APLIKASI TEORI KONTROL OPTIMAL STOKASTIK PADA PENENTUAN PORTFOLIO OPTIMAL TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh: Siska Riyanti 10103001 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008
APLIKASI TEORI KONTROL OPTIMAL STOKASTIK PADA PENENTUAN PORTFOLIO OPTIMAL TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh: Siska Riyanti 10103001 Telah diperiksa dan disetujui Bandung, Februari 2008 Dr. Roberd Saragih NIP. 131803264 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008
Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (QS:Al-Insyirah:5) Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya (QS:Al-Baqarah:286)
ABSTRAK Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai aplikasi teori kontrol optimal stokastik dalam bidang keuangan yaitu menentukan portfolio optimal dimana dimisalkan seorang investor berinvestasi pada dua aset berbeda yaitu aset tidak beresiko (risk-free asset) dan aset beresiko (risky asset). Portfolio optimal ditentukan dengan cara mencari proporsi optimal dari uang yang akan dialokasikan oleh investor pada dua aset berbeda tersebut sehingga ia memperoleh hasil yang maksimal. Proporsi optimal ini merupakan kontrol yang mengatur portfolio investasi. Model portfolio dari investasi ini berbentuk persamaan diferensial stokastik (PDS) yang akan dicari solusinya untuk kemudian digunakan pada simulasi untuk memperlihatkan bahwa proporsi yang diperoleh dengan menggunakan teori kontrol optimal stokastik memberikan hasil maksimal. Kata kunci: Portfolio optimal, Kontrol optimal stokastik, masalah portfolio Merton. i
ABSTRACT In this final project we will discuss about the application of stochastic optimal control theory in finance. The application is determining optimal portfolio for an investor that invest his money on two different assets. The two different assets are risk-free asset and risky asset. The optimal portfolio determined by finding the optimal proportion of money that the investor will invest so that he will get a maximum result. This optimal proportion is the control of the investment portfolio. The model of this investment portfolio has a form as stochastic differential equation (SDE). We will solve this equation so that we can make a simulation to show that the proportion that we get by using stochastic optimal control theory gives a maximum result. Keyword: Optimal portfolio, stochastic optimal control, Merton s portfolio problem ii
PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT zat yang serba Maha bahwa akhirnya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir yang dikerjakan dalam waktu satu semester ini sempat membuat penulis putus asa karena tidak yakin dapat menyelesaikannya dalam waktu sesingkat itu. Oleh karena itu sekali lagi puji syukur kehadirat Allah SWT karena penulis diberi kemudahan untuk menyelesaikan tugas akhir ini tepat waktu. Tugas akhir dengan judul Aplikasi teori kontrol optimal stokastik pada penentuan portfolio optimal merupakan salah satu aplikasi teori tersebut pada bidang keuangan. Penulis tertarik membahas topik tersebut karena investasi telah menjadi hal yang penting dalam kehidupan perekonomian masyarakat saat ini. Walaupun demikian membahas investasi bukanlah hal yang mudah oleh karena itu tugas akhir ini masih butuh banyak perbaikan dan penyempurnaan. Selanjutnya penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua orang yang telah banyak membantu penulis. Penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak dan Mama atas semua kasih sayang, kesabaran, pengorbanan, dan banyak hal luar biasa lainnya yang diberikan kepada penulis. Semoga dengan diraihnya gelar sarjana ini dapat membuat Bapak dan Mama bangga walau tidak dapat membayar semua jasa Bapak dan Mama. 2. Kakakku Sherley Fitriana, abangku Ibnu Rinaldi dan adikku Indira Apriany. 3. Ibu Pudji Astuti Waluyo selaku dosen wali penulis atas bimbingan dan nasehat-nasehatnya. 4. Dr. Roberd Saragih selaku dosen pembimbing tugas akhir penulis atas kesabarannya dalam membimbing penulis. iii
5. Dr. Novriana Sumarti, Dr. M. Syamsuddin, dan Dr. Janson Naiborhu selaku dosen penguji. 6. Staff Tata Usaha prodi matematika ITB khususnya Ibu Diah yang banyak membantu penulis selama berkuliah disini. 7. Staff perpustakaan matematika ITB. 8. Sahabat-sahabatku Dita, Ani, Rity untuk persahabatan yang luar biasa dan gosip-gosip panasnya. 9. Sahabat-sahabatku di Himatika ITB 04: Agus, Novi, Onta, Opik, Gita, Amru, Riswan, Iqs, Willy, Bowo, Ocep, Erdi, Kuntet, Witha, Inon, Fiska, Anggun, Erma, Uma, Vonny, Dyah, Savit, Imel, Lido, Yo, Mega, Rahma dan yang lainnya yang tidak mungkin disebutkan semua. 10. Sahabat-sahabatku di Matematika ITB angkatan 2003. 11. Senior-senior di Himatika ITB: Gindo, Tabot, Gugi, Raka, Mas Del, Kang Soe, Adolf, Irfan, Riga, Selvi, Teh Titi, Yudha, Monic, Eka, Citra, Ludia, Rangga, Echa, Yovanny dan semuanya. 12. Junior-junior di Himatika ITB: Widia, Yuni, Tisha, Yuli, Lina, Narita, Arnida, Bibah, Siti, Gantina, Santi, Fidya, Astrid, Irma, Umar, Arief, Agung, Bayu, Tika, Micke, Prima dan semuanya. 13. Pihak-pihak lainnya yang tak mungkin disebutkan satu per satu. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi yang ingin mempelajari tentang investasi khususnya tentang portfolio. Akhir kata penulis memohon maaf jika dalam penulisan tugas akhir ini terdapat banyak kekurangan dan kesalahan. Bandung, Februari 2008 Penulis, iv
DAFTAR ISI Abstrak.. Abstract. Prakata.. Daftar Isi... Daftar Gambar. Daftar Grafik Bab I Pendahuluan.. 1.1 Latar belakang. 1.2 Rumusan masalah... 1.3 Tujuan. 1.4 Sistematika pembahasan. Bab II Dasar Teori... 2.1 Investasi.. 2.2 Portfolio.. 2.3 Lemma Ito... 2.4 Persamaan Diferensial Stokastik (PDS). 2.4.1 Solusi Persamaan Diferensial Stokastik 2.5 Gerak Brown baku (Proses Wiener)... 2.6 Fungsi Utilitas. 2.7 Teori Kontrol Optimal Stokastik. 2.7.1 Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)... Bab III Portfolio Optimal 3.1 Model portfolio investasi 3.2 Solusi model portfolio investasi. 3.3 Portfolio optimal. Bab IV Hasil Simulasi.. 4.1 Hasil Simulasi. 4.1.1 Suku bunga bank (a) berubah-ubah.. i ii iii v vii viii 1 1 3 3 4 5 5 6 7 9 9 12 13 14 18 20 20 22 24 28 28 33 v
4.1.2 Rata-rata rate of return (b) berubah-ubah. 4.1.3 Relative risk premium coefficient (γ) berubah-ubah. 4.1.4 Volatilitas harga saham (β) berubah-ubah... Bab V Kesimpulan dan Saran. 5.1 Kesimpulan 5.2 Saran.. Daftar Pustaka.. 38 43 48 54 54 55 56 vi
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1: Proses Wiener... Gambar 2.2: Fungsi Utilitas Risk Aversion Gambar 2.3: Fungsi Utilitas berbentuk fungsi pangkat (power function).. 13 14 14 vii
DAFTAR GRAFIK Grafik 4.1: Kekayaan investor dengan u=0.26 dan p=0.9. Grafik 4.2: Kekayaan investor dengan u=0.26 dan p=0.8. Grafik 4.3: Kekayaan investor dengan u=0.26 dan p=0.7. Grafik 4.4: Kekayaan investor dengan u=0.26 dan p=0.6. Grafik 4.5: Kekayaan investor dengan u=0.26 dan p=0.5. Grafik 4.6: Kekayaan investor dengan u=0.26 dan p=0.4. Grafik 4.7: Kekayaan investor dengan u=0.26 dan p=0.2. Grafik 4.8: Kekayaan investor dengan u=0.26 dan p=0.1. Grafik 4.9: Kekayaan investor dengan a=0.01, u=0.77 dan p=0.1 Grafik 4.10: Kekayaan investor dengan a=0.01, u=0.77 dan p=0.6.. Grafik 4.11: Kekayaan investor dengan a=0.01, u=0.77 dan p=0.9.. Grafik 4.12: Kekayaan investor dengan a=0.02, u=0.51 dan p=0.1.. Grafik 4.13: Kekayaan investor dengan a=0.02, u=0.51 dan p=0.6.. Grafik 4.14: Kekayaan investor dengan a=0.02, u=0.51 dan p=0.9.. Grafik 4.15: Kekayaan investor dengan a=0.03, u=0.26 dan p=0.1.. Grafik 4.16: Kekayaan investor dengan a=0.03, u=0.26 dan p=0.6.. Grafik 4.17: Kekayaan investor dengan a=0.03. u=0.26 dan p=0.9.. Grafik 4.18: Kekayaan investor dengan b=0.02, u=0.26 dan p=0.1.. Grafik 4.19: Kekayaan investor dengan b=0.02, u=0.26 dan p=0.6.. Grafik 4.20: Kekayaan investor dengan b=0.02, u=0.26 dan p=0.9.. Grafik 4.21: Kekayaan investor dengan b=0.03, u=0.51 dan p=0.1.. Grafik 4.22: Kekayaan investor dengan b=0.03, u=0.51 dan p=0.6.. Grafik 4.23: Kekayaan investor dengan b=0.03, u=0.51 dan p=0.9.. Grafik 4.24: Kekayaan investor dengan b=0.04, u=0.77 dan p=0.1.. Grafik 4.25: Kekayaan investor dengan b=0.04, u=0.77 dan p=0.6.. Grafik 4.26: Kekayaan investor dengan b=0.04, u=0.77 dan p=0.9.. Grafik 4.27: Kekayaan investor dengan γ=0.07, u=0.27 dan p=0.1.. Grafik 4.28: Kekayaan investor dengan γ=0.07, u=0.27 dan p=0.5.. 29 29 30 30 31 31 32 32 33 34 34 35 35 36 36 37 37 38 39 39 40 40 41 41 42 42 43 44 viii
Grafik 4.29: Kekayaan investor dengan γ=0.07, u=0.27 dan p=0.9.. Grafik 4.30: Kekayaan investor dengan γ=0.1, u=0.28 dan p=0.1 Grafik 4.31: Kekayaan investor dengan γ=0.1, u=0.28 dan p=0.5 Grafik 4.32: Kekayaan investor dengan γ=0.1, u=0.28 dan p=0.9 Grafik 4.33: Kekayaan investor dengan γ=0.4, u=0.42 dan p=0.1 Grafik 4.34: Kekayaan investor dengan γ=0.4, u=0.42 dan p=0.5 Grafik 4.35: Kekayaan investor dengan γ=0.4, u=0.42 dan p=0.9 Grafik 4.36: Kekayaan investor dengan β=0.2, u=0.26 dan p=0.1 Grafik 4.37: Kekayaan investor dengan β=0.2, u=0.26 dan p=0.5 Grafik 4.38: Kekayaan investor dengan β=0.2, u=0.26 dan p=0.9 Grafik 4.39: Kekayaan investor dengan β=0.6, u=0.03 dan p=0.1 Grafik 4.40: Kekayaan investor dengan β=0.6, u=0.03 dan p=0.5 Grafik 4.41: Kekayaan investor dengan β=0.6, u=0.03 dan p=0.9 Grafik 4.42: Kekayaan investor dengan β=1, u=0.01 dan p=0.1... Grafik 4.43: Kekayaan investor dengan β=1, u=0.01 dan p=0.5... Grafik 4.44: Kekayaan investor dengan β=1, u=0.01 dan p=0.9... 44 45 45 46 46 47 47 48 49 49 50 50 51 51 52 52 ix