KONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 1-6 1 KONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK Fikri Firdaus, Sunarsini, Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail: sunarsini@matematikaitsacid Abstrak Suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi quasi metrik disebut ruang quasi metrik, dinotasikan Dengan menggunakan quasi metrik konjugatnya, dapat didefinisikan metrik jika adalah konjugat dari Dalam tugas akhir ini dikonstruksi suatu quasi metrik tertentu pada ruang menyelidiki beberapa sifatnya, yaitu konvergensi kelengkapan Kata-Kunci Kelengkapan, Konvergensi, ruang Metrik, ruang Quasi metrik 1 PENDAHULUAN Banyak sekali topik dalam analisis fungsional yang mengalami perkembangan seiring kemajuan zaman sehingga menghasilkan konsep-konsep baru Pada umumnya perkembangan tersebut mengacu pada masing-masing konsep ruang yang digunakan Seperti konsep ruang Quasi metrik yang merupakan perluasan dari ruang metrik[3] Pada tahun 1914 Hausdorff mengenalkan jarak asimetri, yang merupakan bagian penting dari pembahasan quasi metrik karena perbedaan antara ruang metrik ruang quasi metrik terletak pada sifat simetrinya Jika metrik pada himpunan tak kosong X mempunyai sifat simetri, maka quasi metrik pada himpunan tak kosong X tidak mempunyai sifat simetri Segkan sifat-sifat lainnya pada metrik seperti positifitas, definitas, ketaksamaan segitiga berlaku serupa pada quasi metrik Dengan demikian terlihat jelas bahwa ruang quasi metrik merupakan perluasan dari ruang metrik Pada tahun 1973 William Lawveer mengungkapkan bahwa ketidaksimetrian lebih sering terjadi dalam kejadian alam[3] Contohnya, jarak tempuh pada jalan satu arah, waktu perjalanan pada jalan tanjakan, biaya transportasi Sifatsifat seperti konvergensi kelengkapan, memiliki peranan penting dalam topik penelitian yang lebih lanjut Misalnya saja Shao-ai chen, Wen li, Du zou, Shao-bai chen menunjukkan teorema titik tetap pada ruang Quasi metrik menggunakan sifat kelengkapan dari Quasi metrik[4] Akan tetapi penelitian mendapatkan suatu quasi metrik tertentu khususnya pada belum banyak dilakukan Oleh karena itu timbul gagasan mendapatkan suatu quasi metrik tertentu pada Selain itu diselidiki sifat konvergensi kelengkapan dari quasi metrik tersebut 2 RUANG METRIK Sebelum membahas mengenai ruang quasi metrik, terlebih dahulu perlu dijelaskan mengenai pengertian ruang metrik serta konvergensi kelengkapan dalam ruang metrik Hal tersebut merupakan ide dasar dari konsep ruang quasi metrik Definisi 21[1] Diberikan suatu himpunan tak kosong Didefinisikan metrik atau fungsi jarak sebagai fungsi bernilai real yang memenuhi sifat-sifat berikut Untuk setiap, berlaku : Jika metrik di, maka pasangan disebut ruang metrik 3 RUANG QUASI METRIK Ruang quasi metrik merupakan perumuman dari ruang metrik Hal ini dapat diketahui dari tidak aya sifat simetri pada ruang quasi metrik, segkan sifat-sifat lainnya pada ruang metrik terdapat pada ruang quasi metrik 3l Ruang Quasi Metrik Definisi 31[2] Diberikan suatu himpunan tak kosong Didefinisikan Quasi metrik sebagai fungsi bernilai real yang memenuhi sifat-sifat berikut Untuk setiap, berlaku : jika hanya jika Jika quasi metrik di X, maka pasangan disebut ruang quasi metrik Definisi 32[2] Diberikan d adalah quasi metrik pada, pemetaan disebut konjugat dari d jika X merupakan quasi metrik pada 32 Konvergensi Kelengkapan Pada Ruang Quasi metrik Pada bagian ini dijelaskan mengenai sifat konvergensi kelengkapan pada ruang quasi metrik secara umum Definisi 33[4] Diberikan adalah ruang quasi metrik

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 1-6 2 (i) Barisan pada konvergen atas jika terdapat titik sehingga, kata lain Titik a disebut limit barisan atas, dinotasikan (ii) Barisan pada konvergen bawah jika terdapat titik sehingga, kata lain Titik disebut limit barisan bawah, dinotasikan Definisi 34[4] Diberikan adalah ruang quasi metrik (i) Barisan pada disebut barisan Cauchy atas jika setiap terdapat sehingga (ii) Barisan pada disebut barisan Cauchy bawah jika setiap terdapat sehingga Definisi 35[4] Diberikan adalah ruang quasi metrik (i) Ruang quasi metrik dikatakan lengkap atas jika setiap barisan Cauchy atas pada konvergen atas (ii) Ruang quasi metrik dikatakan lengkap bawah jika setiap barisan Cauchy bawah pada konvergen bawah 4 RUANG QUASI METRIK PADA Pada bagian ini dikonstruksi suatu quasi metrik pada, didapatkan teorema berikut 41 Ruang Quasi Metrik Teorema 41 Untuk himpunan dapat didefinisikan quasi metrik setiap,, suatu konstanta, i=1,2, i=1,2, dimana Bukti Untuk membuktikan bahwa adalah quasi metrik pada sebelumnya diuraikan terlebih dahulu bentuk quasi metrik Diberikan adalah suatu konstanta setiap, suatu maka Untuk maka Untuk maka Untuk maka karena telah dipenuhi, maka dapat disimpulkan Untuk, maka,, serta diperoleh, ini dikarenakan telah dipenuhi maka dapat disimpulkan Untuk, maka,, serta diperoleh, ini menyebabkan telah dipenuhi maka dapat disimpulkan Jadi terbukti bahwa Selanjutnya akan dibuktikan sifat ketaksamaan segitiga, (a) (b) (c) Selanjutnya akan dibuktikan bahwa merupakan quasi metrik Diambil sebarang,,, (d) (e) (f) Untuk, maka

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 1-6 3 Untuk menunjukkan secara jelas bahwa quasi metrik yang telah dibentuk memenuhi ketaksamaan segitiga maka perlu diuraikan dalam beberapa kasus Kasus I Pada persamaan (41) yaitu, (*) Dari (a) (a) Untuk maka (*) Dari (c) (a) sehingga (*) Dari (c) (c) (*) Dari (a) (c) (*) Dari (c) (b) (*) Dari (a) (b) (*) Dari (b) (a) (*) Dari (b) (c) Kasus II Pada persamaan (42) yaitu, Dengan cara serupa maka didapat Kasus III Pada persamaan (43) yaitu, Dengan cara serupa maka didapat Kasus IV Pada persamaan (44) yaitu, Dengan cara serupa maka didapat Sehingga didapat bahwa (*) Dari (b) (b) = Jadi, terbukti bahwa adalah quasi metrik di

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 1-6 4 Untuk selanjutnya apabila dibicarakan mengenai ruang quasi metrik ruang metrik maka diasumsikan quasi metrik yang dimaksud adalah quasi metrik pada teorema 41 metrik yang dimaksud adalah metrik baku pada Lemma 42 Diberikan adalah ruang quasi metrik Misalkan adalah sebarang barisan dalam ruang quasi metrik, serta diberikan Jika, maka barisan bilangan real konvergen ke Bukti Diambil adalah sebarang barisan di ruang quasi metrik Misalkan, Ini artinya Dengan ketaksamaan segitiga, didapat demikian, Ini artinya cara serupa didapatkan (ii), jika maka jadi maka = akibatnya Ini berarti barisan bilangan real konvergen ke Teorema 43 Diberikan adalah ruang quasi metrik Misalkan adalah sebarang barisan dalam ruang quasi metrik, serta diberikan, maka berlaku: (i) Jika maka (ii) Jika maka Bukti Diambil adalah sebarang barisan di ruang Quasi metrik Diberikan adalah suatu konstanta Selanjutnya akan dibuktikan (i) Misalkan, serta Ini berarti, konstanta serta, konstanta, maka konstanta diperoleh diperoleh Jadi Teorema 44 Diberikan adalah ruang quasi metrik Misalkan adalah barisan dalam ruang quasi metrik adalah barisan bilangan real, maka berlaku: (i) Jika, maka (ii) Jika, maka Bukti Ambil adalah sebarang barisan di ruang quasi metrik adalah sebarang barisan di Selanjutnya akan dibuktikan (i) Diberikan, adalah suatu konstanta Misalkan, ini berarti konstanta, serta Jelas bahwa sebarang tetap berlaku,, ini artinya barisan bilangan real konvergen ke Dari sifat barisan bilangan real didapat, yang berarti konstanta jadi adalah sebarang, maka Akan tetapi karena diperoleh ini artinya Dengan cara yang serupa didapatkan (ii), yaitu jika, maka

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 1-6 5 Dapat dikatakan bahwa nilai konvergensi dari perkalian barisan bilangan real barisan di sama perkalian nilai konvergensi dari masing-masing barisan tersebut Teorema 45 Ruang quasi metrik bawah adalah lengkap atas Bukti Sebelumnya akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa ruang quasi metrik adalah lengkap atas Diberikan adalah sebarang barisan Cauchy atas di ruang Quasi metrik diberikan adalah suatu konstanta, ini berarti konstanta Selanjutnya ambil sebarang tetap, maka pastilah Ini artinya barisan bilangan real adalah barisan Cauchy di Dari kelengkapan, maka Dengan kata lain konstanta adalah sebarang, maka diperoleh Jadi Ini artinya, oleh karena itu adalah ruang quasi metrik lengkap atas Dengan cara serupa didapat bahwa, jika adalah barisan Cauchy bawah di ruang quasi metrik, maka sedemikian hingga, akibatnya adalah ruang quasi metrik lengkap bawah Jadi adalah ruang quasi metrik lengkap atas bawah 42 Konjugat dari Quasi Metrik Berikut ini dikonstruksi konjugat dari quasi metrik yang telah didapatkan Teorema 46 Untuk quasi metrik pada konjugat quasi metrik dapat didefinisikan setiap,, suatu konstanta, dimana, Bukti Diberikan,, adalah suatu konstanta,,, suatu maka Dari Definisi 32 akan dibuktikan bahwa adalah konjugat dari, menunjukkan bahwa merupakan quasi metrik Terlebih dahulu akan dibuktikan sehingga, Maka terbukti bahwa Selanjutnya cara serupa pada Teorema 41 dapat dibuktikan merupakan quasi metrik di Jadi, terbukti bahwa merupakan konjugat dari Untuk selanjutnya apabila dibicarakan mengenai konjugat dari quasi metrik maka diasumsikan konjugat quasi metrik yang dimaksud adalah konjugat quasi metrik pada teorema 46 Telah diketahui bahwa ruang quasi metrik adalah perumuman dari ruang metrik, artinya setiap metrik adalah quasi metrik namun setiap quasi metrik belum tentu metrik Akan tetapi menggunakan quasi metrik bersama konjugatnya dapat dibangun suatu metrik, diberikan dalam teorema berikut Teorema 47 Diberikan adalah ruang quasi metrik adalah konjugat dari quasi metrik, maka fungsi yang didefinisikan adalah metrik pada Bukti Diberikan adalah quasi metrik di, maka Begitu juga karena adalah quasi metrik di, maka konjugat dari, maka Selanjutnya akan dibuktikan bahwa metrik pada Diambil,,, maka dapat juga ditulis, maka maka dapat ditulis sehingga

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 1-6 6 =, maka sehingga, maka diperoleh memenuhi sifat-sifat metrik, maka terbukti bahwa adalah metrik pada akibatnya Oleh karena itu 43 Keterkaitan Konvergensi Ruang Quasi Metrik Ruang Metrik Berikut ini diberikan keterkaitan mengenai konvergensi antara ruang quasi metrik ruang metrik Teorema 48 Diberikan barisan dalam Barisan konvergen atas bawah ke dalam ruang quasi metrik jika hanya jika barisan konvergen ke dalam ruang Metrik Bukti Diberikan adalah sebarang barisan dalam,, konstanta ini berarti Jadi di ruang quasi metrik Dengan cara serupa jika, maka di ruang quasi metrik 5 KESIMPULAN Pada pembahasan bab sebelumnya dilakukan konstruksi mendapatkan quasi metrik pada beserta sifat-sifatnya, sehingga diperoleh kesimpulan bahwa, merupakan ruang quasi metrik lengkap atas bawah terhadap Misalkan dalam ruang quasi metrik Ini artinya, maka, maka ekivalen Dengan demikian akibatnya didapat Oleh karena itu, yang Dengan kata lain, ini berarti dalam ruang metrik Dengan cara serupa jika, ini berarti dalam ruang metrik setiap, suatu konstanta, i=1,2, i=1,2, dimana, merupakan ruang metrik terhadap adalah konjugat dari DAFTAR PUSTAKA [1] Bryan PRynne and Martin A Youngson 2008 Linear Functional Analysis Springer,SUMS [2] J Gutiérrez García, S Romaguera, JM Sánchez-Álvarez 2011 Quasimetrics and monotone normality J Topology and its Applications, Hal2049-2055 [3] Lawvere, FW 1973 Metric Space, Generalized logic, And Closed Categories Conferenza tenuta il 30 marzo [4] Shao-ai chen, Wen li, Du zou, Shao-bai chen 2007 Fixed Point Theorems in Quasi Metric Spaces Proceedings of the Sixth International Conference on Machine Learning and Cybernetics Hongkong Misalkan dalam ruang metrik Ini artinya tetap, akibatnya maka sebarang tetap, didapat