EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
PERNYATAAN MENGENAI TUGAS AKHIR DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field (2 ) adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Yana NRP G551070411
ABSTRACT YANA. The Exploration of Discrete Logarithm Problem over Finite Field (2 ). Under direction of SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. Discrete logarithm problem represents a problem which is defined as modular arithmetic. It is often used to generate a key pair on public key cryptography as security object. Given cyclic group G of order n, α generator of G, and β, then, in general, discrete logarithm problem is determined as the integer, 0, 1such that α β(mod ). In Menezes et al. (1997) the algorithm to solve the discrete logarithm problem in common cyclic group G are Exhaustive Search algorithm, Baby-Step Giant-Step, Pollard's rho, Pohlig Hellman and Index Calculus. Furthermore, these algorithms are explored to determine the solution of discrete logarithm problem on (2 ). The reconstructed algorithms are implemented using Maple 11 software. These implementation can be used to measure security level of cryptography algorithm, which is based on security aspects of discrete logarithm problem. Keywords : discrete logarithm problem, cyclic group, finite field (2 ).
RINGKASAN YANA. Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret Pada Finite Field (2 ). Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS. (2 ) = Z [ ]/ ( ) adalah field berorder 2 dengan ( )adalah polinomial irredusibel atas Z berderajad. Setiap (2 ) dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk = + + + +, dimana Z, 0. 1 (2 ) = (2 )\{0} adalah grup di bawah operasi penjumlahan dan perkalian modulo 2. Jika diberikan grup siklik (2 ) berorder, generator (2 ), (2 ), dan ( ) adalah polinomial irredusibel atas Z. Logaritma diskret dengan basis adalah integer unik, 0, 1sedemikian sehingga (mod ( )), dan bagaimana menentukan disebut masalah logaritma diskret. Dalam Menezes et al. (1997) lima algoritme untuk menyelesaikan masalah logaritma diskret pada grup siklik umum adalah Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard s rho, Pohlig Hellman dan Index Calculus. Kelima algoritme ini dieksplorasi untuk menentukan masalah logaritma diskret pada (2 ). Ide dasar Algoritme Exhaustive Search untuk menentukan logaritma diskret adalah Definisi Masalah Logaritma Diskret, yaitu dengan mencoba setiap kemungkinan nilai, 0 2 1, sampai ditemukan yang benar. Baby-Step Giant-Step adalah merupakan time-memory trade-off dari Algoritme Exhaustive Search yakni situasi dimana memori komputer digunakan untuk mengurangi biaya dan waktu eksekusi program. Representasi polinomial akan disimpan di memori komputer sebanyak, adalah order (2 ). Semakin besar maka representasi polinomial yang disimpan di memori komputer semakin banyak juga. Ide dasar algoritme ini adalah membagi dengan suatu representasi polinomial, =, hingga ditemukan salah satu representasi polinomial yang disimpan di memori komputer. Ide dasar Algoritme Pollard s rho adalah menemukan cycle dalam barisan {,,,, }. Untuk menemukan cycle dalam barisan {,,,, } digunakan Algoritme Floyd s Cycle-Finding dengan membandingkan elemen-elemen sampai sehingga pasangan = ditemukan. Selanjutnya Birthday Paradox digunakan untuk menjamin bahwa mulai adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam barisan bilangan sedikitnya setelah langkah ke- 2 ln 2 dengan peluang lebih dari setengah. Misalkan (2 ) adalah grup siklik dibawah operasi perkalian berorder = 2 1, =, adalah bilangan prima berbeda dan 1. Ide dari Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan masalah logaritma diskret log (mod ( )) adalah menemukan mod, dengan terlebih dahulu menentukan mod, untuk setiap, 1, menggunakan Teorema Sisa Cina. Artinya komputasi dilakukan pada subgrup berorder prima berpangkat integer positif ( ).
Kekuatan Algoritme Index Calculus terletak pada faktorisasi polinomial. Faktorisasi polinomial dapat dilakukan dalam 4 tahap. Tahap pertama adalah faktorisasi bebas kuadrat, kedua faktorisasi bebas kuadrat berderajad, ketiga faktorisasi berderajad, dan terakhir faktorisasi lengkap ( ) = ( ) ( ) ( ). Ide dasar Algoritme Index Calculus adalah dengan memilih subset dari (2 ) sebagai faktor basis sedemikian sehingga elemen-elemen (2 ) secara efisien dapat dinyatakan sebagai produk elemen-elemen. Kata kunci : masalah logaritma diskret, grup siklik, finite field (2 ).
Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya Tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
EKSPLORASI MASALAH LOGARITMA DISKRET PADA FINITE FIELD ( ) Y A N A Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom.
Judul Tesis : Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field (2 ) Nama : Yana NRP : G551070411 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Sugi Guritman Ketua Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Progam Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian : 13 Agustus 2009 Tanggal Lulus :
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunianya tugas akhir yang berjudul Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field (2 ) ini bisa terselesaikan sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan pada Program Studi Matematika, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terimakasih yang mendalam penulis sampaikan kepada Abah dan Mama atas segala doa dan kasih sayangnya. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Dr. Sugi Guritman dan Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si selaku pembimbing yang telah membantu dan mengarahkan penulis selama penyusunan tugas akhir ini, serta Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen penguji. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Ai Tusi Fatimah, Salamia, Lathifaturrahmah dan semua pihak yang tidak dapat dituliskan namanya satu persatu atas segala bantuannya selama penelitian. Tentu saja dari awal hingga selesainya tulisan ini tidak terlepas dari dukungan, motivasi dan doa dari suami tercinta dan semua keluarga. Akhirnya penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih begitu banyak kekurangan. Dengan segala keterbatasan yang ada, semoga tugas akhir ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2009 Yana