UNIVERSITAS BINA NUSANTARA. Program Studi Ganda Teknik Informatika dan Matematika Skripsi Sarjana Program Ganda Semester Genap 2005/2006

Transkripsi

1 UNIVERSITAS BINA NUSANTARA Program Studi Ganda Teknik Informatika dan Matematika Skripsi Sarjana Program Ganda Semester Genap 2005/2006 PERBANDINGAN SOLUSI PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA NONLINIER DENGAN METODE VOLTERRA-RUNGE-KUTTA DAN METODE ITERASI Citrahadi NIM : ABSTRAK Banyak masalah nyata di alam ini yang dapat dibuat model matematikanya. Persamaan diferensial adalah salah satu model matematika yang banyak digunakan pada masalah nyata ini. Dalam mencari penyelesaian persamaan diferensial kadang kala ditemui suatu kesulitan, terutama pada masalah yang tak linier, oleh karena itu persamaan integral dapat merupakan bentuk persamaan yang dapat membantu memudahkan penyelesaian persamaan diferensial, salah satunya adalah persamaan integral Volterra nonlinier. Metode yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra nonlinier adalah metode Volterra-Runge-Kutta dan metode iterasi. Metode Volterra-Runge-Kutta berdasarkan pada aturan Simpson, sedangkan metode iterasi berdasarkan pada aturan trapesium. Dalam perancangan algoritma ini, penulis membuat program perbandingan hasil perhitungan kedua metode tersebut. Hasilnya adalah pada N-kali iterasi tertentu kedua metode menunjukkan waktu proses yang hampir sama. Namun semakin besar N, semakin jelas terlihat perbedaan waktu proses di antara kedua metode ini. Dari segi hasil, metode Volterra-Runge-Kutta menunjukkan hasil yang lebih teliti dibandingkan metode iterasi. Kata kunci : Persamaan integral, Volterra nonlinier, Volterra-Runge-Kutta, Iterasi, Simpson, Trapesium, perbandingan. iv

2 PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah membimbing penulis dalam menyusun skripsi yang berjudul Perbandingan Solusi Persamaan Integral Volterra Nonlinier dengan Metode Volterra-Runge-Kutta dan Metode Iterasi, sehingga penyusunan skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. Skripsi ini disusun untuk memenuhi syarat gelar Sarjana S1 pada Program Studi Ganda Teknik Informatika Matematika Universitas Bina Nusantara. Selama menyelesaikan skripsi ini, penulis menghadapi banyak sekali hambatan atau rintangan. Namun demikian karena berbagai bantuan dan petunjuk dari beberapa pihak, skripsi ini dapat diselesaikan. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih sebesar besarnya kepada: 1. Bapak Prof Dr. Drs Gerardus Polla, M. App. Sc selaku Rektor Universitas Bina Nusantara, Jakarta, Bapak Wikaria Gazali, S.Si, M.T selaku Dekan Fakultas MIPA dan Bapak Ngarap Im. Manik, Drs, M.Kom selaku Ketua Jurusan Matematika yang telah banyak memberikan kepercayaan dan kesempatan kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. 2. Bapak Abraham Salusu, Drs, M.M, selaku Dosen Pembimbing yang telah banyak menyediakan waktu, membantu, memberikan pengarahan dan membimbing penulis dalam menyelesaikan masalah masalah yang dihadapi selama penulis menyusun skripsi ini. v

3 3. Bapak Saulus Silitonga, Drs, M.Sc selaku Dosen Pembimbing yang telah banyak menyediakan waktu, membantu, memberikan pengarahan dan membimbing penulis dalam menyelesaikan masalah masalah yang dihadapi selama penulis menyusun skripsi ini. 4. Seluruh dosen Universitas Bina Nusantara, atas bimbingan dan pengajaran yang telah diberikan selama ini. 5. Keluarga dari penulis yang telah memberikan dukungan baik moral maupun finansial untuk menyelesaikan skripsi ini dengan baik. 6. Rekan rekan mahasiswa yang secara langsung maupun tidak langsung yang telah memberikan dukungan kepada penulis. Penulis juga menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, namun penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Saran dan kritik pembaca bagi penyempurnaan skripsi ini diterima dengan senang hati. Terima kasih. Jakarta, Agustus 2006 Penulis Citrahadi vi

4 DAFTAR ISI Abstrak Prakata Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar Daftar Lampiran iv v vii ix x xi BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Rumusan Rancangan Spesifikasi Rancangan Ruang Lingkup Masalah Tujuan dan Manfaat Metodologi Penelitian yang Relevan Sistematika Penulisan 5 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Flow Chart atau Diagram Alir State Transition Diagram (STD) Persamaan Integral Volterra Konvergensi dan Ketunggalan Solusi Persamaan Integral Volterra Linier Persamaan Integral Volterra Nonlinier Metode-Metode Penyelesaian Metode Iterasi Metode Volterra-Runge-Kutta Teorema-Teorema Penunjang Teorema Ketaksamaan Schwarz untuk Integral Teorema Picard untuk Persamaan Diferensial 31 BAB 3 ANALISA DAN PERANCANGAN PROGRAM 3.1 Algoritma Penyelesaian Metode Iterasi 32 vii

5 3.1.2 Metode Volterra-Runge-Kutta Perancangan Program Tahapan-Tahapan Program Tahap Input Tahap Proses Tahap Output Diagram Alir Modul Diagram Alir Modul Proses Iterasi Diagram Alir Modul Proses VRK Struktur Menu Diagram STD (State Transition Diagram) Diagram STD Form Main Diagram STD Form Input Diagram STD Form Output Diagram STD Form Rules Diagram STD Form About Rancangan Layar Tampilan Rancangan Layar Form Main Rancangan Layar Form Input Rancangan Layar Form Output Rancangan Layar Form Keterangan Rancangan Layar Form Rules Rancangan Layar Form About 52 BAB 4 IMPLEMENTASI DAN EVALUASI 4.1 Spesifikasi Sistem Spesifikasi Kebutuhan Perangkat Keras Spesifikasi Kebutuhan Perangkan Lunak Tampilan Layar Hasil Evaluasi 60 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Saran 67 DAFTAR PUSTAKA 68 RIWAYAT HIDUP 69 LAMPIRAN viii

6 DAFTAR TABEL Tabel 4.1 Hasil perhitungan fungsi pada titik x = 1 dengan metode VRK 61 Tabel 4.2 Hasil perhitungan fungsi pada titik x = 1 dengan metode iterasi 62 Tabel 4.3 Perbedaan waktu proses pada titik x = 1 dengan metode iterasi dan metode VRK 62 Tabel 4.4 Error absolut pada titik x = 1 dengan metode VRK 64 Tabel 4.5 Error absolut pada titik x = 1 dengan metode iterasi 64 ix

7 DAFTAR GAMBAR Gambar 3.1 Gambar Diagram Alir Modul Proses Iterasi 41 Gambar 3.2 Gambar Diagram Alir Modul Proses VRK 42 Gambar 3.3 Struktur Menu dari program 42 Gambar 3.4 Diagram STD Form Main 43 Gambar 3.5 Diagram STD Form Input 44 Gambar 3.6 Diagram STD Form Output 44 Gambar 3.7 Diagram STD Form Rules 45 Gambar 3.8 Diagram STD Form About 45 Gambar 3.9 Rancangan Layar FormMain dengan tampilan submenu Output 46 Gambar 3.10 Rancangan Layar FormMain dengan tampilan submenu Keterangan 47 Gambar 3.11 Rancangan Layar Form Input 48 Gambar 3.12 Rancangan Layar Form Output 49 Gambar 3.13 Rancangan Layar Form Rules 51 Gambar 3.14 Rancangan Layar Form About 52 Gambar 4.1 Tampilan Layar Menu Utama 54 Gambar 4.2 Tampilan Layar Menu Utama saat menu output dipilih 55 Gambar 4.3 Tampilan Layar Menu Utama saat menu keterangan dipilih 55 Gambar 4.4 Tampilan Layar Menu Input Persamaan 56 Gambar 4.5 Tampilan Layar Menu solusi dengan metode VRK 57 Gambar 4.6 Tampilan Layar Menu solusi dengan metode Iterasi 58 Gambar 4.7 Tampilan Layar perbandingan metode VRK dan metode iterasi 59 Gambar 4.8 Tampilan Layar aturan penulisan rumus 59 Gambar 4.9 Tampilan Layar about 60 x

8 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 : Listing Program Modul Main.pas Lampiran 2 : Listing Program Modul Input.pas Lampiran 3 : Listing Program Modul Output.pas Lampiran 2 : Listing Program Modul Rules.pas Lampiran 2 : Listing Program Modul About.pas L1 L3 L5 L14 L15 xi