Materi Mekanika Rekayasa 4 Statika : 1. Deformasi pada Konstruksi Rangka atang : - Cara nalitis : metoda unit load - Cara Grafis : - metoda welliot - metoda welliot mohr 2. Deformasi pada Konstrusi alok dan Portal : - Metoda unit load - Metoda luas momen (moment area) - Metoda conjugated beam 3. Konstruksi Statis Tak Tentu : - Metoda persamaan 3 momen - Metoda consistent deformation I. DEFORMSI TITIK SIMPUL DRI STRUKTUR RNGK TNG Struktur Rangka atang adalah suatu struktur yang terdiri dari batang-batang kaku yang satu sama lain dihubungkan dengan sendi dan membentuk suatu struktur yang kokoh dan stabil yang terdiri dari bentuk dasar segitiga. atang-batang tersebut hanya mengalami gaya tarikan dan gaya desakan (tekan) yang disebut gaya normal akibat adanya gaya luar P yang bekerja di titik-titik simpulnya maupun akibat perubahan temperatur pada batang-batangnya. Dengan adanya gaya normal tersebut, yang dalam hal ini disebut gaya dalam, maka batang-batang kaku dari Struktur Rangka atang tersebut akan berubah panjangnya, bisa bertambah panjang (akibat gaya normal tarik) atau bertambah pendek (akibat gaya normal tekan ). esarnya perubahan panjang batang tersebut dipengaruhi oleh luas penampang batang, besarnya gaya batang, panjang batang serta modulus elastisitas batang, dimana jika dirumuskan adalah sebagai berikut : ΔLi = Si x Li i x Ei, dimana : ΔLi = Perubahan panjang batang (satuan : m, cm) Si = Gaya batang yang bekerja ( satuan : ton, kg ) Li = panjang batang (satuan : m, cm) i = Luas penampang batang (satuan m 2, cm 2 ) Ei = modulus elastisitas batang, berdasarkan sifat bahan (ton/m 2, kg/cm 2 ) kibat perubahan panjang pada batang-batang kaku tersebut, maka titik simpulnya akan berubah letaknya, baik dalam arah horizontal maupun arah vertical. Untuk mencari perpindahan titik-titik simpul tersebut digunakan dua metoda yaitu metoda analitis dan metoda grafis sebagai berikut : I. 1. Metoda Unit Load (nalitis) Pada penggunaan metoda unit load ini, dalam 1 perhitungan hanya bisa digunakan untuk menghitung deformasi pada satu titik simpul saja, caranya yaitu untuk menghitung deformasi dalam arah vertikal pada suatu
titik simpul, kita berikan beban sebesar 1 satuan beban vertikal pada titik simpul yang akan dicari deformasinya. Selanjutnya, dihitung besarnya gaya-gaya batang akibat beban 1 satuan vertikal tersebut yang disimbulkan dengan αi. Masing-masing nilai gaya batang akibat beban 1 satuan tersebut (αi) dikalikan dengan masingmasing nilai perubahan panjang batang ΔLi baik akibat beban luar maupun akibat perubahan suhu. Jumlah dari masing-masing perkalian tersebut ( αi x Li ) merupakan nilai defleksi di titik simpul tersebut (dalam arah vertical). Jika hasilnya positip maka arah defleksinya sesuai dengan arah beban 1 satuan vertical yang diberikan, jika bernilai negatif maka defleksinya berlawanan dengan arah beban 1 satuan vertical yang diberikan. Demikian pula untuk menghitung deformasi dalam arah horizontal, kita berikan beban 1 satuan horizontal pada titik simpul yang akan dicari deformasinya. Selanjutnya, dihitung besarnya gaya-gaya batang akibat beban 1 satuan horisontal tersebut yang disimbulkan dengan αi. Masing-masing nilai gaya batang akibat beban 1 satuan tersebut (αi) dikalikan dengan masing-masing nilai perubahan panjang batang ΔLi baik akibat beban luar maupun akibat perubahan suhu. Jumlah dari masing-masing perkalian tersebut ( αi x Li ) merupakan nilai translasi di titik simpul tersebut (dalam arah horisontal). Jika hasilnya positip maka arah translasinya sesuai dengan arah beban 1 satuan horizontal yang diberikan, jika bernilai negatif maka translasinya berlawanan dengan arah beban 1 satuan horizontal yang diberikan.
I.2. Metoda Grafis kibat perubahan panjang batang, ada yang bertambah panjang untuk batang tarik dan ada yang bertambah pendek untuk batang tekan, maka secara logika titik-titik simpul pada konstruksi rangka batang akan mengalami deformasi atau perpindahan titik. Untuk mencari deformasi pada setiap titik simpul pada konstruksi rangka batang dengan metoda grafis ada 2 metoda yaitu welliot dan welliot-mohr. Metoda welliot bisa diterapkan pada konstruksi rangka batang statis tertentu dimana antara tumpuan sendi dan tumpuan roll dihubungkan hanya dengan 1 batang saja atau pada konstruksi rangka batang yang bersifat simetris. I.2.1. Mencari deformasi titik-titik simpul pada konstruksi rangka batang statis tertentu dengan metoda welliot. Sebelum menggambar lukisan welliot, kita terlebih dahulu perlu mencari besarnya perubahan panjang masingmasing batang akibat beban-beban yang bekerja, yaitu ΔLi. Selanjutnya ΔLi tersebut digambar sesuai urutan penggambaran titik, untuk lebih jelasnya berikut adalah penyelesaian contoh soal di atas, dikerjakan dengan metoda welliot :
Contoh Soal 2 ) Cari deformasi di semua titik ; delta horisontal dan delta vertikal (, dan C ), susun hasilnya dalam tabel, Data data Penampang : = 15 cm 2 dan E = 2x10 5 kg/cm 2 metoda yang digunakan yaitu welliot : P=1000kg C 2m 1.5 m 1.5 m Terlebih dahulu hitung gaya-gaya batang akibat beban yang bekerja, selanjunya hitung ΔLi, dan hasilnya adalah sebagai berikut : atang Si (kg) Li E ΔLi = (Si x Li)/(i x Ei) (cm2) (cm) (kg/cm2) (cm) C 833.3333 250 15 200000 0.069444444 C -833.333 250 15 200000-0.069444444 500 300 15 200000 0.05 Selanjutnya kita menggambar konstruksi rangka batang secara proporsional, karena skala yang dipakai diutamakan untuk ΔLi, maka untuk panjang batang kita sesuaikan yang penting bentuk gambarnya proporsional. Disini kita menggunakan skala (drawing scale di microsoft visio) yaitu : 1 cm = 0.01 cm. Rangka batang digambar secara proporsional (misal : panjang batang bisa digambar sepanjang 0.06 cm untuk panjang 3 m, maka untuk batang C dan C digambar 0.05 cm, karena panjangnya 2.5 m), disertai notasi batangnya dan nilai ΔLi nya seperti tergambar berikut :
Gambar welliotnya di mulai dari menggambar titik tetap yaitu titik sendi (merupakan titik tetap karena sendi tidak bisa bergeser baik arah vertikal maupun arah horisontal ) = ( kita beri nomor 1, maksudnya langkah ke 1), selanjutnya menggambar titik dengan menarik garis sepanjang Δ=0.05 cm ke kanan karena batang merupakan batang tarik sehingga jika titik tetap maka titik akan bergeser ke kanan karena panjang batang bertambah panjang. Cara menarik garis, cukup dengan menyalin garis (lakukan copy paste), letakkan di titik, arah garis ke kanan, lalu klik pointer tool untuk membaca panjang garis, karena terbaca 0.06 cm sedangkan seharusnya Δ=0.05 cm maka geser titik kanan ke kiri hingga panjang garis terbaca 0.05 cm, titik yg kanan tersebut dinamai (kita beri nomor 2, artinya langkah ke 2). Selanjutnya, dari titik dan, kita bisa memperoleh titik C karena pertemuan 2 batang C dan C yaitu titik C, caranya dari tarik garis C sepanjang ΔC=0.07 cm ke kanan atas,karena batang C tarik, dengan ketentuan tetap, maka titik C akan bergeser ke kanan atas karena batang bertambah panjang,caranya salin garis C letakkan di titik dengan arah garis ke kanan atas, lalu klik pointer tool untuk membaca panjang garis, karena terbaca 0.05 cm sedangkan seharusnya ΔC=0.07 cm, maka geser titik kanan hingga panjang garis C menjadi 0.07 cm, tandai dengan nomor 3, artinya langkah ke 3. Selanjutnya dari tarik garis C sepanjang ΔC= -0.07 cm ke kanan bawah,karena batang C tekan, dengan ketentuan tetap, maka titik C akan bergeser ke kanan bawah karena batang bertambah pendek,caranya copi garis C letakkan di titik dengan arah garis ke kanan bawah, lalu klik pointer tool untuk membaca panjang garis, karena terbaca 0.05 cm sedangkan seharusnya ΔC=0.07 cm, maka geser titik kanan hingga panjang garis C menjadi 0.07 cm, tandai dengan nomor 4, artinya langkah ke 4. Karena titik 3 dan 4 ini berpencar sedangkan seharusnya kedua titik tersebut bersatu sebagai titik C, maka dari garis C ditarik garis yang tegak lurus dengan garis C ( garis berwarna merah), dan dari garis C ditarik garis yang tegak lurus dengan garis C ( garis berwarna biru) titik potong kedua garis tersebut adalah titik C (kita beri nama 5, yaitu langkah ke 5). Untuk membuat garis yang tegak lurus C, caranya : baca arah garis C, yaitu bersudut 53.13o, maka kita buat garis merah yang bersudut -36.87o seperti berikut: Untuk membuat garis yang tegak lurus C, caranya : baca arah garis C, yaitu bersudut -53.13o, maka kita buat garis biru yang bersudut 36.87o seperti berikut:
Secara berurutan,langkah-langkahnya tergambar berikut :
Hasil deformasi titik-titik simpulnyanya, diukur terhadap titik tetap = Secara lengkap hasil deformasinya adalah sebagai berikut : Titik ΔV (cm) ΔH (cm) 0 0 0 0.05 C -0.019 0.142 Tanda negatif dan positip menunjukkan letak pergeseran titiknya, positif ke kanan atau ke atas, negatif ke kiri atau ke bawah.
Contoh lain, untuk konstruksi rangka batang statis tertentu dengan batang-batang yang lebih banyak, langkahnya sama seperti di atas, misalnya untuk rangka batang berikut ini : 1)
2) +2.1mm +1.4mm +0.5mm C -0.7mm +0.5mm -0.9mm D -0.9mm E deltah did=0.9mm = deltah dic=0.7mm delta v di C = 2.6mm delta vertikal di D= 3.1mm -0.9mm -0.7 +0.5 +2.1mm C +0.5 +1.4mm delta vertikal di E = 8.25 mm -0.9mm D E
3) F 0mm G +2.0mm H 0mm +1.8mm C +2.8mm -1.0mm +7.0mm D -2.8mm +2.0mm -7.0mm 0mm -1.8mm E 4m 4m +9.0mm 3m 3m +1.8 '= +7.0 +9.0 C' ' -1.8-7.0 D' -1 0 delta horisontal di H = 26.6 mm ke kanan +2.0-2.8 0 E' -2.8 F' 0 G' +2.0 H'
4) C D 0 mm + 1.3 mm E - 2.4 mm 0 mm - 3.7 mm - 2.4 mm 0 mm delta horisontal di C dan D = 3.08 mm = = delta horisontal di E = 4.38 mm 0-2.4 mm del ta vertikal di D = - 2.31 mm del ta vertikal di C dan E = - 2.4 mm - 3.7 mm 0 D C + 1.3 mm E 5) Konstruksi rangka batang dengan tumpuan sendi sendi akibat beban-beban yang bekerja mengalami perubahan panjang batang (ΔLi) seperti tertera dalam gambar, dalam satuan mm. Deformasi yang terjadi pada semua titik simpul dicari dengan metoda welliot dimulai dari titik = =D (karena dan D merupakan tumpuan sendi, makanya deformasinya = 0 sehingga titik berimpit dengan D ) selanjutnya dari dan D dicari titik E, dst. seperti tergambar berikut ini :
D +0.46875 mm E ΔHc= - 0.38 mm = =D -0.1875 +0.46875 mm -0.326 mm 0 mm +0.651 2 m -0.326-0.1875 mm -0.1875 mm C 1.5 m 1.5 m -0.1875 0 E ΔVc = - 2.21 mm +0.651 C Metoda welliot bisa juga diterapkan pada konstruksi rangka batang yang bersifat simetris (simetris yang dimaksud disini selain bentuknya simetris, beban-beban yang bekerja juga simetris sehingga hasil gaya-gaya batangnya juga simetris),sekalipun tumpuan sendi dan tumpuan roll tidak dihubungkan oleh 1 batang saja tetapi ada beberapa batang seperti konstruksi rangka batang berikut ini, disini hanya digambarkan welliotnya
setengah saja, sedangkan untuk sisi kanan, langkahnya sama dan akan menghasilkan gambar yang simetris dengan gambar berikut : 6) CONTOH PERHITUNGN DEFORMSI KR DENGN CR WELLIOT, dimulai dari batang FG C -1.2 mm I -1.2mm D E -1.0mm -1.6mm +2.4mm +1.6mm F 0 mm -1.6 mm +4.8mm -1.6mm G -1.6mm +2.4mm 0mm H -1.0mm 3 m 3 m =' 3 m 6m 3m E' -1.0 delta vertikal di I = 15.627 mm delta Vdi G = 10.9mm Skala 1cm = 1mm delta Li Karena deformasi yang terjadi simetris maka diagram welliot dimulai di FG dengan asumsi : delta vertikal di F dan di G adalah sama C' -1.6 +2.4-1.6 +1.6 F' 0 +4.8 G delta horisontal di I = 13.313 mm I' -1.2 Contoh lain untuk metoda welliot untuk konstruksi rangka batang simetris : 7)
Dikerjakan dengan metoda welliot, dimulai dari G ke H F G H I -1,11 mm -1,48 mm -1,11 mm 3 m -0.9 mm +0.9 mm -0.3 mm +0.3 mm +0.3 mm -0.3 mm +0.9 mm -0.9 mm +0.56 mm C +1.3 mm D +1.3 mm E +0.56 mm 4 m 4 m 4 m 4 m = delta Horisontal di = 3.75 mm +0.9 delta vertikal di D = 9.32 mm I F - 0.9 +0.9 +0.56 C E - 0.9 +0.56-1,11 mm 0.3 0.3 H -1,48 mm G 0.3 0.3-1,11 mm +1,3 mm D +1,3 mm 8) Welliot dimulai di batang yang berada dalam posisi simetris yaitu batang GD, jadi dimulai di G lalu D.
F G -1.11 mm -1.11 mm H - 1.74 mm + 0.63 mm - 0.58 mm + 0.42 mm - 0.58 mm + 0.63 mm - 1.74 mm 3 m +1.11 mm C +1.48 mm D +1.48 mm E +1.11 mm 4 m 4 m 4 m 4 m delta horisontal di D/G = 2.6 mm = delta horisontal di = 5.1 mm delta vertikal di F dan H = 7.8 mm delta vertikal di C dan E = 8.4 mm delta vertikal di G = 11.3 mm delta vertikal di D = 11.7 mm - 1.74 mm +1.11 0.63 C H F 0.63-1.74 E +1.11-0.58-1.11 +1.48 G -0.58-1.11 +0.42 +1.48 D I.2.b. Mencari deformasi titik-titik simpul pada konstruksi rangka batang statis tertentu dengan metoda welliot - mohr. Seperti kita ketahui, dari beberapa contoh di atas bahwa metoda welliot hanya bisa digunakan untuk bentukbentuk struktur rangka batang yang tertentu saja yaitu ada tiga kriteria yaitu : 1. Perletakan struktur rangka batang tersebut terdiri dari sendi dan roll, dimana sendi dan roll tersebut dihubungkan oleh satu batang seperti terlihat pada contoh 1), 2), 3) dan 4) dimana diagram welliot bisa dimulai dari titik tetap sendi dan titik berikutnya roll, titik simpul ketiga yang bisa dicari perpindahannya
adalah titik simpul yang merupakan pertemuan dua batang dari perletakan sendi dan roll yang sudah bisa diketahui perpindahannya,demikian seterusnya sampai semua titik diketahui perpindahannya. 2. Perletakan struktur rangka batang terdiri dari sendi sendi dan batang-batang dimana salah satu ujungnya adalah sendi-sendi tersebut bertemu di satu titik, seperti terlihat dalam contoh 5 3. Struktur rangka batang simetris, baik bentuk maupun deformasinya, diagram welliot bisa dimulai dari batang yang membagi simetris struktur rangka batang tersebut, seperti terlihat dalam contoh 6), 7) dan 8). Selanjutnya, bagaimana dengan bentuk struktur rangka batang yang tidak memenuhi ketiga kriteria tersebut? Untuk itulah dikembangkan metoda grafis yang lain yaitu metoda welliot mohr. Perhatikan struktur rangka batang berikut ini, akibat beban luar batang-batang mengalami perubahan panjang seperti tertera dalam gambar : Dalam mencari perpindahan titik dengan metoda welliot, karena tumpuan sendi dan roll tidak dihubungkan oleh satu batang, maka untuk sementara roll dipindah ke C, sehingga diagram welliot bisa dimulai dari titik = kemudian ke C dengan menggambar +ΔC (serong ke kanan atas) dari. Selanjutnya dari dan C didapatkan titik D, kemudian dari C dan D didapatkan titik, seperti terlihat dalam gambar berikut : Titik seharusnya tidak berpindah ke atas, karena Δ V = 0, maka titik seharusnya terletak pada garis, maka diputar ke titik, maka titik-titik yang lain harus diputar juga (atau dikoreksi dengan sudut putar θ), sehingga perpindahan masing-masing titik adalah :, C C, D D dan. Perhatikan bahwa besarnya koreksi C C, D D, adalah sebanding dengan jarak terhadap, koreksi-koreksi ini merupakan bentuk yang sebangun dengan Konstruksi Rangka atang semula.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut : Konstruksi rangka batang seperti tergambar berikut mengalami perubahan panjang batang (ΔLi) akibat bebanbeban yang bekerja padanya seperti tertera dalam gambar, dalam satuan mm. F D +0.77mm +1.12 mm -0.42 mm -0.7 mm -1.12 mm +1.12 mm C 0 +1.81 mm -1.46 mm E 3 m 3 m 3 m 3 m Untuk mencari deformasi semua titik dengan metoda welliot-mohr,maka tumpuan roll perlu dipindah sementara, yaitu ke titik C (salah satu titik terdekat ), maka gambar welliot-mohr dimulai dari titik tetap = selanjutnya gambar ΔC sebesar +1.12 mm ke kanan maka diperoleh titik C, selanjutnya dari titik dan C didapatkan titik D, kemudian dari C dan D didapatkan titik E, dari D dan E didapatkan titik F dan terakhir dari C dan E didapatkan titik. Selanjutnya, buat titik dengan cara menarik garis horizontal dari titik ke kiri hingga persis di atas titik = yang juga sama dengan titik, selanjutnya kita buat gambar konstruksi rangka batang yang sebangun (yang bernotasi C D E F ) seperti terlihat dalam gambar berikut, dan deformasi titik simpul diukur dari notasi.. ke notasi.. :
F D +0.77mm +1.12 mm -0.42 mm -0.7 mm -1.12 mm +1.12 mm C 0 +1.81 mm -1.46 mm E 3 m 3 m 3 m 3 m ΔH di E = 3.48 mm 1.69 mm E 1.69 mm ΔHC=1.12mm ΔH=1.12mm ΔVdi C 1.69mm F C ΔVd=0.77cm D +0.77 3.381 mm setara dengan =6m = = +1.12 C ΔH di D = 4.19 mm -0.42 0 E +1.81-1.46 ΔV E=1.46mm -1.12-0.7 D F +1.12 ΔH di F = 6.53 mm
Contoh-contoh lain mencari deformasi titik simpul pada konstruksi rangka batang dengan metoda welliot - mohr adalah sebagai berikut : 1) delta horisontal di F = 20 mm ke kanan F" "F" = (3/4)x22.3mm = 16.7 mm E +3.3mm F " F' 0mm ' +1.9mm -2.6mm -4.7mm -2.1mm +1.5mm +3.0mm +3.0mm 2m welliot mohr dimulai dari =' ke C' roll sementara di C D C 2m 0mm 3m "C" = 11.15 mm D" C" "" = 22.3 mm -4.7 D' -2.6 E' +1.9 +3.3 +1.5 E" -2.1 +3.0 =" C' +3.0
"" = 32.7 mm 2) '" = 0.1mm ' DIGRM WELLIOT MOHR DIMULI DRI ='=" KE D' ROLL SEMENTR DI D "C" = (3/9)x32.7mm=10.9mm F" C E F -1.2mm -2.7mm -2.7mm -1.2mm 5.5mm +2.3mm -1.7mm 0mm D +1.9mm G" G +1.5mm +3.3mm 3m 3m 3m 3m "C" = (3/9)x32.7mm=10.9mm E" D" C" -2.7 F' -2.7-1.2 C' E' +1.9 +2.3 G' -0.8 '="==D' -1.2-1.7 +3.3 +1.5 "D" = (3/9)x32.7mm=10.9mm delta vertikal di D 10.9 mm ke bawah
3) D E F +0.4mm +0.4mm F" "C" = (1/2).13,2mm = 6.6mm " delta H di =2mm ke kanan ' -6.7 3m -2.2mm -1.4mm -3.0mm +2.0mm C 2m +5.4mm 0mm 2m -6.7mm E" C"E" = (3/4).13,2mm = 9.9mm C" F' D" "" =13.2 mm ='=" -2.2 C' +2.0-1.4-3.0 D' +0.4 E' +0.4 0 +5.4 delta vertikal di C= 6.6mm kebawah delta vertikal di E = 9.6 mm kebawah
4) C" delta H di C = 7.8mm ke kanan C' D -1.0mm -3.2mm -5.5mm -2.3mm E 0mm +3.9mm C +3.9mm 2m 2m "C" = (3/6).25,74mm= 12.9mm E" 3m 3m " "" 25.74 mm -5.5 D" delta V di D 1mm ke bawah (4/6).25,74 = 17.2 mm delta H di D = 17.5 mm ke kanan E' -3.2-2.3-1 ='=" +3.9 D' 0 ' +3.9
5) " delta H di =16.5mm kekanan ' H" E" (4/8).111.4mm=55.7mm "E"=(2/8).111,4mm=27.9mm G" delta vertikal di G=23.9mm ke bawah -4.3-4.3 H' 0 D"G"=(3/8).111.4mm=41.8mm D" 111.4 mm setara dengan 8m deltahdid =11.5mm E' +2.7 delta vertikal di D 27.2mm kebawah G' F" C" +3.1 D' 0 +2.7 "C"=(2/8).111,4mm=27.9mm -4.3-2.8 F' =' -4.0 +5.5 G C' 0 +5.5 F 0 mm - 4.3 mm - 4 mm - 2.8 mm + 3.1 mm - 4.3 mm - 4.3 mm 0 mm H 0 mm 3 m +5.5 mm + 5.5 mm + 2.7 mm C D E + 2.7 mm 2 m 2 m 2 m 2 m
0 6) delta V di F = 4.14 mm F E D delta H di F = 10.42 mm panjang E =3/8x20.09=7.54 mm panjang D E =4/8x20.09=10.045mm -2.9 F panjang = 20.09 mm E -1.04 delta H di = 11.46 mm 3 m 3 m Dikerjakan dengan welliot mohr, roll sementara di C F C 0 +1.04 0 D +1.86 mm + 2.9 mm 4 m -2.9 mm 0 4 m E -1.04 mm D +1.04 0 +1.86 C = = =C 0 0 + 2.9 7) Dikerjakan dengan metoda welliot mohr, roll sementara di D C D = 1.5/7x5.728=1.23 mm delta H di D = 1.874 mm D -1.12mm +0.59mm +0.864mm E +0.57mm +1.0mm +0.33mm C -0.25mm -0.35mm F +0.35mm 2 m 3 m 2 m D 1.5 m 1.5 m -0.35 C F -0.25 D F =2/7x5.728=1.64mm C F +0.35 delta H di F = 1.3 mm E +0.33 +1.0mm -1.12 panjang D = 5.728 mm E = = +0.59 +0.57mm +0.864mm
8) delta horisontal di = 5.2 mm H E G - 1.74 mm H delta vertikal di D = 11.9 mm D panjang = 34 mm setara dengan 16 m, jadi C = 4m/16m x 34mm = 8.5 mm +0.63 E +1.11 Dikerjakan dengan cara welliot mohr, roll sementara di C F G H -1.11 mm -1.11 mm -1.74 mm +0.63 mm +0.42 mm +0.63 mm 3 m -0.58 mm - 0.58 mm - 0.58 mm F C" +1.11 mm C +1.48 mm D +1.48 mm E +1.11 mm 4 m 4 m 4 m 4 m G -1.11-0.58 +0.42 D +1.48 F -1.11-1.74 mm +0.63 = = C +1.11 +1.48-0.58
9) -5mm D +1.2-2 0 F +1.2-5 mm 3m Skala delta : 1 cm = 2 mm " delta H di=6mm ' +2.0 4m C E +2.0 +2.0 4m 4m CONTOH PERHITUNGN DEFORMSI KR DENGN CR WELLIOT MOHR DIMULI DRI TNG C F" E" delta Vdi E=14.6 mm -5 F' D" C" +1.2 E' +2.0 0-2.0D' ='=" +1.2 +2.0C' +2.0-5mm
10) E " CONTOH PERHITUNGN DEFORMSI KR DENGN CR WELLIOT MOHR DIMULI DRI TNG C ' 3m 3m C -0.1-0.4cm +0.6 +0.2-1.0 D +0.3 +0.6 4m 4m E" D" -1.0 E' +0.2 D' +0.6 delta H di E = 2.773 cm C" =' -0.1 +0.3 C' -0.4 +0.6
2 m 2 m 3 m 2 m I.3. PENGGUNN SP2000 PD KONSTRUKSI RNGK TNG Deformasi titik simpul Hitung deformasi yang terjadi pada Konstruksi Rangka atang akibat beban-beban yang bekerja seperti tergambar berikut ini, abaikan berat sendiri batang, gunakan metoda welliot mohr, metoda unit load dan menggunakan software SP2000, adapun data data penampang adalah sebagai berikut : Luas penampang = 66.45 cm 2 Modulus elastisitas bahan E = 7000 kn/cm 2 H 90 kn 90 kn 90 kn I G 90 kn J 45 kn 45 kn C D E F 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 50 kn 50 kn 50 kn 50 kn Menghitung deformasi titik simpul pada Konstruksi Rangka atang dengan metoda welliot mohr. Untuk menghitung deformasi titik simpul pada konstruksi rangka batang, langkah-langkahnya adalah : 1. Menghitung gaya-gaya batang (Si), bisa menggunakan metoda Cremona, seperti terlihat pada gambar berikut.
Si x Li 2. Menghitung perubahan panjang batang ( Li) dengan menggunakan rumus Li = i x Ei pada gambar berikut :, dan hasilnya terlihat H 90 kn 90 kn -1.9588 mm -2.6117 mm 0.3225 mm -0.6529 mm 3.3538 mm -1.2037 mm -1.8056 mm -2.4075 mm 90 kn I 2 m 3 m -1.4965 mm C D E F 0.8026mm 0.8026mm 0.9029mm 1.2039mm 1.2039mm 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 1.0319 mm 0.6018 mm 90 kn 45 kn 45 kn G J 0.215 mm 2 m 2 m 50 kn 50 kn 50 kn 50 kn
3. Selanjutnya, menggambar diagram welliot mohr, hasilnya untuk salah satu titik simpul yaitu V H = 8.33 mm ke arah bawah.
Menghitung deformasi titik simpul pada Konstruksi Rangka atang dengan metoda unit load. Metoda unit load, hanya bisa menghitung deformasi salah satu titik dalam 1 arah saja, misalnya menghitung V H, maka terlebih dahulu menghitung gaya-gaya batang akibat beban 1 satuan vertikal di H (alpha i), dan hasilnya dirangkum dalam tabel berikut, dimana V H = 8.345 mm ke arah bawah.
Menghitung deformasi titik simpul pada Konstruksi Rangka atang dengan menggunakan sap2000. Untuk menghitung deformasi titik simpul pada konstruksi rangka batang dengan menggunakan SP2000, langkahlangkahnya yaitu : 1. Menggambar Konstruksi Rangka atang sebagai berikut : 2. Membuat penampang batang (frame section) sebagai berikut :
Lakukan frame release untuk mengkondisikan struktur rangka batang sebagai berikut : Selanjutnya, lakukan analisis, hasilnya adalah sebagai berikut, klik kanan pada joint H, untuk melihat hasil secara detail.
II. DEFORMSI PD LOK DN PORTL II. 1. MENCRI DEFORMSI PD LOK /PORTL DENGN METOD UNIT LOD Salah satu metoda yang digunakan untuk mencari deformasi yang terjadi pada balok akibat gaya-gaya dalam yang terjadi yaitu metoda unit load. Deformasi yang terjadi pada balok akibat gaya-gaya dalam yang terjadi berupa defleksi (ΔV), translasi (ΔH) dan rotasi (θ). dapun rumus-rumus unit load untuk mencari deformasi tersebut adalah sebagai berikut : M mi 1. Defleksi ΔVi = E I dx, dimana : M = persamaan momen akibat beban luar m = persamaan momen akibat beban 1 satuan vertical di titik i M mi 2. Translasi ΔHi = E I dx, dimana : M = persamaan momen akibat beban luar m = persamaan momen akibat beban 1 satuan horisontal di titik i M mi 3. Rotasi θi = E I dx, dimana : M = persamaan momen akibat beban luar m = persamaan momen akibat beban 1 satuan momen di titik i Contoh Soal : alok Statis Tertentu mendapat beban beban seperti tergambar ; P = 4 ton q = 2 t/m EI C EI D 3 m 3 m 2 m Ditanyakan : a. Hitung ΔVC! b. Hitung ΔVD! c. Hitung θ! d. Hitung θ!
Penyelesaian : Karena ada 4 deformasi yang ditanyakan, maka perlu 4 persamaan momen unit load (mi) dan 1 persamaan momen akibat beban luar (M), sebagai berikut : kibat beban luar : P = 4 ton q = 2 t/m EI C EI D 3 m 3 m 2 m V= 4/3 ton V= 20/3 ton ibat beban 1 satuan vertical di C : 1 EI C EI D 3 m 3 m 2 m V= 1/2 V= 1/2 kibat beban 1 satuan vertical di D : 1 EI C EI D 3 m 3 m 2 m V= 1/3 V= 4/3 kibat beban 1 satuan momen di : 1 EI C EI D 3 m 3 m 2 m V= 1/6 V= 1/6 kibat beban 1 satuan momen di :
V= 1/6 1 EI C EI 3 m 3 m 2 m V= 1/6 D Selanjutnya, untuk mempermudah kita buat tabel persamaan sebagai berikut : alok C C D Titik wal D atas-batas (dlm m) 0-3 0-3 0-2 Persamaan M ( ton m ) 4 3 x 20 3 x 4 (x+1) = 8 3 x 4 -X 2 Persamaan mi (ΔVC) (m) 1 2 x 1 2 x 0 Persamaan mi (ΔVD) (m) 1 x 4 x 1(x+2) = 1 x - 2 -x 3 3 3 Persamaan mi (θ) (m) 1-1 6 x 1 6 x 0 Persamaan mi (θ) (m) 1 6 x 1-1 6 x 0 Menghitung deformasi : M mi (ΔVC) ΔVC = E I dx = 1 3 { 4 EI 0 3 x. 1 x } dx + 1 3 {[ 8 2 EI 0 3 x 4 ]. 1 x } dx + 1 2 { 2 EI 0 x 2. 0 } dx ΔVC = 9 EI Jika dikerjakan dengan Microsoft mathematics, hasilnya sebagai berikut :
M mi (ΔVD) ΔVD = E I dx = 1 3 { 4 x. 1 EI 0 x } dx + 1 3 {[ 8 3 3 EI 0 3 x 4 ].[ 1 x 2] } dx + 1 2 { 3 EI 0 x 2. -x } dx = 2 EI Jika dikerjakan dengan Microsoft mathematics, hasilnya sebagai berikut : M mi (θ) θ = E I dx = 1 3 { 4 EI 0 3 x.(1-1 x) } dx + 1 3 {[ 8 6 EI 0 3 x 4 ]. 1 x } dx + 1 2 { 6 EI 0 x 2. 0 } dx θ = 5 EI Jika dikerjakan dengan microsoft mathematics, hasilnya sebagai berikut : M mi (θ) θ = E I dx = 1 3 { 4 EI 0 3 x. 1 x } dx + 1 3 {[ 8 6 EI 0 3 x 4 ] [1 1 x]} dx + 1 2 { 6 EI 0 x 2. 0 } dx θ = 1 EI Jika dikerjakan dengan microsoft mathematics, hasilnya sebagai berikut :