MATEMATIKA TEKNIK SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
Integrl Fungs Kompleks 4 INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS Sepert hlny dlm fungs rl, dlm fungs kompleks jug dkenl stlh ntegrl fungs kompleks sert sft-sftny Sft kenltkn sutu fungs dlm sutu lntsn tertutup pentng dlm perhtungn ntegrl Setelh memc B 4, mhssw dhrpkn dpt : Menghtung ntegrl lntsn kompleks Menggunkn teorem uchy Gourst dn rumus ntegrl uchy dlm perhtungn ntegrl Menggunkn turunn fungs nltk untuk menghtung ntegrl 4 Fungs Kompleks dr Vrel Rl Mslkn F( dlh fungs kompleks dr vrel rl t, dtuls seg F( u( v( dengn u( dn v( dlh fungs rl Jk u( dn v( kontnu pd ntervl tertutup t, mk u( F ( v( Sft-sft Re F( Re F( Im F( Im F( k F( k F( 4 F( F( 5 F( F( Pemuktn sft-sft ntegrl d ts menggunkn sft-sft ntegrl fungs rl Bukt sft : F( k[ u( k v( ] k u( k v( k u( k v( (sft ntegrl fungs rl : k f ( x dx k f ( x dx
Integrl Fungs Kompleks Bukt sft 4 : k u( v( k F( (terukt ( u( F v( 4 Lntsn Jk g dn (sft ntegrl fungs rl : u ( v( h t u ( v( u ( v( F ( (terukt fungs ernl rl dn kontnu dr vrel f ( x dx f ( x dx t dlm ntervl tertutup t, mk hmpunn ttk-ttk d dng xy dpt dnytkn dlm entuk prmetrk x g(, y, t Oleh kren tu, hmpunn ttk-ttk dlm dng kompleks jug dpt dnytkn dlm entuk prmetrk Defns 4 Kurv d dng r merupkn kurv mulus (smooth curve jhj kurv terseut dpt dnykn dengn du fungs ernl rl x g(, y, t sedemkn sehngg dx g' ( dy dn h' ( t d dn kontnu dlm ntervl t ontoh Kurv dengn entuk prmetrk x cost, y sn t, t merupkn kurv mulus Jk merupkn kurv mulus dengn entuk prmetrk : x g(, y, t mk ttk pd yng erpdnn dengn t dseut ttk wl ttk pd yng erpdnn dengn t dseut ttk khr Selnjutny, dseut lntsn (pth l terdr dr erhngg nyk kurv mulus,
Integrl Fungs Kompleks dengn n n,, merupkn kurv mulus Pengertn lntsn n sngt, pentng dlm ntegrl fungs kompleks kren erpern seg selng pengntegrln dlm ntegrl fungs rl dr stu vrel ttn : dseut lntsn tertutup jk ttk khr erhmpt dengn ttk wl dseut lntsn teruk jk ttk khr tdk erhmpt dengn ttk wl dseut lntsn sederhn jk lntsn tdk memotong drny sendr 4 dseut lntsn ergnd jk lntsn memotong drny sendr ontoh Lntsn tertutup Lntsn teruk c Lntsn sederhn d Lntsn ergnd Teorem 4 ( Kurv Jordn Jk lntsn tertutup sederhn d dng r, mk dng r tu dg oleh menjd gn, ytu kurv gn dlm, dtuls Int (, yng merupkn hmpunn teruk dn terts gn lur, dtuls Ext (, yng merupkn hmpunn teruk dn tdk terts Kurv merupkn ts dr hmpunn Int ( dn Ext ( 4 Integrl Grs Mslkn kurv mulus dsjkn dengn x g(, y, t g ( dn h ( kontnu d t g '( dn h '( kontnu d t Kurv mempuny rh dr ttk wl A ( g(, ke ttk khr B( g(, dn P( x, sutu fungs yng terdefns d
Integrl Fungs Kompleks Teorem 4 Jk P( x, kontnu d, mk P ( x, dx dn B P ( x, dy d dn ( x, dx ( x, dx A P P[ g(, ] g' ( P ( x, dy P[ g(, ] h'( P P( x, dx A B Jk P( x, dn Q ( x, kontnu d, mk x, dx Q( x, dx P( x, dx P ( Q( x, dx Teorem 4 P( x, Q( x, Jk dn sert turunn prsl tngkt pertm kontnu pd seluruh derh tertutup R yng dts lntsn tertutup, mk Q P P dx Q dy dxdy x y R ontoh Tentukn ntegrl grs fungs x y sepnjng lntsn K dengn : grs dr (, ke (, dn K : grs dr (, ke (, Penyelesn : (, (, : y, x K (, K : x, y Pd kurv : dy dn pd kurv K : dx K K dx dy = K dx ( x dx x dx dy ( x dy = 6 ( y dx K K dx dy 4
Integrl Fungs Kompleks 44 Integrl Lntsn Kompleks Derkn lntsn dlm entuk prmetrk t t Jk g( dn x y kontnu d, mk ttk-ttk ( g (, ke ( g(, tu dr dn ( g(, t smp x g( g' (, dn y h' ( dengn kontnu d terletk Arh pd kurv dengn ( g(, Defns 4 Derkn fungs u( x, v( x, dr t fungs smp dengn u dn fungs yng kontnu sepotong-potong pd Integrl sepnjng lntsn dengn rh dr dlh g( g '( h'( t ( f f Sft-sft k k ( g( ontoh 4 f g( Htung e jk : grs lurus dr ke Penyelesn : (, (, Persmn grs : y dn mempuny entuk prmetrk : x g( t, t [,] ( 4 y Dr (4 dperoleh : g( t g' ( h'( Kren e mk f g( ( t f ( t ( t e t v Sehngg, e ( t e ( t ( t ( t e (gunkn suttus : u ( t 5
Integrl Fungs Kompleks 4 e e 45 Pengntegrln uchy Teorem 44 ( Teorem uch Jk nltk dn f '( kontnu d dlm dn pd lntsn tertutup sederhn, mk nltk dn f '( kontnu ontoh 4 Mslkn derkn serng lntsn tertutup dlm dng kompleks Teorem 45 ( Teorem uchy- Gours Jk nltk d dlm dn pd lntsn tertutup sederhn, mk nltk ontoh 5 Dkethu : Htunglh jk Penyelesn : f '( (, tdk nltk d dn terletk d lur Oleh kren tu, nltk d dlm dn pd lntsn, sehngg ( Teorem 46 (Bentuk ln Teorem uchy Gourst Teorem 47 (Teorem uchy Jk fungs nltk d seluruh domn terhuung sederhn D, mk untuk setp lntsn tertutup d dlm D, erlku Derkn sutu lntsn tertutup, sedngkn,,, n dlh lntsn-lntsn tertutup yng terletk 6
Integrl Fungs Kompleks Gourst yng dperlus d nteror sedemkn sehngg,,, n tdk slng erpotongn Jk fungs nltk d dlm derh tertutup yng terdr dr ttk-ttk pd dn ttk-ttk d dlm, kecul ttk-ttk nteror,,, n, mk f ( n tdk nltk nltk ontoh 6 ( Htung, jk : Penyelesn : tdk nltk d yng erd d dlm nteror Dut lntsn tertutup erpust d ytu t : Dperoleh e t, t dn e Menurut Teorem uchy Gourst yng dperlus, ( ( e t e t d dlm 46 Integrl Tk Tentu dn Integrl Tentu Jk fungs f nltk d dlm domn terhuung sederhn D, mk F( f ( d mempuny turunn untuk setp ttk d dlm D dengn F' (, slkn lntsn pengntegrln dr ke seluruhny terletk d dlm D Jd F ( jug nltk d dlm D Teorem 48 Jk dn d dlm D, mk F( F( 7
Integrl Fungs Kompleks D nltk ontoh 7 (Kren merupkn fungs utuh, mk dpt dut serng domn terhuung sederhn D yng memut lntsn pengntegrln dr ke 47 Rumus Integrl uchy Teorem 49 (Rumus Integrl uchy Jk nltk d dlm dn pd lntsn tertutup serng ttk d dlm, mk tu f ( f ( dn nltk Turunn Fungs Anltk f '( (! f ''( ( n! n f ( n ( ( ( ( n f '( f ''(! f n! n ( ontoh 8 Htung dengn Penyelesn : Dml : ( nltk d dlm dn pd d dlm 8
Integrl Fungs Kompleks f ( f ( Menggunkn rumus ntegrl uchy, dperoleh f ( Htung ( Penyelesn : Dml : dengn : ( nltk d dlm dn pd d dlm f '( f '( '( 4 f 6 Menggunkn turunn fungs nltk, dperoleh f ( ( (! 6 8 48 Teorem Morer dn Teorem Lonvlle Teorem 4 (Teorem Morer Jk kontnu dlm domn terhuung setp lntsn tertutup dlm D erlku mk nltk d seluruh D D dn untuk, Teorem 4 (Teorem Lonvlle Jk kompleks, mk nltk dn terts d seluruh dng dlh sutu fungs konstn 49 Teorem Modulus Mksmum Jk nltk dn M derh D r nl mksmum dr untuk :, dn jk f ( M, mk d dlm konstn d seluruh derh D Aktny, jk nltk dn tdk konstn pd D, mk f ( M Prnsp Modulus Mksmum Teorem 4 (Teorem Modulus Mksmum Jk fungs tk konstn nltk d, mk d setp ktr dr, terdpt ttk dn f ( Jk nltk d dlm dn pd lntsn tertutup sederhn, dn tdk konstn, mk mencp nl mksmum d sutu ttk pd, ytu pd pertsn derh tu dn tdk d ttk nteror 9
Integrl Fungs Kompleks Teorem 4 (Ketksmn uch Jk sederhn nltk d dlm dn pd lntsn tertutup : r, dn terts pd, n n! M M, mk f (, n,,, n r Rngksn Sft kenltkn fungs kompleks d dlm dn pd sutu lntsn tertutup merupkn hl yng hrus dperhtkn dlm perhtungn ntegrl fungs kompleks
Integrl Fungs Kompleks Sol-sol e Htung jk : kurv y x dr ke Htung jk dengn : setengn lngkrn dr ke Htung ntegrl fungs sepnjng lntsn tertutup erkut : e, (4 : (counterclockwse f e ( ( ( 4, : ellps x 4y 4 (counterclockwse Ln( cos c, ( : segempt dengn ttk-ttk sudut dn (counterclockwse d, ( (clockwswe : terdr dr (counterclockwse dn ( sn e, : (counterclockwse ( e f, ( : segempt dengn ttk-ttk sudut (counterclockwse dn (clockwswe sn g, ( : segtg dengn ttk-ttk sudut, (counterclockwse