Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep integrl dlm pemehn mslh sederhn Kompetensi Dsr Memhmi konsep integrl tk tentu dn integrl tentu Menghitung integrl tk tentu dn integrl tentu dri fungsi ljr sederhn Menggunkn integrl untuk menghitung lus derh di wh kurv TUJUAN PEMBELAJARAN Pesert didik mmpu memhmi konsep integrl tk tentu dn integrl tentu Pesert didik mmpu menghitung integrl tk tentu dn integrl tentu dri fungsi ljr Pesert didik mmpu menggunkn integrl untuk menghitung lus derh di wh kurv Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl INTEGRAL Integrl dlh ntidiferensil tu nti turunn ng merupkn opersi invers (likn) dri pendiferensiln Jik f() dlh turunn dri F() terhdp mk f ( ) d F( ) dengn konstnt semrng dn f() diseut integrn Pd integrl tentu d ts wh dn ts ts ng nnti ergun untuk menentukn nili integrl terseut Kegunn integrl dlm kehidupn sehri-hri nk sekli, dintrn menentukn lus sutu idng, menentukn voluem end putr, menentukn pnjng usur dn segin Integrl tidk hn dipergunkn di mtemtik sj Bnk idng lin ng menggunkn integrl, seperti ekonomi, fisik, iologi, teknik dn msih nk lgi disiplin ilmu ng lin ng mempergunknn A Integrl Tk Tentu Merupkn konsep ng erhuungn dengn proses penemun sutu fungsi sl (F()) pil fungsi turunn tu derivtive F () = f() dikethui Berikut ini rumus-rumus umum dn sift-sift integrl tk tentu Rumus: d n n d dengn n n n n d, dengn n n Sift-sift: ( ( ) g( )) d f ( ) d f g( ) d Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 d f d f ) ( ) ( d E Tentukn : d d d d d 8 7 6 Penelesin : d d d d d d d 9 8 ) ( 8 8 8 7 7 6
Modul Integrl E Dikethui Penelesin : f () 8 f = dn f() = 8 Tentukn f()! f ( ) ( ) d () 8 6 8 6 8 Jdi f ( ) E Jik grdien gris singgung di titik (,) pd seuh kurv ng d mellui titik (,) ditentukn 8, mk tentukn d persmn kurv terseut! Penelesin : f ( ) ( 8 ) d f () Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 6 6 7 Jdi f() = LATIHAN SOAL Integrlkn! d j d i d h d g d f d e d d d d d 6 8 6 7
Modul Integrl Tentukn rumus f() jik dikethui : f () = dn f() = f () = 8 dn f(-) = f () = dn f() = d f () = - dn f() = - e f () = - dn f() = Dikethui titik (,) terletk pd kurv dn grdien gris singgung di titik (,) pd kurv terseut didefinisikn Tentukn persmn kurv terseut! Grdien sutu kurv pd setip titik (,) ditentukn oleh d dn kurv itu mellui titik (-,) Tentukn d persmn kurv itu! Keeptn sutu end ergerk dintkn oleh v ( t) t 6t Setelh end itu ergerk detik, jrk ng ditempuh m Tentukn persmn gerk dri end itu! 6 Dikethui rumus pereptn (t)= t dn keeptn v()=6 dv Tentuknlh rumus keeptn v(t) jik (t)= dt Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 7
Modul Integrl B Integerl Tentu Merupkn konsep ng erhuungn dengn proses perhitungn lus sutu derh di wh kurv ng ts-ts dri derh terseut dikethui Jik fungsi f terdefinisi pd intervl tertutup [,] dn f() nti derivtive dri f() mk f ( ) d diseut integrl tentu fungsi f dri ke ng dirumuskn segi erikut F( ) F( ) F( ) f ( ) d Berikut ini sift-sift integrl tentu Jik dikethui fungsi-fungsi f dn g terdefinisi pd intervl [,] mk erlku sift-sift erikut f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ) d k k ( f ( ) d degn k sutu konstnt ( ( ) g( )) d f ( ) d f g( ) d ( ) d f ( ) d f f ( ) d 6 k d k ( ) Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 8
Modul Integrl Ad eerp fungsi ng sulit diri integrln dengn r is Untuk mempermudh penghitungn integrl fungsi terseut dpt dilkukn dengn r sustitusi mupun prsil Integrl Sustitusi Kdng-kdng persoln pokok dlm pengintegrln dlh fungsi integrnn perlu diuh terleih dhulu gr sesui dengn slh stu entuk rumus umum di depn Slh stu r menguhn dengn sustitusi Integrl fungsi ng dpt diuh menjdi entuk n f ( ) d f ( ) Integrl sustitusi dipki pil integrn dpt diut ke entuk f(u) u tnp d vrile ng tersis n n u du u, dengn u = f(), n - n du ln u u Jik g() turunn pertm dri f() mk erlku n n n ( f ( ) g( )) d f ( ) d( f ( )) ( f ( )) n Integrl Prsil Integrl ini dipki pil integrn dpt dipish menjdi du fungsi Fungsi pertm (u) dipilih fungsi ng mempuni turunn ke-n dlh nol, sedngkn fungsi kedu (dv) dipilih fungsi ng dpt diintegrlkn Seperti telh kit kethui Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 9
Modul Integrl pd turunn jik = uv mk =u v + uv Jik kit integrlkn kedu ru, mk kn didpt : ' d u' v d uv' d uv' d u' v d uv u dv u v v du Rumus integrl prsil: u' v d E Tentukn d ( ) d 6 d Penelesin : d = d = = + ( ) d = ( ) d 6 d = = = 6 d = 6 ln + Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl E Tentukn persmn kurv ng memilliki grdient gris singgung d kurv dn mellui titik (,9) d Penelesin : d d d = ( ) d ( d ) d = Kurv mellui titik (,9) = 9 = () () = Jdi persmn kurv = E 6 Selesikn integrl erikut 6 d d 9 ( ) d Penelesin : Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl Ketig integrl dits diselesikn menggunkn integrl sutitusi 6 d Misl : u = + du = 6 d Sutitusikn u = + dn du = 6 dpd entuk integrln 6 du d du u u 9 ( ) d Misl u = - = ln u ln du = d d = du Sutitusikn u = - dn d = integrln 9 u du u u 9 du u d ( ) du pd entuk Misl : u = + du = d Sutitusikn u = +dn du = d pd entuk integrln Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl d d u du u du u u ( ) Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl LATIHAN Tentukn nili integrl erikut ini! d d d d d Tentukn F(), jik: F () = dn F() = 9 F () = + dn F(-) = ½ Tentukn integrl dri fungsi fungsi erikut dengn menggunkn metode sustitusi! d e f 6 d d d 6 d d d Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl C Penerpn Integrl ) Penggunn Integrl Tk Tentu Turunn tu derivtive dri = f() ditulis d tu d d Ser geometris, merupkn grdient gris singgung d kurv = f() dititik ng ersis Jdi, kit dpt menentukn persmn kurv = f() il dikethui d grdient ( ) gris singgung dn seuh titik pd kurv d itu E 7 Pd tip titik (,) seuh kurv, erlku huungn d = + Jik kurv mellui titik d persmn kurv terseut! Penelesin: (, -) rilh Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl ) Penggunn Integrl Tentu ) Lus derh di wh sutu kurv Lus derh ng ditsi oleh = f(), =, =, dn s X = f() dintkn segi: = = L = f ( ) d F( ) F( ) F( ) il f ( ) d F( ) E 8 () = Crilh lus derh ng dirsir! Penelesin: L d ] 8 7 stunlus Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 6
Modul Integrl () = (,) (,) Hitunglh lus derh ng dirsir! Penelesin: L = d ] () () sl () = (,) Hitunglh lus derh ng dirsir! Penelesin: Menri ts-ts integrsi: = dn = L = d ] 8 sl Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 7
Modul Integrl ) Lus Kurv di Bwh Sumu X = = Lus = f ( ) d = f() A A A Lus = A + A + A Cttn: Lus kurv diri stu per stu E 9 () Tentukn lus derh ng ditsi oleh prol = 6 dn sumu X = 6 (6,) Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 8
Modul Integrl Penelesin: Menri ts-ts integrsi: 6 6 = ( 6) = = tu = 6 6 L ( 6) d ] 6 () ( 6 (6) (7 8) 6sl () Crilh lus derh ng ditsi oleh prol = 9 pd sumu X, = dn = Penelesin: = 9 A A - A 9 A ( 9) d ] ( 8) 9 8 8 A ( 9) d ] ( ) 8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 9
Modul Integrl A 9 ( 9)d ] 6 8 8 ( 7) ( ) Jdi, lus = A + A + A = + 8 8 9 + = ) Lus Derh Antr Du Kurv = f() 9 9 stun lus (,) (,d) = g() = = Lus = ( g ( ) f ( )) d E Hitunglh lus derh ng ditsi oleh gris =, =, =, dn = Penelesin: = Derh ng dirsir merupkn derh = ng ditsi oleh gris =, =, = dn = Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 L = sl d d ] ) ( LATIHAN SOAL Tentukn nili integrl di wh ini : 6 6 d e d d d d d Tentukn nili jik dikethui : 8 d d Tentukn jik 6 d
Modul Integrl Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Tunjukkn dengn rsirn, lus derh ng dintkn dengn integrl erikut : d d d d d Tentukn nili integrl dri : d d d d d 6 6 Hitunglh lus derh ng ditsi oleh: = pd = dn = 6 = dngn sumu X
Modul Integrl Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 7 Hitungh lus derh ng ditsi oleh kurv =, = dn = 8! 8 Hitunglh lus derh ng ditsi oleh kurv = dn gris =! 9 Hitunglh lus derh ng ditsi oleh du kurv erikut : 6, 9 dn g dn f sumu Y dn e dn d dn dn dn
Modul Integrl d) Volume Bend putr ntr Kurv dn Sumu Koordint Y = f( X Volume end putr ng ditsi oleh kurv = f(), =, = dn sumu X ng diputr sejuh sumu X dlh : V d 6 mengelilingi Begitu jug pd kurv = f() ng diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6 dn ditsi oleh =, =, sumu Y dn kurv itu sendiri mk volumen : V d Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl E Tentukn volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh kurv mengelilingi sumu X sejuh, sumu X dn gris = diputr 6! Penelesin : Y X V d d stun volume Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8
Modul Integrl e) Volume end putr ntr Du = f() = g() X Volume end putr ng diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 ng ditsi oleh kurv = f(), = g(), = dn = dlh : V ( ) d dimn f ), g( ) ( dn Begitupun untuk end putr ng diputr mengelilingi sumu Y Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 6
Modul Integrl E Hitunglh isi end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh kurv 6! Penelesin : V dn = diputr mengelilingi sumu X sejuh ) ( ) d 6 ( d Ltihn Sol Hitunglh volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh kurv-kurv ng dikethui diputr mengelilingi sumu X sejuh 6! =, = dn = =, sumu X, sumu Y dn = 6 =, sumu X, sumu Y dn = 9 d =, = dn = e =, sumu X, = - dn = Hitunglh volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh kurv-kurv ng dikethui diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6! = dn = 6 = dn = =, = dn = Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 7
Modul Integrl Hitunglh volume end putr ng terjdi jik derh ng ditsi oleh du kurv diputr sejuh 6 mengelilingi sumu koordint ng diseutkn! = dn = mengelilingi sumu X = dn mengelilingi sumu Y =, =, mengelilingi sumu Y d = dn = mengelilingi sumu X e = dn = 6 mengelilingi sumu X f = dn = 9 mengelilingi sumu X Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 8