UNIVERSITAS BINA NUSANTARA Program Ganda Teknik Informatika Matematika Skripsi Sarjana Program Ganda Semester Ganjil 2005/2006 PERANCANGAN PROGRAM APLIKASI OPTIMASI FUNGSIONAL DENGAN SISTEM STURM-LIOUVILLE Fitri Juliana NIM : 0500605764 abstrak Kalkulus variasi yang merupakan bagian dari kalkulus yang berkaitan erat dengan optimasi fungsional, menyediakan berbagai metode dalam mencari optimasi suatu fungsional. Sistem Sturm-Liouville merupakan salah satu metode yang terdapat dalam kalkulus variasi. Dalam penulisan ini metode yang akan dibahas adalah Sistem Sturm-Liouville. Dalam metode ini, semua persamaan diferensial sebelum dicari nilai eigennya dengan Sistem Sturm-Liouville, terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk persamaan Sistem Sturm-Liouviile, di mana input persamaannya dibatasi dalam bentuk polinomial orde dua. Kemudian, nilai eigen yang diperoleh digunakan untuk mencari fungsi eigennya yang merupakan fungsi optimal aproksimasi yang dicari. Program aplikasi yang dibuat dengan bahasa pemrograman Delphi 7.0 ini akan menampilkan fungsi eigen aproksimasi hasil perhitungan dalam bentuk persamaan polinomial orde tiga dan tidak menampilkan nilai eigennya.. Dari perancangan ini, nilai eigen aproksimasi dapat diperoleh dengan baik, namun tidak berlaku untuk persamaan fungsi eigen aproksimasi yang memiliki 2 x dalam persamaannya. Kata Kunci : fungsi ekstremal, nilai eigen, fungsi eigen, persamaan fungsional, kalkulus variasi, persamaan Sturm-Liouville iv
PRAKATA Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas karunia dan penyertaan- Nya sehingga penulis dapat menyusun dan menyelesaikan tugas Skripsi yang berjudul: PERANCANGAN PROGRAM APLIKASI OPTIMASI FUNGSIONAL DENGAN METODE STURM-LIOUVILLE SYSTEM sebagai syarat untuk memperoleh gelar kesarjanaan pada Program Studi Ganda, Jurusan Teknik Informatika- Matematika, Jenjang Pendidikan Strata 1. Dalam menyelesaikan tugas Skripsi ini, penulis memperoleh bimbingan, dorongan semangat, fasilitas dari berbagai pihak yang mendukung penulis menyelesaikan tugas tersebut. Ucapan terima kasih disampaikan terutama kepada : Bapak Prof. Dr. Drs. Gerardus Polla, M.App.Sc., selaku Rektor Universitas Bina Nusantara, yang telah memberikan semangat dan kesempatan untuk menerapkan segala sesuatu yang telah dipelajari selama i perkuliahan. Bapak Wikaria Gazali, S.Si., M.T., selaku Dekan Fakultas MIPA yang selalu memacu semangat dan kreatifitas setiap mahasiswanya, memberikan keteladanan dalam kedisiplinan dan selalu memacu semangat mahasiswanya untuk terus maju dalam belajar dan berkarya. Bapak Drs. Ngarap Imanuel Manik, M.Kom., selaku Kepala Jurusan Matematika dan Statistika, yang telah memberikan persetujuan terhadap topik Skripsi yang diajukan dan selaku Dosen Pembimbing kedua yang telah memberikan arahan, sehubungan dengan penulisan Skripsi ini. Bapak Sangadji, Drs., M.Sc.Ph.D., selaku Dosen Pembimbing pertama yang telah mengarahkan penulis sampai kepada topik ini dan yang telah meluangkan v
waktunya memberikan saran, ide dan dukungan moral sehubungan dengan penulisan Skripsi ini. Almarhum Romo Ignatius Widodo Kartautama, O.Carm yang selalu mendukung dan mendoakan penyusunan Skripsi ini dari awal hingga akhirnya. Para sahabat yang telah memberikan dukungan dan doa; Lissa, Sri Martuti, Selvi, Ryan, Tanti Setiawan, Liliana, Edi, Ebiet, Christin, Grace, Sintiche,Tante Lily, Tante Siska, Herry, Tyas, Vina, Troy, Arlyne, Monika, Fr. Hebry, S.X., Fr. Felix, S.X., Fr. Sipri, S.X., dan semua teman-teman yang tidak bisa disebutkan satu per satu. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua, kakak dan adik, dan Tante Aeng yang telah membekali penulis dengan doa, perhatian, semangat juang, kepercayaan dan pengertian yang baik agar penulis dapat menyelesaikan Skripsi ini sesuai dengan waktunya. Kiranya Skripsi ini memberikan manfaat bagi para pembaca dan pihak-pihak yang menggunakan Skripsi ini sebagai bahan bacaan dalam mengembangkan pengetahuan khususnya mengenai Sistem Sturm-Liouville. Dengan tangan terbuka, penulis menerima kritik dan saran agar karya tulis ini dapat menjadi lebih berguna dan berkualitas bagi semua pihak yang membutuhkan di masa datang. Terima kasih. Jakarta, Januari 2006 Penulis vi
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL LUAR.. HALAMAN JUDUL DALAM... HALAMAN PERSETUJUAN Softcover ABSTRAK PRAKATA... DAFTAR ISI. DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN. i ii iii iv v vii x xi BAB 1 PENDAHULUAN. 1 1.1 Latar Belakang 1 1.2 Rumusan Rancangan.. 4 1.3 Ruang Lingkup... 4 1.4 Spesifikasi Rancangan 5 1.5 Tujuan Rancangan. 5 1.5.1 Tujuan Umum 5 1.5.2 Tujuan Khusus... 5 1.6 Manfaat Rancangan.. 6 1.7 Definisi Operasional. 6 1.8 Penelitian yang Relevan 7 vii
BAB 2 LANDASAN TEORI. 9 2.1 Kalkulus.... 9 2.2 Kalkulus diferensial....... 10 2.3 Kalkulus Integral... 12 2.4 Persamaan diferensial Biasa... 14 2.4.1 Definisi Sebuah Persamaan Diferensial.. 14 2.4.2 Orde Sebuah Persamaan Diferensial.. 15 2.4.3 Keberadaan dan Keunikan Solusi-Solusi.. 15 2.4.4 Persamaan Diferensial Parsial 16 2.4.5 Rumus-rumus Diferensial. 16 2.5 Kalkulus Variasi... 17 2.6 Persamaan Euler-Lagrange 18 2.7 Metode Variasional 21 2.8 Sistem Sturm-Liouville 23 2.9 Suku Banyak (Polinom) 25 2.10 Siklus Hidup Pengembangan Sistem. 25 BAB 3 PERANCANGAN PROGRAM APLIKASI.. 29 3.1 Spesifikasi Rumusan Rancangan. 29 3.2 Perancangan Modul (Fungsi)... 36 3.3 Form... 37 3.4 Cara Kerja Program 38 3.4.1 Perancangan Diagram alir (flowchart) 39 viii
3.4.2 Perancangan Diagram Transisi (State Transition Diagram) 42 BAB 4 IMPLEMENTASI HASIL PENELITIAN. 44 4.1 Spesifikasi Software dan Hardware 44 4.2 Persiapan Input.. 44 4.3 Hasil Penelitian. 45 4.3.1 Proses Input.. 45 4.3.2 Proses Pencarian Nilai Eigen 47 4.3.3 Pencarian Fungsi Eigen. 48 4.4 Analisa Hasil Penelitian 48 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN. 50 5.1 Kesimpulan 50 5.2 Saran. 52 5.3 Open Problem.. 53 DAFTAR ACUAN. DAFTAR PUSTAKA. DAFTAR RIWAYAT HIDUP xii xiii xvi LAMPIRAN. L.1 ix
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1.1 Gambar 2.1.2 Gambar 3.3 Gambar 3.4.1.1 Gambar 3.4.1.2 Gambar 3.4.2 Gambar 4.3.1 Gambar 4.3.3 Garis singgung pada (x,f(x)).10 Secant kurva y=f(x) yang ditentukan oleh titik (x, f(x)) dan (x+h,f(x+h))...11 Rancangan layar input form 1...38 Flowchart perancangan form pada Sistem Sturm-Liouville...40 Flowchart pencarian variable fungsi eigen dari persamaan nilai eigen.41 STD form Input dan Output..43 Layar Untuk Menginput Persamaan Sistem Sturm-Liouville 46 Tampilan Layar Hasil Fungsi Eigen...48 x
DAFTAR LAMPIRAN Halaman LAMPIRAN A LAMPIRAN B LAMPIRAN C LISTING PROGRAM...L.1 MAPLE WORK SHEET....L.16 LANGKAH-LANGKAH PEMAKAIAN PROGRAM..L.18 xi