangan kompleks merupakan perluasan dari bilangan riil, sehingga semua operasi seperti penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian yang berlaku pada bilangan riil juga berlaku pada bi langan kompleks. Misalkan, z 1 = a 1 + b 1 i, dan z = a + b i, sehingga 16
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Ed. Jan-Juni 015 z 1 ± z = (a 1 ± b 1 i) + (a ± b )i = (a 1 ± a ) + (b 1 ± b )i (.1) Dari operasi di atas, maka diperoleh bahwa (a 1 ± a ) adalah bagian riil dan (b 1 ± b ) adalah bagian imajiner.langan kompleks. Selanjutnya, perkalian bilangan kompleks z 1 z adalah z 1 z = (a 1 + b 1 i)(a + b i) = (a 1 a y 1 y ) + i(x 1 y + y 1 x ) (.) Sedangkan pembagian z 1 oleh z, dengan z 0, z 1 = a 1 + b 1 i z a + b i = a 1a + b 1 b a + b + i(b 1a a 1 b ) a + b (.3) Definisi. Konjugate bilangan kompleks Jika z = a + ib bilangan kompleks maka konjuget dari z dituliskan dengan didefinisikan dengan z = a bi. b. Bilangan Quaternion z dan Himpunan bilangan quaternion dituliskan dengan simbol H sebagai penghargaan bagi Sir William Roman Hamilton, dimana elemenelemen dari bilangan quaternion merupakan kombinasi linear dari bilangan skalar riil dan tiga bagian imajiner i, j dan k yang dituliskan sebagai H = {q = q 0 + iq 1 + jq + kq 3 q 0, q 1, q, q 3 R}. (.4) Jika q dan q 3 bernilai nol maka persamaan (.4) merupakan suatu bilangan kompleks. Sedangkan jika q 0 = q 1 = q = q 3 = 0, maka persamaan (.4) merupakan elemen identitas penjumlahan quaternion. Jika q 0 = 1, q 1 = q = q 3 = 0 maka persamaan (.4) disebut elemen identitas perkalian quaternion (J.P. Morais, dkk. 01). Selanjutnya, persamaan (.4) dapat dituliskan menjadi q = Sc(q) + q, (.5) Dalam hal ini Sc(q) = q 0 adalah bagian skalar dari q, dan q = iq 1 + jq + kq 3 sebagai bagian vektor (vector part) dari q. Perkalian elemenelemen dari suatu bilangan quaternion berdasarkan aturan Hamilton dapat dituliskan sebagai i = j = k = ijk = 1. jk = kj = i, ij = ji = k dan jk = kj = i. (.7) (.6) Secara singkat dapat dituliskan dalam bentuk tabel sebagai berikut, 1 i j k 1 1 i j k i i 1 k j j j k 1 i k k j i 1 Dapat diperhatikan bahwa operasi penjumlahan dan pengurangan quaternion dilakukan seperti pada operasi penjumlahan dan pengurangan suku banyak. Jika p, q H dengan p = p 0 + ip 1 + jp + kp 3 dan q = q 0 + iq 1 + jq + kq 3 dimana p 0, p 1, p, p 3, q 0, q 1, q, q 3 R maka p + q = (p 0 + q 0 ) + i(p 1 + q 1 ) + j(p + q ) + k(p 3 + q 3 ). (.8) Dengan cara yang sama, operasi pengurangan pada bilangan quaternion p q = (p 0 q 0 ) + i(p 1 q 1 ) + j(p q ) + k(p 3 q 3 ). (.9) 17
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Ed. Jan-Juni 015 Selanjutnya, operasi perkalian p dan q dilakukan berdasarkan perkalian polinom yaitu pq = p 0 q 0 p. q + p 0 q + q 0 p + p q, (.10) dimana p. q = (p 1 q 1 + p q + p 3 q 3 ) adalah hasil kali titik (dot product) dan p q = i(p q 3 p 3 q ) + j(p 1 q 3 p 3 q 1 ) + k(p 1 q p q 1 ). Hasil perkalian pq dengan qp tidak selalu sama, ini karena perkalian silang dari p dan q tidak komutatif. Sehingga dapat dikatakan bahwa pq = qp jika dan hanya jika p 0 = q 0 dan p = q. Definisi.. Untuk sebarang p H dengan p = p 0 + ip 1 + jp + kp 3 dimana p 0, p 1, p, p 3 R, konjugasi dari p adalah p = p 0 + ip 1 + jp + kp 3 = p 0 ip 1 jp kp 3. (.11) Dan modulo p dituliskan dengan p dan didefinisikan sebagai p = p 0 + p 1 + p + p 3 (.1) 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas tentang beberapa sifat bilangan quaternion. Teorema 3.1 (dekomposisi bilangan quaternion) Misalkan q = q 0 + iq 1 + jq + kq 3, maka q dapat didekomposisi menjadi q = q + + q = 1 (q + iqj) + 1 (q iqj), dari dekomposisi ini sehingga q ± = {q 0 ± q 3 + i(q 1 q )} 1 ± k (3.1) q ± = 1 ± k {(q 0 ± q 3 ) + j(q q 1 )}(3.) Berdasarkan sifat nonkomutatif terhadap perkalian maka persamaan (3.1) dan (3.1) dibuktikan dengan menguraikan dekomposisi quaternion, q ± = 1 (q ± iqj) = 1 {(q 0 + iq 1 + jq + kq 3 ) ± i(q 0 + iq 1 + jq + kq 3 )j} = 1 {(q 0 + iq 1 + jq + kq 3 ) ± (ijq 0 + i(ij)q 1 + kjq + (ikj)q 3 )} Dengan menggunakan persamaan (.6), persamaan (3.3) menjadi (3.3) q ± = 1 {(q 0 + iq 1 + jq + kq 3 ) ± (kq 0 + ikq 1 + kjq + q 3 )} = 1 {(q 0 ± kq 0 ) + (iq 1 ± ikq 1 ) + (jq ± kjq ) + (kq 3 ± q 3 )} = 1 {(q 0 ± kq 0 ) + (iq 1 ± ikq 1 ) + ( ikq ± k( ik)q + (kq 3 ± q 3 )} 18
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Ed. Jan-Juni 015 = 1 {(q 0 ± kq 0 ) + (iq 1 ± ikq 1 ) + ( ikq ± ( i)q ) + (kq 3 ± q 3 )} = 1 {q 0(1 ± k) + iq 1 (1 ± k) iq (1 ± k) ± q 3 (1 ± k)} (1 ± k) = ((q 0 ± q 3 ) + i(q 1 q )). Dengan cara yang sama dilakukan untuk membuktikan persamaan (3.) yaitu q = 1 (q iqj) = 1 {(q 0 + iq 1 + jq + kq 3 ) i(q 0 + iq 1 + jq + kq 3 )j} = 1 {(q 0 + iq 1 + jq + kq 3 ) (ijq 0 + i(ij)q 1 + kjq + (ikj)q 3 )} = 1 {(q 0 + iq 1 + jq + kq 3 ) (kq 0 + ikq 1 + kjq + q 3 )} = 1 {(q 0 kq 0 ) + (iq 1 ikq 1 ) + (jq kjq ) + (kq 3 q 3 )} = 1 {(q 0 kq 0 ) + (iq 1 ikq 1 ) + ( ikq ( i)q ) + (kq 3 q 3 )} = 1 {q 0(1 k) + iq 1 (1 k) ± iq (1 k) q 3 (1 k)} (1 k) = ((q 0 q 3 ) + i(q 1 ± q )). Jadi Teorema 3.1 terbukti. Teorema 3. Quaternion modulus Misalkan q = q 0 + iq 1 + jq + kq 3, dan p = p 0 + ip 1 + jp + kp 3, maka pp = p pq = p q (3.4) Dengan menggunakan persamaan (.11) persamaan 3.4 (i) menjadi, pp = (p 0 + ip 1 + jp + kp 3 )(p 0 ip 1 jp kp 3 ) = p 0 i p 1 j p kp 3 = p 0 + p 1 + p + p 3 Berdasarkan definisi modulasi pada persamaan (.1) maka diperoleh pp = ( p 0 + p 1 + p + p 3 ) = p Selanjutnya, bagian (ii) dibuktikan dengan menggunakan persamaan (.11) dan dan (.1), 19
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Ed. Jan-Juni 015 p q = ( p 0 + p 1 + p + p 3 ) ( q 0 + q 1 + q + q 3 ) = p 0 q 0 + p 1 q 1 + p q + p 3 q 3 = (p 0 q 0 ) + (p 1 q 1 + (p q ) + (p 3 q 3 ) dengan menjabarkan persamaan.10, diperoleh p q == (p 0 q 0 ) + (p 1 q 1 + (p q ) + (p 3 q 3 ) = pq Teorema 3.3 Misalkan p = p 0 + ip 1 + jp + kp 3, bilangan quaternion murni dan f(x) = e ix fungsi eksponensial dengan x R maka pf(x) = e ix (p 0 + ip 1 ) + e ix (jp + kp 3 ) (3.6) pf(x) = (p 0 + ip 1 + jp + kp 3 )e ix = (p 0 + ip 1 )e ix + (jp + kp 3 )e ix. Dengan menggunakan rumus Euler e ix = cos(x) + i sin(x), pf(x) = (p 0 + ip 1 )(cos(x) + i sin(x)) + (jp + kp 3 )(cos(x) + i sin(x)) = (p 0 (cos(x) + i sin(x)) + ip 1 (cos(x) + i sin(x))) + Karena ij = ji dan ki = ik, persamaan menjadi jp (cos(x) + i sin(x)) + kp 3 (cos(x) + i sin(x)) pf(x) = (cos(x) + i sin(x))(p 0 + ip 1 ) + (cos(x) i sin(x))(jp + kp 3 ) Dengan menggunakann kembali rumus Euler, diperoleh pf(x) = e ix (p 0 + ip 1 ) + e ix (jp + kp 3 ) Terbukti teorema 3.3. 4. KESIMPULAN Berdasarkan hasil penelitian telah dibuktikan beberapa sifat quaternion yang dapat digunakan untuk analisis lebih lanjut seperti Analisis Transformasi Fourier, Transformasi Kanonikal Linear dan lain sebagainya. 5. DAFTAR PUSTAKA Morais, J.P., Geogiev S., Sprosieg, W. 01. Real Quaternionic Calculus Handbook. Springer Basel: Hidelberg New York London. Bahri, M., Irwan, M., Toaha, S., dan Saleh, M. 014. Correlation Theorem for Two-Sided Quaternion Fourier Transform. Applied Mathematical Sciences. 41: 1999-005. Hitzer, E. M. S. 013. Quaternion Fourier Trasform on Quaternion Field and Generalization. Advance Applications of Clifford Algebras. 17: 1-0. 0