DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA

digilib.uns.ac.id DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA oleh ANIS TELAS TANTI M0106003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 i

digilib.uns.ac.id SKRIPSI DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA yang disiapkan dan disusun oleh ANIS TELAS TANTI M0106003 dibimbing oleh Pembimbing I Pembimbing II (Drs. Sugiyanto, M.Si) NIP. 19611224 199203 1 003 (Titin Sri Martini, S.Si., M.Kom) NIP. 19750120 200812 2 001 telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari kamis, tanggal 5 Januari 2012 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Dr. Sri Subanti, M.Si 1. NIP. 19581031 198601 2 001 2. Drs. Sutrima, M.Si 2. NIP. 19661007 199302 1 001 Surakarta, Januari 2012 Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan Ketua Jurusan Matematika Ir. Ari Handono Ramelan, M.Sc, (Hons)., Ph.D. NIP. 19610223 198601 1 001 Irwan Susanto, DEA. NIP. 19710511 199512 1 001 ii

digilib.uns.ac.id ABSTRAK Anis Telas Tanti, 2012. DEFICIENCY PENAKSIR PARAMETER PADA DISTRIBUSI GAMMA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Sebuah penaksir merupakan fungsi dari sampel data yang digunakan untuk menaksir parameter populasi yang tidak diketahui. Ada dua jenis penaksir yaitu penaksir titik dan penaksir interval. Tingkat keakurasian penaksir titik dalam menaksir bergantung pada besarnya ukuran sampel. Deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel besar, yang digunakan untuk membandingkan dua buah penaksir yang berbeda. Deficiency dicari dengan menggunakan MSE dari kedua penaksir. Penaksir yang dipilih adalah maximum likelihood estimator (MLE) dan uniformly minimum variance unbiased (UMVUE). Hal ini dikarenakan kedua penaksir dapat diasumsikan identik jika parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah. Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan deficiency pada distribusi gamma, yang merupakan anggota dari distribusi keluarga eksponensial pada sampel berukuran besar. Untuk menentukan deficiency penaksir pada distribusi gamma, langkahlangkah yang ditempuh adalah menentukan taksiran parameter dengan menggunakan MLE dan UMVUE. Kemudian menentukan MSE dari MLE dan UMVUE. Selanjutnya mengurangkan MSE dari MLE terhadap MSE dari UMVUE sehingga diperoleh deficiency penaksir parameter pada distribusi gamma. Hasil dari penelitian ini adalah diperoleh deficiency penaksir dari MLE terhadap UMVUE pada distribusi gamma. Deficiency yang diperoleh merupakan hasil selisih MSE pada MLE dan UMVUE. Nilai deficiency bergantung pada nilai parameter dari distribusi gamma. Kata kunci: Deficiency, Distribusi Gamma, MLE, UMVUE. iii

digilib.uns.ac.id ABSTRACT Anis Telas Tanti, 2012. DEFICIENCY OF PARAMETER ESTIMATION IN GAMMA DISTRIBUTION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Estimator is a function of sample data that used to estimate unknown parameter of population. There are two kinds of estimator, it is point estimator and interval estimator. In point estimation, level of accuracy depend on sample size. Deficiency is a part of large-sample theory, that used to compare of two different estimator. Deficiency can be found using MSE from two estimators. Estimators that selected are maximum likelihood estimator (MLE) and uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE). They are selected because they can be assumed identic if natural parameter of exponential family distribution is θ. The purpose of this research is to determine deficiency on gamma distribution, which a kind of an exponential family distribution on large sample. Determining deficiency of estimator on gamma distribution will be solved using 3 steps. First, estimating parameter for gamma distribution using MLE and UMVUE. Second, determining MSE from MLE and UMVUE. The last step is determining different value from MSE of MLE with MSE of UMVUE, such that it can be obtained deficiency of estimator on gamma distribution. The result shows that it can be obtained deficiency of MLE with UMVUE on gamma distribution. It is obtained from different value of MLE and UMVUE. Deficiency value depend on parameter value from gamma distribution. Keywords: deficiency, gamma distribution, MLE, UMVUE. iv

digilib.uns.ac.id KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Bapak Drs. Sugiyanto, M.Si, sebagai dosen pembimbing I yang telah memberikan bimbingan, nasehat dan pengarahan dalam penyusunan skripsi ini. 2. Ibu Titin Sri Martini, S.Si, M.Kom, sebagai dosen pembimbing II yang telah memberikan bantuan dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini. 3. Kedua orang tua dan kakak penulis atas doa dan dukungannya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. 4. Nugroho Arif Sudibyo dan Lee Jemy yang telah membantu dan memberi semangat penulis menyelesaikan skripsi ini. 5. Seluruh rekan-rekan angkatan 2006 yang telah menemani berjuang menyelesaikan skripsi ini. 6. Semua pihak yang telah membantu dan mendukung terselesaikannya skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca. Surakarta, Januari 2012 Penulis v

digilib.uns.ac.id DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i PENGESAHAN... ii ABSTRAK... iii ABSTRACT... iv KATA PENGANTAR... v DAFTAR ISI... vi BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Perumusan Masalah... 2 1.4 Tujuan Penelitian... 2 1.5 Manfaat Penelitian... 2 BAB II LANDASAN TEORI... 3 2.1 Tinjauan Pustaka... 3 2.2 Teori-Teori Penunjang... 3 2.2.1 Konsep Dasar Statistika... 4 2.2.2 Konsep Big-O dan Little-o... 4 2.2.3 Distribusi Gamma... 5 2.2.4 Maximum Likelihood Estimator... 6 2.2.5 UMVUE... 7 2.2.6 Momen... 8 2.2.7 Distribusi Keluarga Eksponensial... 8 2.2.8 Ekspansi Taylor... 9 2.2.9 Konsep Deficiency... 9 2.3 Kerangka Pemikiran... 10 BAB III METODE PENELITIAN... 11 BAB IV PEMBAHASAN... 12 vi

digilib.uns.ac.id 4.1 Deficiency Penaksir pada Distribusi Keluarga Eksponensial... 12 4.1.1 Penentuan MSE pada Penaksir Maksimum Likelihood... 16 4.1.2 Penentuan MSE pada UMVUE... 19 4.1.3 Deficiency dari MLE terhadap UMVUE... 21 4.2 Estimasi Parameter pada Distribusi Gamma... 22 4.3 Deficiency Penaksir pada Distribusi Gamma... 26 BAB V PENUTUP... 29 5.1 Kesimpulan... 29 5.2 Saran... 29 DAFTAR PUSTAKA... 30 DAFTAR LAMPIRAN... 31 vii

digilib.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Dalam statistika, sebuah penaksir adalah sebuah fungsi dari sampel data observasi yang digunakan untuk menaksir parameter populasi yang tidak diketahui. Ada dua jenis penaksir yaitu penaksir titik dan penaksir interval. Dalam penaksiran titik, suatu parameter ditaksir dengan menggunakan satu bilangan saja. Misalnya menaksir parameter-parameter,, dan dengan menggunakan statistik-statistik,, atau. Pada umumnya, probabilitas suatu penaksiran titik untuk tepat sekali sangat kecil dan ketidakakurasian sebuah penaksir dalam menaksir disebut fungsi resiko. Fungsi resiko dalam setiap penaksiran besarnya berbeda-beda, bergantung pada ukuran sampel. Biasanya semakin besar ukuran sampel yang digunakan maka resikonya pun akan semakin kecil. Hal ini dikarenakan semakin besar ukuran sampel maka informasi yang diperlukan untuk menaksir semakin tersedia. Pembahasan deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel besar yaitu membandingkan dua metode penaksir pada sampel berukuran besar. Konsep deficiency sendiri diperkenalkan oleh Hodges & Lehmann (1970), konsep ini diperluas oleh Gudi & Nagnur (2004) yang meneliti deficiency antara penaksir tak bias yang saling asymptotically efficient pada distribusi keluarga eksponensial satu parameter. Penaksir yang dipilih adalah maximum likelihood estimator (MLE) dan uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE). Menurut Greenwood & Nikulin (1996), secara umum MLE dan UMVUE merupakan dua buah penaksir yang berbeda, namun kedua penaksir ini dapat diasumsikan identik jika parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah. Karena adanya asumsi identik tersebut, maka dapat ditentukan deficiency dari kedua penaksir dengan membandingkan nilai MSE-nya. Menurut 1

digilib.uns.ac.id 2 Gudi & Nagnur (2004), MSE dari kedua penaksir diperoleh pada order di atas, dimana n adalah ukuran sampel. Peneliti tertarik untuk melanjutkan hasil dari Gudi & Nagnur (2004), yaitu menentukan deficiency penaksir pada distribusi gamma yang merupakan anggota dari distribusi keluarga eksponensial. Ide dari penentuan deficiency tersebut adalah menentukan MSE dari MLE dan UMVUE. Selanjutnya MSE dari kedua penaksir dibandingkan sehingga diperoleh deficiency. 1.2.Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah dapat disusun rumusan masalah yaitu bagaimana menentukan deficiency dari MLE dan UMVUE pada distribusi gamma. 1.3. Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah menentukan deficiency dari MLE dan UMVUE pada distribusi gamma. 1.4. Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini secara teoritis, dapat menambah pengetahuan tentang fungsi resiko dalam setiap penaksiran sampel berukuran besar, serta pengetahuan tentang estimasi parameter pada anggota distribusi keluarga eksponensial. Secara praktis, diharapkan dapat menentukan penaksir yang sesuai dengan distribusi data yang ada, serta dapat membandingkan fungsi resiko dari penaksir yang digunakan sehingga menghasilkan suatu kesimpulan yang bermanfaat.

digilib.uns.ac.id BAB II LANDASAN TEORI Bagian pertama dari bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi penelitian-penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian ini. Guna mendukung penulisan skripsi ini penulis menyajikan teori-teori penunjang pada bagian kedua yang berisi definisi-definisi sebagai dasar pengertian untuk mempermudah pembahasan selanjutnya. Kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini diberikan pada bagian ketiga. 2.1 Tinjauan Pustaka Konsep deficiency pertama kali diperkenalkan oleh Hodges & Lehmann pada tahun 1970. Kemudian, konsep ini diperluas oleh Gudi & Nagnur (2004) yang meneliti deficiency antara penaksir tak bias yang saling asymptotically efficient pada distribusi keluarga eksponensial satu parameter. Pada tahun 1920, Rao menjelaskan tentang konsep deficiency pada estimator best asymptotically normal (BAN). Nomachi & Yamato (2001) juga melakukan penelitian terhadap perbedaan asymptotic antara LB-stat, V-stat, dan U-stat dengan menggunakan deficiency. Selanjutnya, Yuniar (2008) melakukan penelitian terhadap deficiency pada distribusi geometris yang merupakan anggota distribusi keluarga eksponensial satu parameter. 2.2 Teori - Teori Penunjang Pada bagian ini diberikan definisi dan teori yang mendukung dalam mencapai tujuan penelitian. Berikut ini diberikan gambaran singkat mengenai konsep dasar statistik, distribusi keluarga eksponensial, distribusi gamma, UMVUE, MLE, momen, ekspansi Taylor, konsep deficiency, dan konsep little-oh dan big-oh. 3

digilib.uns.ac.id 4 2.2.1 Konsep Dasar Statistik Konsep dasar statistik yang digunakan sebagai pendukung dalam penelitian ini adalah ruang sampel, variabel random, fungsi kepadatan peluang dan harga harapan. Lima definisi dan teorema dibawah ini diambil dari Bain & Engelhardt (1992). Definisi 2.2.1. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil observasi yang mungkin dari suatu percobaan. Definisi 2.2.2. Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan ruang sampel S ke bilangan real, dengan e merupakan hasil yang mungkin dalam S. Definisi 2.2.3. Variabel random X dikatakan variabel random kontinu jika terdapat fungsi densitas probabilitas sehingga fungsi distribusi kumulatif dapat dinyatakan sebagai. Teorema 2.2.1. Suatu fungsi disebut fungsi kepadatan peluang untuk variabel random kontinu X jika dan hanya jika memenuhi sifat 1. 0 untuk setiap x 2. 1. Definisi 2.2.4. Diberikan X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas. Harga harapan dari X dinyatakan dengan. Definisi 2.2.5. Variansi dari variabel random X yang mempunyai harga harapan adalah. 2.2.2 Konsep Big-O dan Little-o Menurut Binmore (1977), Big-O & Little-o merupakan hubungan kedua fungsi ketika nilai kedua fungsi tersebut menuju tak hingga. Keduanya digunakan untuk membandingkan nilai rata-rata dari dua fungsi yaitu dan, dimana

digilib.uns.ac.id 5 mendekati atau 0. Penentuan Big-O & Little-o bergantung pada dua kasus yang mendasari yaitu ketika mendekati dan mendekati 0. Binmore (1977) memberikan definisi Big-O sebagai berikut Definisi 2.2.6. Apabila g adalah nilai positif dan 0 maka untuk kasus, fungsi f merupakan O(g) jika terdapat konstanta 0 dan 0 sedemikian hingga untuk semua. Definisi 2.2.7. Apabila g adalah nilai positif dan 0 maka untuk kasus 0, fungsi f merupakan O(g) jika terdapat konstanta 0 dan 0 sedemikian hingga untuk semua. Selanjutnya, Binmore (1977) juga menuliskan definisi tentang Little-o seperti dalam definisi 2.2.8 dan definisi 2.2.9. Definisi 2.2.8. Apabila g adalah nilai positif dan 0 maka untuk kasus, fungsi f merupakan o(g) jika 0. Definisi 2.2.9. Apabila g adalah nilai positif dan 0 maka untuk kasus 0, fungsi f merupakan o(g) jika 0. 2.2.3 Distribusi Gamma Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan distribusi gamma yang mengacu pada Bain & Engelhardt (1992). Definisi 2.2.10. Variabel random X yang berdistribusi gamma mempunyai fungsi kepadatan peluang dengan 0 dan 0. ; 0 (2.1) 0 ; Distribusi gamma berasal dari fungsi gamma yang diformulasikan pada definisi berikut Definisi 2.2.11. Fungsi gamma didefinisikan sebagai Γ, 0. (2.2)

digilib.uns.ac.id 6 yaitu Menurut Bain & Engelhardt (1992), fungsi gamma memiliki 3 sifat penting 1. Γ 1Γ 1, 1, 2. Γ 1!, 1,2,, 3. Γ Π. Berdasar 3 sifat penting tersebut dapat digunakan untuk menentukan harga harapan dan variansi dari distribusi gamma yaitu 1., 2.. 2.2.4 Maximum Likelihood Estimator (MLE) Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan maximum likelihood estimator (MLE) yang mengacu pada Lehmann (1983). Definisi 2.2.12. Jika fungsi kepadatan peluang bersama pada x 1,...,x n dinotasikan dengan,,, maka fungsi likelihood dari himpunan pengamatan x 1,...,x n dinyatakan sebagai dengan parameter yang tidak diketahui. ; ; ; ; Definisi 2.2.13. Misalkan merupakan fungsi likelihood suatu himpunan pengamatan,,,, dengan merupakan parameter yang tidak diketahui, maka harga dalam ruang parameter yang memaksimumkan disebut sebagai MLE dari dan dinyatakan sebagai,,, ;,,, ;. Untuk memaksimumkan harus ditentukan nilai merupakan fungsi naik. Sehingga ;,,, ;,,,. MLE dari diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 0. yang

digilib.uns.ac.id 7 Jika ada k parameter yang tidak diketahui, maka MLE dari diperoleh dengan menyelesaikan,,, 0 ; 1,2,3,,. Definisi 2.2.14. Jika adalah suatu MLE dari suatu sampel acak,,, maka penaksir tersebut dikatakan Asymptotically Efficient pada ukuran sampel tak hingga dan memenuhi kondisi 0, dimana adalah informasi Fisher yang memenuhi 0. Teorema 2.2.2. Sifat invarians dari MLE adalah jika adalah MLE dari dan jika g() adalah fungsi dari maka adalah MLE dari. 2.2.5 Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator (UMVUE) Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan uniformly minimum variance unbiased estimator (UMVUE) yang mengacu pada Lehmann (1983). Definisi 2.2.15. Misalkan adalah suatu fungsi yang terestimasi (estimable) dari suatu sampel acak,,, iid, Ω. Penaksir tak bias,,, dari disebut UMVUE jika Ω, berlaku,,,,,, untuk setiap penaksir tak bias lainnya. UMVUE dapat ditentukan dengan mencari statistik cukup untuk keluarga, Ω dan mengkondisikan setiap penaksir tak bias padanya seperti yang ditunjukkan oleh definisi berikut Definisi 2.2.16. Misalkan,,, adalah tak bias untuk suatu fungsi dan T adalah statistik cukup untuk keluarga, Ω, maka,,,,,, adalah UMVUE untuk.

digilib.uns.ac.id 8 2.2.6 Momen Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan momen yang mengacu pada Bain & Engelhardt (1992). Definisi 2.2.17. Misalkan,,, merupakan sebuah sampel acak berukuran n dan didefinisikan k buah momen sekitar rata-rata sampel pertama sehingga 1, 1,2,,. Penentuan k buah momen sekitar rata-rata populasi pertama dirumuskan sebagai berikut. Secara umum, momen populasi merupakan fungsi dari k buah parameter yang tidak diketahui. Dengan menyamakan momen sampel dan momen populasi akan menghasilkan k buah persamaan dalam k buah parameter yang tidak diketahui, yaitu ; 1,2,,. Solusi dari persamaan di atas dinotasikan dengan,,, menghasilkan penaksir momen untuk,,,. 2.2.7 Distribusi Keluarga Eksponensial Berikut ini diberikan penjelasan yang berhubungan dengan distribusi keluarga eksponensial yang mengacu pada Lehmann (1983). Suatu fungsi kepadatan peluang (fkp) termasuk ke dalam distribusi keluarga eksponensial, jika fkp tersebut dapat diuraikan dalam bentuk fx; θ exp θtx θ Qx ; x, θ Ω (2.3) dengan, θ adalah parameter natural dan Ω adalah ruang parameter. Berdasar persamaan (2.3) di atas, T(x) merupakan statistik cukup untuk distribusi keluarga eksponensial. Persamaan (2.3) tidak unik karena nilai T(x) dapat diganti dengan T(x)/c atau secara umum dapat dibuat transformasi linear dari T(x).

digilib.uns.ac.id 9 2.2.8 Ekspansi Taylor Berikut ini diberikan definisi yang berhubungan dengan ekspansi Taylor yang mengacu pada Purcell (2003). Definisi 2.2.18. Misalkan f(x) sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka a, maka f analitik pada a jika ada untuk semua k, ekspansi Taylor didefinisikan sebagai berikut.! Aproksimasi Taylor ke-n secara umum dapat dituliskan, untuk semua x mendekati a.! Jadi aproksimasi Taylor orde pertama dapat dituliskan, untuk semua x mendekati a. Dan aproksimasi Taylor orde kedua dapat dituliskan, untuk semua x mendekati a.! 2.2.9 Konsep Deficiency Berikut ini diberikan penjelasan yang berhubungan dengan konsep deficiency yang mengacu pada Lehmann (1970). Metode A adalah penaksir titik yang memiliki ukuran sampel n dan expected squared errors yang dinotasikan. Sedangkan metode B adalah penaksir titik yang memiliki ukuran sampel besar yaitu dan expected squared errors yang dinotasikan. Ukuran sampel n pada metode A dianggap ekuivalen dengan ukuran sampel pada metode B sedemikian hingga sama dengan. Secara identik dan berbentuk dan dengan r > 0. (2.4) (2.5)

digilib.uns.ac.id 10 Diberikan k n adalah penyelesaian persamaan dimana, 0 maka 0 dan, dengan persamaan (2.4) dan (2.5) ditunjukkan bahwa sedemikian hingga, 1 1 / 1 (2.6) dengan, maka persamaan (2.6) dapat ditulis kembali menjadi 1 1 / 1 / 1 Berdasarkan persamaan (2.7) dapat ditunjukkan bahwa Persamaan (2.8) dinamakan asymptotic deficiency.. (2.7). (2.8) 2.3 Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun kerangka pemikiran untuk menyelesaikan masalah yang telah dirumuskan, tingkat keakurasian sebuah penaksir dalam menaksir bergantung pada ukuran sampel. Jika semakin besar ukuran sampel yang digunakan maka tingkat keakurasiannya semakin tepat. Secara matematis, hasil dari penaksiran sampel besar berupa nilai limit. Oleh karena itu diperlukan metode penaksir yang tepat. Deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel besar. Deficiency dicari dengan menggunakan MSE dari kedua buah penaksir. Penaksir yang dipilih adalah MLE dan UMVUE. Kedua penaksir tersebut merupakan penaksir yang berbeda, namun dapat diasumsikan identik, jika parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah. Karena adanya asumsi identik dari kedua penaksir ini, maka dapat dibandingkan mana dari kedua penaksir tersebut yang lebih deficient.

digilib.uns.ac.id BAB III METODE PENELITIAN Pada penelitian ini, metode yang digunakan adalah studi literatur yaitu dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi berupa artikel, buku dan jurnal yang dapat mendukung pembahasan tentang deficiency penaksir parameter. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam menentukan deficiency penaksir parameter adalah 1. Menentukan taksiran parameter dari distribusi gamma. 2. Menentukan MSE dari MLE pada distribusi gamma. 3. Menentukan MSE dari UMVUE pada distribusi gamma. 4. Menentukan deficiency pada distribusi gamma dengan menggunakan hasil pengurangan dari langkah 3 terhadap langkah 4. 11

digilib.uns.ac.id BAB IV PEMBAHASAN Pembahasan deficiency merupakan bagian dari pembahasan teori sampel besar. Konsep deficiency sendiri diperkenalkan oleh Hodges & Lehmann. Menurut Hodges & Lehmann (1970), deficiency adalah hasil dari membandingkan mean square error (MSE) dari MLE dan UMVUE yang diperoleh pada order di atas. Pembahasan disini mengacu pada Gudi & Nagnur (2004). 4.1 Deficiency Penaksir pada Distribusi Keluarga Eksponensial Suatu fungsi kepadatan peluang (fkp) termasuk ke dalam distribusi keluarga eksponensial jika fkp tersebut dapat diuraikan dalam bentuk ; exp,, Ω dengan adalah paramater natural dan Ω adalah ruang parameter. Menurut Gudi & Nagnur (2004), jika adalah fungsi yang terestimasi (estimable) dari variabel random,,, iid terhadap distribusi keluarga eksponensial, maka berlaku asumsi 0 (4.1) dengan 0, untuk setiap Ω dan adalah fungsi dari. Jika adalah statistik cukup untuk distribusi keluarga eksponensial maka fungsi diasumsikan sama dengan. Nilai dapat berupa dengan. Menurut Zehna (1966), fungsi log likelihood pada distribusi keluarga eksponensial adalah unimodal dan MLE yang merupakan fungsi dari adalah unik. Hal ini menyatakan bahwa adalah MLE dari, sedangkan adalah UMVUE dari. MLE dan UMVUE dapat diasumsikan identik yaitu, apabila parameter natural dari distribusi keluarga eksponensial adalah. Hal ini diuraikan oleh Greenwood & Nikulin (1966). MLE dan UMVUE merupakan penaksir yang saling commit asimtotically to user efficient sehingga berlaku 12

digilib.uns.ac.id 13 0,, dengan adalah informasi Fisher yang memenuhi 0. Berdasarkan hasil dari Gudi & Nagnur (2004), nilai adalah / / / maka,. (4.2) Jika dimisalkan ekspektasi dari matrik informasi Fisher yaitu ; ;. (4.3) Ekspektasi dari turunan ketiga fungsi log likelihood adalah 3. (4.4) Menurut Gudi & Nagnur (2004), nilai memiliki turunan terhadap yaitu sehingga persamaan (4.4) menjadi diperoleh 3. (4.5) Selanjutnya, persamaan (4.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.2) dan. / / Dari persamaan di atas dapat dicari pendekatan momen dari pada order ke. Misalkan untuk 1,2,3,4 dan menggunakan hasil pada Gudi (2004) diperoleh 1. 1 2. 3. (4.6) (4.7) 4. (4.8) 5. (4.9)

digilib.uns.ac.id 14 dengan,,, adalah momen pusat dari, Bukti. Langkah pertama adalah mengambil ekspektasi pada kedua sisi dari persamaan (4.13) diperoleh adalah order bias pertama dari penaksir, adalah turunan dari terhadap, adalah koefisien dari pada varians dari penaksir dan diberikan sehingga,. (4.10) Selanjutnya, persamaan (4.6) dan (4.7) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.10) dan diperoleh variansi dari penaksir yaitu. (4.11) Berdasarkan definisi MSE oleh Johnson (2004) diketahui bahwa,. (4.12) Persamaan (4.7) dan (4.11) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.12) diperoleh. 4.1.1 Penentuan Mean Square Error dari MLE Jika terdapat turunan dari dan pada ekspansi Taylor, maka dapat diperlihatkan bahwa rangkaian ekspansi Taylor dari sebagai berikut!!!! (4.13) dengan, 1,2,3, adalah turunan ke-i dari terhadap. Menurut Gudi & Nagnur (2004), order bias yang pertama, varians, dan MSE dari MLE dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (4.13). Lemma 4.1.1. Order bias yang pertama dari penaksir adalah

digilib.uns.ac.id 15!!!!. (4.14) Dengan mensubtitusi persamaan (4.6) hingga persamaan (4.9) pada persamaan (4.14) yaitu commit. (4.18) to user. (4.15) Suku dengan order kurang dari pada persamaan (4.15) diabaikan sehingga diperoleh Sehingga, order bias pertama dari adalah. (4.16). (4.17) Untuk selanjutnya ditulis. Teorema 4.1.2. Varians dari penaksir maksimum likelihood adalah. Bukti. Berdasar definisi varians yang dijelaskan oleh Bain & Engelhardt (1992) diketahui bahwa. Setelah diketahui rumus varians secara umum, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengurangi persamaan (4.13) oleh persamaan (4.16) yaitu =

digilib.uns.ac.id 16 Selanjutnya mengambil ekspektasi pada kedua sisi pada persamaan (4.18), dan diperoleh =. (4.19) Kemudian persamaan (4.19) dikuadratkan kedua sisinya dan dilakukan penyederhanaan, dengan mensubstitusi nilai-nilai, 1,2,3,4,, yang merupakan pendekatan momen pada order di atas sehingga persamaan (4.19) menjadi. (4.20) Menurut definisi MSE oleh Johnson (2004) diperoleh nilai MSE dari yaitu. (4.21) 4.1.2 Penentuan Mean Square Error dari UMVUE Misalkan adalah UMVUE dari, dengan asumsi konvergen terhadap ekspansi Taylor, sehingga!!!! (4.22) dengan, 1,2,3, adalah turunan ke-i dari terhadap. Menurut Gudi & Nagnur (2004), perhitungan MSE dari dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (4.22).

digilib.uns.ac.id 17 Teorema 4.1.3. Mean Square Error (MSE) dari adalah. Bukti. Mean Square Error (MSE) dari adalah. (4.23) Karena adalah penaksir tak bias dari, sehingga persamaan (4.23) menjadi. (4.24) Berdasar hasil pengurangan dari persamaan (4.22) terhadap diperoleh. (4.25) Selanjutnya, kedua sisi pada persamaan (4.25) dikuadratkan dan diambil ekspektasinya. Sehingga diperoleh nilai dari adalah. (4.26) Karena adalah penaksir tak bias dari, maka dengan mengambil ekspektasi pada kedua sisi dari persamaan (4.25) diperoleh (4.9) yaitu. (4.27) Persamaan (4.27) disubstitusi dengan persamaan (4.6) hingga persamaan

digilib.uns.ac.id 18. (4.28) Langkah selanjutnya adalah menurunkan persamaan (4.28) dan mengabaikan order diatas diperoleh (4.29) dengan catatan,. Berdasar persamaan (4.25) nilai dari maka persamaan (4.29) menjadi adalah, 3 2 2 1. (4.30) Persamaan (4.30) diturunkan terhadap sehingga diperoleh (4.31). (4.32) Kemudian persamaan (4.28) dikuadratkan menjadi. (4.35). (4.33) Hasil dari (4.30) hingga (4.32) disubstitusi dengan hasil pada (4.6) hingga (4.9) maka persamaan (4.26) menjadi 3. (4.34) Selanjutnya persamaan (4.33) dan (4.34) disubstitusi ke dalam persamaan (4.24) menjadi

digilib.uns.ac.id 19 4.1.3 Deficiency dari MLE terhadap UMVUE Setelah diperoleh hasil dan maka dapat dicari nilai dari deficiency. Berikut akan ditunjukkan nilai deficiency dari MLE terhadap UMVUE yang dinyatakan oleh Gudi & Nagnur (2004). Teorema 4.1.4. Deficiency dari MLE terhadap UMVUE ditunjukkan sebagai berikut, 2. Bukti. Menurut Gudi & Nagnur (2004), deficiency dari MLE terhadap UMVUE dapat dicari dengan cara mengurangkan pada persamaan (4.21) dengan pada persamaan (4.35), sehingga diperoleh,, 2. (4.36) Deficiency MLE terhadap UMVUE dapat disimpulkan dari persamaan (4.36) yaitu, Jika, dan 2. (4.37) 2 maka persamaan (4.37) dapat ditulis sebagai berikut,. (4.38) Berdasarkan persamaan (4.38), menunjukkan bias pada penaksir maksimum likelihood.

digilib.uns.ac.id 20 4.2 Estimasi Parameter pada Distribusi Gamma Para peneliti ingin membuat keputusan yang berkaitan dengan nilai numerik suatu parameter populasi untuk mendapatkan keputusan tentang besar nilai-nilai parameter populasi berdasarkan data sampel, oleh karena itu digunakan sebuah proses yang disebut penaksiran. Suatu estimasi titik dari suatu parameter populasi adalah suatu nilai tunggal dari suatu titik. Sehingga dapat dilakukan estimasi dengan berbagai metode yang telah tersedia. Metode yang digunakan dalam estimasi parameter dari distribusi gamma adalah MLE dan UMVUE. MLE adalah suatu metode statistik yang populer digunakan untuk menentukan estimasi titik sebuah parameter. Sedangkan dalam statistik yang disebut UMVUE adalah penaksir tak bias yang memiliki nilai variansi paling kecil jika dibandingkan penaksir tak bias lainnya untuk semua nilai yang mungkin dari parameter. Fungsi kepadatan peluang dari distribusi gamma dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut,. Parameter dalam persamaan tersebut diestimasi dengan menggunakan MLE. Estimasi terlebih dahulu dilakukan dengan membentuk fungsi likelihood yang menyatakan fungsi probabilitas bersama dari. Jika diberikan n buah pengamatan untuk setiap grup i, misalkan untuk 1,2,,, maka fungsi densitas probabilitas untuk setiap pengamatan pada setiap grup i dari distribusi gamma dinyatakan sebagai, 1 Γ. Setiap pengamatan pada setiap grup i diasumsikan saling independen. Fungsi likelihood diperoleh dari perkalian masing-masing fungsi kepadatan peluang setiap pengamatan. Hal ini dinyatakan dengan,, / commit to user

digilib.uns.ac.id 21 dan fungsi log likelihoodnya adalah Γ exp, ln, ln Γ exp, ln Γ ln 1 persamaan (4.42) dengan menyamakan persamaan tersebut dengan 0, yakni ln. (4.39) Persamaan (4.39) memuat parameter yang akan diestimasi. Parameter tersebut adalah dan. Estimasi yang dilakukan pertama adalah estimasi terhadap parameter. Langkah awal untuk mengestimasi adalah mencari turunan pertama dari persamaan (4.39) terhadap, yaitu,, ln Γ ln 1 ln. (4.40) Langkah selanjutnya adalah memaksimumkan fungsi log likelihood pada persamaan (4.39) dengan menyamakan persamaan (4.40) dengan 0 yakni sehingga,, 0 0. (4.41) Setelah mengestimasi parameter, estimasi dilakukan untuk parameter dengan MLE. Langkah awal untuk mengestimasi parameter adalah mencari turunan pertama dari persamaan (4.39) terhadap, yaitu,, ln Γ ln 1 ln ln ln. (4.42) Langkah selanjutnya adalah memaksimumkan fungsi turunan pada

digilib.uns.ac.id 22 Fungsi ln ln 0. (4.43) pada persamaan tersebut sulit untuk diselesaikan sehingga metode yang digunakan untuk menyelesaikannya adalah dengan mensubstitusikan persamaan (4.41) ke dalam persamaan (4.43) yakni ln ln 0 ln ln ln 0 ln ln ln. (4.44) Persamaan (4.41) merupakan hasil estimasi dari distribusi gamma dengan menggunakan MLE dimana nilai diperoleh dari penyelesaian persamaan (4.44). Setelah diperoleh estimasi dengan MLE, selanjutnya akan dicari UMVUE untuk parameter. Penentuan UMVUE dari, yang terlebih dahulu dilakukan adalah menentukan nilai dari, commit to user, (4.45) kemudian dibuktikan bahwa estimator adalah estimator tak bias. Jika estimator adalah estimator tak bias maka langkah selanjutnya adalah menentukan variansi dari estimator. UMVUE diperoleh jika setiap estimator tak bias mencapai batas bawah variansi. Menurut Bain dan Engelhardt (1992), batas bawah Rao Cramer atau Cramer Rao Lower Bound (CRLB) untuk variansi adalah,,, 1. (4.46) Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan turunan kedua dari fungsi log likelihood pada persamaan (4.39), diperoleh,. (4.47) Kedua sisi pada persamaan (4.47) diambil ekspektasinya dan diperoleh

digilib.uns.ac.id 23,. (4.48) Selanjutnya adalah mensubstitusikan persamaan (4.48) ke dalam persamaan (4.45), dimana nilai 1,sehingga diperoleh,. Berdasarkan persamaan (4.41), akan dilakukan pembuktian terhadap ketakbiasan estimator. Estimator dikatakan tak bias apabila yaitu. (4.49) Karena memenuhi syarat estimator tak bias maka adalah estimator tak bias. Langkah selanjutnya adalah membuktikan bahwa estimator tak bias mencapai batas bawah variansi yaitu, dengan, nilai dibuktikan bahwa, sehingga dapat. (4.50) Berdasarkan pembuktian yang diperoleh pada persamaan (4.49) dan (4.50), terbukti bahwa estimator merupakan UMVUE dari. 4.3 Deficiency Penaksir pada Distribusi Gamma Anggota distribusi keluarga eksponensial yang digunakan dalam penulisan ini adalah distribusi gamma. Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi gamma jika fungsi kepadatan peluangnya berbentuk ;,, 0, 0, 0. (4.51)

digilib.uns.ac.id 24 Distribusi gamma merupakan anggota distribusi keluarga eksponensial bila fungsi kepadatan peluang distribusi gamma pada persamaan (4.51) dapat dinyatakan sebagai berikut ;, exp 1 log log log Γ. (4.52) Berdasarkan persamaan (4.52) diketahui statistik cukup yang lengkap berdasar pada suatu sampel berukuran n untuk distribusi keluarga eksponensial adalah dengan ; log log Γ; ; 1 log dan, ; ;. (4.53) Selanjutnya, persamaan (4.53) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1) sehingga diperoleh ; ; 0. (4.54) Ekspektasi dari statistik cukup T(x) yaitu, exp exp exp dan, 3 2 3 2 log ;, commit to user, untuk setiap nilai i dan j (4.56).. (4.55) Persamaan sebelumnya disubstitusikan ke dalam persamaan (4.4) diperoleh

digilib.uns.ac.id 25 Berdasar persamaan (4.56) diperoleh, (4.57). (4.58) Seperti telah disebutkan sebelumnya, deficiency ditentukan dari nilai MSE kedua penaksir. Langkah berikut adalah menentukan nilai MSE dari kedua buah penaksir. Langkah pertama adalah menentukan MSE dari penaksir maksimum likelihood. Berdasar persamaan (4.21), MSE dari penaksir maksimum likelihood adalah. (4.59) Karena penaksir maksimum likelihood tak bias maka nilai dan sama dengan nol sehingga persamaan (4.59) menjadi. (4.60) Selanjutnya persamaan (4.55),(4.57) dan (4.58) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.60) diperoleh, (4.61)

digilib.uns.ac.id 26 persamaan (4.61) merupakan MSE dari MLE pada distribusi gamma. Setelah ditentukan MSE dari MLE, langkah selanjutnya adalah menentukan MSE dari UMVUE. Berdasar persamaan (4.35), MSE dari UMVUE adalah. UMVUE merupakan penaksir tak bias sehingga nilai sama dengan nol dan dengan menggunakan persamaan (4.58) maka persamaan (4.35) menjadi. Persamaan (4.55) disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut diperoleh MSE dari penaksir UMVU yaitu. (4.62) Berdasar persamaan (4.61) dan (4.62) telah diketahui MSE dari MLE dan MSE dari UMVUE pada distribusi gamma. Penentuan deficiency pada distribusi gamma dicari dengan mengurangkan pada persamaan (4.61) dengan pada persamaan (4.62) yaitu, Jika,, 2. (4.63) ; dan 2 maka persamaan (4.63) dapat ditulis sebagai berikut, 2. (4.64) Karena penaksir maksimum likelihood tak bias maka bernilai nol dan persamaan (4.64) menjadi, 2 commit. to user (4.65)

digilib.uns.ac.id 27 Jika fungsi yang terestimasi (estimable) adalah 1 (4.66) maka dari persamaan (4.66) diperoleh, 1 1 1. (4.67) Berdasarkan persamaan (4.67) diperoleh nilai dan sebagai berikut, 1 1. Persamaan dan disubstitusikan ke dalam persamaan (4.65) diperoleh deficiency dari MLE dan UMVUE pada distribusi gamma sebagai berikut, 2.

digilib.uns.ac.id BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut. 1. Deficiency merupakan selisih antara MSE dari MLE dan UMVUE. Deficiency penaksir pada distribusi keluarga eksponensial diberikan oleh persamaan, dengan menunjukkan bias pada penaksir maksimum likelihood. 2. Distribusi gamma merupakan anggota dari distribusi keluarga eksponensial. Deficiency penaksir pada distribusi gamma yaitu,. Nilai deficiency tersebut bergantung pada parameter dan. 5.2 Saran Dalam tulisan ini penulis memberikan teori tentang deficiency pada distribusi keluarga eksponensial, oleh karena itu dapat dilakukan penelitian dengan menerapkan teori ini dalam studi kasus. Distribusi yang digunakan pada tulisan ini adalah distribusi gamma sedangkan penaksir yang digunakan dalam tulisan ini adalah penaksir maksimum likelihood dan UMVUE. Oleh sebab itu dapat dilakukan penelitian dengan menggunakan distribusi dan penaksir yang berbeda. 28