BAB II PELENGKUNG TIGA SENDI

BAB II PELENGKUNG TIGA SENDI 2.1 UMUM Struktur balok yang ditumpu oleh dua tumpuan dapat menahan momen yang ditimbulkan oleh beban-beban yang bekerja pada struktur tersebut, ini berarti sebagian dari penempangnya dimuati dengan tekanan dan tarikan. Semakin panjang bentangan dari struktur balok tersebut maka momen yang didukung oleh balok semakin besar, demikian halnya semakin besar jarak antara sumbu balok dengan garis momen maka semakin besar momen yang timbul, sedangkan momen yang didukung oleh bagian/elemen balok tersebut tidak sama besar. Hal ini yang mengakibatkan struktur balok tidak efektif untuk bentangan yang panjang. Disamping itu tidak semua jenis bahan yang digunakan untuk struktur bangunan mampu menahan beban yang besar, misalnya beton, batu atau batu bata yang cukup getas. Untuk mengatasi momen yang besar ini maka diusahakan supaya garis momen tersebut mendekati sumbu balok yang berarti momen yang timbul semakin kecil, dengan pengertian diperlukan suatu struktur yang mampu untuk mendukung beban yang bekerja pada suatu bentangan yang besar tetapi tidak menimbulkan momen yang besar atau dengan kata lain, membuat struktur yang mampu mendistribusikan beban yang bekerja menjadi beban aksial dan beban geser pada struktur tersebut (mungkin ada momen tetapi sangat kecil). Struktur balok yang mampu untuk menyebarkan beban tersebut yaitu menjadikan garis tekan mendekati sumbu balok dengan membuat sumbu balok berbentuk pelengkung atau sebuah pelengkung parabola. II-1

Pelengkung parabola, jika dibebani secara merata penuh, tidak akan menahan momen, asalkan reaksi perletakannya mampu menghalangi translasi/pergeseran ke semua arah (baik vertical maupun horizontal). Oleh karena itu kedua tumpuan tersebut berupa perletakan sendi yang masing-masing akan menghasilkan dua komponen, yaitu R V dan R H, sehingga semuanya ada empat komponen reaksi. Persamaan statis/kesetimbangan yang ada hanya ada tiga,yaitu M = 0, V = 0, H = 0, karena itu struktur tersebut merupakan statis tidak tertentu. Dengan memberi sendi pada pelengkung di antara kedua tumpuannya dengan syarat momen di tempat sendi tersebut adalah nol. Dengan demikian diperoleh satu buah persamaan tambahan yang dapat digunakan untuk menghitung besarnya empat komponen reaksi perletakan tadi. Pelengkung yang demikian disebut pelengkung tiga sendi, dimana sendi yang ketiga biasanya ditempatkan pada puncak pelengkung. 2.2 PELENGKUNG TIGA SENDI SIMETRIS Analisis struktur pada pelengkung tiga sendi dengan bentuk geometrinya simetris tetapi pembebanannya tidak harus simetris, dapat dihitung/ diselesaikan dengan langkah-langkah perhitungan sebagai pedoman analisis struktur pelengkung tiga sendi yang simetris sebagai berikut : Pelengkung tiga sendi A S B seperti pada gambar II 1(a) yang mempunyai tumpuan sama tingginya, dengan panjang bentang A-B sama dengan L, puncak ketinggian sama dengan h, mendapat beban P dengan jarak a dari tumpuan A. II-2

Dengan persamaan kesetimbangan : M B = 0 akan diperoleh R AV dan dengan persamaan M A = 0 akan didapatkan R BV sebagai berikut : M B = 0 ( R AV ) ( L ) ( P ) ( L a ) = 0 M A = 0 (- R BV ) ( L ) ( P ) ( a ) = 0 P ( L a ) R AV = -------------- L P a R BV = ------------ L Gambar II 1 Reaksi vertikal R AV dan R BV, adalah sama seperti pada persamaan struktur balok sederhana A B. Perhitungan momen pada pelengkung tiga sendi sama dengan perhitungan momen pada balok sederhana. II-3

Momen di C adalah : M C = R AV (x) ± R AH (y) tanda ± tergantung dari arah momen akibat R AH Untuk mencari koordinat pada pelengkung tiga sendi yang berjarak x meter dari tumpuan, digunakan persamaan dasar parabola : 4 h (x) ( L a ) y = --------------------- L² Dimana : y : tinggi titik yang ditinjau dari tumpuan h : tinggi puncak parabola dari tumpuan x : jarak mendatar dari tumpuan terdekat L : jarak mendatar dari dua buah tumpuannya Untuk menghitung gaya geser dan gaya normal di setiap titik pada pelengkung tiga sendi, diperlukan kemiringan/garis singgung pada titik tersebut. Gaya vertical V diuraikan menjadi gaya yang tegak lurus garis singgung di titik tersebut atau gaya geser (SF V ) dan gaya yang sejajar dengan garis singgung atau gaya normal (NF V ), demikian pula gaya horizontal H diuraikan menjadi gaya geser (SF H ) dan gaya normal (NF H ) seperti terlihat pada Gambar II 1(b) Uraian gaya vertikal V : NF V sin θ = ------ NF V = V sin θ V.. (1) SF V cos θ = ------ V SF V = V cos θ Uraian gaya horizontal H : II-4

SF H sin θ = ------ SF H = H sin θ H NF H (2) cos θ = ------ NF H = H cos θ H Dari uraian persamaan (1) dan (2), gaya geser pada titik ( x,y ) adalah : SF x = SF V SF H SF x = V cos θ H sin θ sedangkan gaya normal pada titik ( x,y ) adalah : NF x = NF V + NF H NF x = V sin θ + H cos θ Contoh (1) : Diketahui pelengkung tiga sendi A-S-B dengan beban dan ukuran seperti pada Gambar II 2(a). Hitung reaksi tumpuan, gaya geser, gaya normal dan momen di titik x (9,6). Penyelesaian : Reaksi Tumpuan : Misalkan reaksi tumpuan di A dan B mempunyai arah seperti pada gambar II 2(a) M B = 0 R AV (36) + R AH (0) (4)(18)(27) = 0 36 R AV + 0 1944 = 0 R AV = 54 T ( ) II-5

M A = 0 - R BV (36) + R BH (0) + (4)(18)(9) = 0-36 R BV + 0 + 648 = 0 R BV = 18 T ( ) Kontrol terhadap V = 0 R AV + R BV (4)(18) = 0 54 +18 72 = 0.ok! Gambar II 2 Tinjau kesetimbangan bagian kiri, yaitu bagian AS M S kiri = 0 R AV (18) - R AH (8) (4)(18)(9) = 0 (54)(18) 8 R AH 648 = 0 324 8 R AH = 0 R AH = 40,5 T ( ) II-6

Tinjau kesetimbangan bagian kanan, yaitu bagian BS M S kanan = 0 - R BV (18) + R BH (8) = 0 - (18)(18) + 8 R BH = 0-324 + 8R BH = 0 R BH = 40,5 T ( ) Kontrol terhadap H = 0 R AH + R BH = 0 40,5 40,5 = 0.ok! Titik koordinat pada pelengkung tiga sendi yang berjarak x m dari tumpuan dapat dicari dengan menggunakan persamaan dasar parabola ; 4 h (x) ( L x ) y = --------------------- L² Untuk h = 8 m dan L = 36 m, maka persamaan parabola menjadi, 4 (8)(x) ( 36 x ) 32(x)(36 x) 2 y = --------------------- = ---------------- = ---- ( 36x x² ) (36)² 1296 81 Untuk titik x = 9 m, maka nilai y : 2 Y = 81 { (36)(9) (9)² } = 6 m d d y x = 2 81 (36 2x) II-7

d y x=9 = d x 2 2 4 { (36 2(9) } = (18) = 81 81 9 tg θ = 9 4 θ = arctg 9 4 = 23,9625 o sin θ = 0,4061 cos θ = 0,9138 Pada titik x (9,6), maka gaya vertikal, gaya horizontal, gaya geser, gaya normal dan momen adalah sebagai berikut : Gaya vertikal dan horizontal ( V x dan H x ) V x = R AV (4)(x) = 54 (4)(9) = 18 T ( ) H x = R AH = 40 T ( ) Gaya geser ( SF x ) SF x = V cos θ H sin θ = (18)(0,9138) (40,5)(0,4061) = 0,00135 0 T Gaya normal ( NF x ) : NF x = V sin θ + H cos θ = (18)(0,4061) + (40,5)(0,9138) = 44,3186 T ( tekan ) Momen ( M x ) : M x = (54)(9) (40,5)(6) (4)(9)(4,5) = 81 Tm 2.3 PELENGKUNG TIGA SENDI TIDAK SIMETRIS II-8

Pada pelaksanaan di lapangan, sering dihadapi persoalan struktur yang terjadi, bahwa suatu struktur pelengkng tiga sendi yang kedua buah tumpuannya merupakan sendi yang tidak terletak pada level atau ketinggian yang sama, atau dengan istilah panjang batang lengkungnya tidak sama. Pelengkung yang demikian disebut dengan pelengkung tiga sendi yang tidak simetris. Untuk menyelesaikan pelengkung tiga sendi yang tidak simetris, tidak dapat langsung digunakan persamaan parabola yang ada, tetapi dengan syarat, yaitu memperpanjang panjang lengkung yang pendek sehingga menjadi pelengkung tiga sendi simetris (secara fiktif), seperti pada contoh berikut : Contoh (2) : Diketahui sebuah pelengkung tiga sendi A-S-B dengan beban dan ukuran seperti pada Gambar II 3(a). Hitunglah reaksi-reaksi tumpuan serta gaya geser, gaya normal dan momen pada titik x. II-9

Gambar II - 3 Penyelesaian : Reaksi Tumpuan : M B = 0 R AV (60) - R AH (9) (1)(40)(40) = 0 60 R AV 9 R AH = 1600... (1) M S kiri = 0 R AV (40) R AH (12) - (1)(40)(20) = 0 40 R AV 12 R AH = 800... (2) Dari persamaan (1) dan (2), maka : (1)......... 60 R AV 9 R AH = 1600 (2) x 1,5..... 60 R AV 18 R AH = 1200 ------------------------------- 9 R AH = 400 R AH = 44,44 T ( ) II-10

R AV = 33,33 T ( ) V = 0 R AV (1)(40) + R BV = 0 R BV = 40 33,33 = 6,67 T ( ) H = 0 R BH + R AH = 0 R BH = 44,44 T ( ) Dengan menggunakan persamaan parabola dasar, untuk h = 12 m, y = 9 m dan x = 60 m, maka panjang bentang pelengkug yang simetris dapat dihitung sebagai berikut ( Gambar II 3b ) 4 h (x) ( L x ) 4(12)(60)( L 60 ) y = --------------------- 9 = ------------------------- L² L² 9 L² = 2880 ( L 60 ) L² = 320 L 19200 L² 320 L + 19200 = 0 ( 320) ± ( 320)² (4)(1)(19200) L 1&2 = -------------------------------------------------- 2 L 1 = 240 m tidak mungkin (tidak memenuhi) L 2 = 80 m (memenuhi) Untuk h = 12 m dan L = 80 m, maka persamaan parabola dasar berubah menjadi : (4)(12)(x)( 80 x ) 48(x)(80 x) y = ------------------------ y = -------------------- 80² 6400 3840(x) 48(x²) y = --------------------- y = 0,6 x 0,0075 x² 6400 II-11

y/ x = 0,6 0,015 x Untuk x = 20 m, lihat Gambar II 3(b) maka, nilai y adalah: y = 0,6 x 0,0075 x² y = (0,6)(20) 0,0075 (20)² = 9 m titik X (20, 9) Nilai y/ x atau garis singgung pada titik X (20, 9) adalah : y/ x = 0,6 0,015 (20) y/ x = 0,3 atau tg θ = 0,3 θ = 16 41 sin θ = 0,2873 cos θ = 0,9578 Besarnya gaya vertikal V dan gaya horizontal H pada titik X dapat dihitung : V = 33,33 (1)(20) = 13,33 T ( ) H = 44,44 T ( ) Setelah gaya vertikal dan gaya horizontal pada titik X (20, 9) dapat ditentukan, maka gaya geser, gaya normal dan momen pada titik tersebut dapat dicari. Gaya Geser (SF X ) SF X = V cos θ H sin θ = (13,33)(0,9578) (44,44)(0,2873) = 0 T Gaya Normal (NF X ) NF X = V sin θ + H cos θ = (13,33)(0,2873) + (44,44)(0,9578) = 46,40 T Momen Lentur (M X ) II-12

M X = R AV (20) R AH (9) - (0,5)(q)(20)² = (13,33)(20) (44,44)(9) (0,5)(1)(20)² = 66,67 Tm Contoh (3) : Struktur pelengkung tiga sendi A-S-B dan pembebanan seperti terlihat pada gambar II 4. Hitung reaksi tumpuan, gaya geser, gaya normal dan momen pada titik X yang berjarak 5 m di sebelah kiri dari tumpuan B. Penyelesaian : Reaksi Tumpuan M B = 0 R AV (10) + R AH (5) (5)(4) = 0 10 R AV + 5 R AH = 20 (1) M A = 0 (5)(1) R BV (10) R BH (5) = 0 10 R BV + 5 R BH = 5 (2) M S kanan = 0 (5)(2) R BV (L/2) R BH (6) = 0 Gambar II 4 II-13

Untuk menghitung panjang bentang parabola dasar pada titik (10, 5) L, dengan persamaan 4 h (x) ( L x ) 4(6)(10)( L 10 ) y = --------------------- 5 = ------------------------- L² L² 5 L² = 240 L 2400 ) 5L² 240 L + 2400 = 0 ( 240) ± ( 240)² (4)(5)(2400) L 1&2 = -------------------------------------------------- (2)(5) L 1 = 14,20 m, memenuhi L 2 = 33,79 m, tidak mungkin (tidak memenuhi) Persamaan M S kanan = 0 dapat dituliskan menjadi M S kanan = 0 (5)(2) R BV (L/2) R BH (6) = 0 Dari persamaan (2) dan (3), maka V = 0 10 R BV (7,1) R BH (6) = 0 7,1 R BV + 6 R BH = 10. (3) (2) x 6......... 60 R BV + 30 R BH = 30 (3) x 5......... 35,5 R BV + 30 R AH = 50 --------------------------------- 24,5 R BV = - 20 (2)........... 10 R BV + 5 R BH = 5 R AV + R BV = 0 R BV = - 0,81 T ( ) 5 R BH = 5 + 10 (0,81) = 13,16 R BH = 2,63 T ( ) R AV + (- 0,81) = 0 R AV = 0,81 T ( ) II-14

H = 0 R AH + R BH 5 = 0 R AH + 2,63 5 = 0 R AH = 2,37 T ( ) Untuk h = 6 m dan L = 14,2 m, maka persamaan parabola dasar berubah menjadi : (4)(6)(x)(14,2 x ) 24(x)(14,2 x) y = ------------------------- y = -------------------- (14,2)² 201,64 340(x) 24(x²) y = --------------------- y = 1,69 x 0,12 x² 201,64 y/ x = 1,69 0,24 x Untuk x = 5 m, lihat Gambar VI 4 maka nilai y adalah : y = 1,69 x 0,12 x² y = (1,69)(5) 0,12 (5)² = 5,45 m titik X (5, 5,45) Nilai y/ x atau garis singgung pada titik X (5, 5,45) adalah : y/ x = 1,69 0,24 x = 1,69 (0,24)(5) = 0,49 y/ x = 0,49 atau tg θ = 0,49 θ = 26 6 sin θ = 0,44 cos θ = 0,89 Besarnya gaya vertikal V dan gaya horizontal H pada titik X dapat dihitung : V = 0,81 T ( ) H = 2,37 T ( ) II-15

Setelah gaya vertikal dan gaya horizontal pada titik X dapat ditentukan, maka gaya geser, gaya normal dan momen pada titik tersebut dapat dicari. Gaya Geser (SF X ) SF X = V cos θ H sin θ = (0,81)(0,89) (- 2,37)(0,44) = 1,7637 T Gaya Normal (NF X ) NF X = V sin θ + H cos θ = (0.81)(0,44) + (- 2,37)(0,89) = - 1,7529 T Momen Lentur (M X ) M X = R AV (20) R AH (9) - (0,5)(q)(20)² = (- 0,81)(5) + (2,63)(5,45) (5)(1,45) = 3,0335 Tm II-16