UJIAN TUGAS AKHIR KAJIAN METODE JACKKNIFE DALAM MEMBANGUN SELANG KEPERCAYAAN DENGAN PARAMETER ARMA(p,q) Disusun oleh : Novan Eko Sudarsono NRP 1206.100.052 Pembimbing: Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes Dra.Laksmi Prita W, M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2010
I PENDAHULUAN
Latar Belakang Data Resampling Estimasi Parameter Peramalan untuk periode yang akan datang Selang Kepercayaan dan peramalan
Rumusan Masalah Permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah: 1. Bagaimana membangun selang kepercayaan berdasarkan metode Jackknife 2. Mendapatkan Peramalan data jumlah laba bersih PT. Bank Central Asia Tbk, untuk periode yang akan datang dengan menggunakan model ARMA(p,q)
Batasan Masalah Batasan yang digunakan dalam permasalahan tugas akhir ini adalah adalah : 1. Data yang dipakai adalah data sekunder pada data laba bersih di PT. Bank Central Asia, Tbk. Pada bulan Januari 2010 bulan Agustus 2010 yang didapat dari data laporan keuangan publikasi bank di website resmi Bank Indonesia http://www.bi.go.id 2. Distribusi yang digunakan adalah distribusi normal 3. Resampling dilakukan sebanyak 10 kali
Tujuan Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah : 1. Mendapatkan selang kepercayaan berdasarkan metode Jackknife 2. Memperoleh data perkiraan jumlah laba bersih di PT. Bank Central Asia, Tbk untuk periode yang akan datang dengan menggunakan model ARMA(p,q)
Manfaat Manfaat dalam penulisan tugas akhir ini adalah dapat memberikan kontribusi penelitian dalam bidang riset operasi dan simulasi yang berhubungan dengan metode jackknife serta memberikan informasi kepada pihak terkait khususnya PT. Bank Central Asia, Tbk. Tentang laba bersih yang mungkin akan didapatkan untuk periode mendatang
II TINJAUAN PUSTAKA
METODE RESAMPLING JACKKNIFE Metode Resampling Jackknife diciptakan oleh Quenouille pada tahun 1949 yang mempunyai tujuan mengoreksi kemungkinan yang bias dari untuk nilai n kecil. Tukey pada tahun 1958 mengumumkan bahwa prosedur dalam resampling Jackknife dapat digunakan untuk membangun selang kepercayaan yang baik untuk berbagai macam variasi dari estimator. Rumus dasar dari Resampling Jackknife adalah, jika diberikan yang ditetapkan sebagai estimator dari sampel, nilai bayangan ke-i dari adalah : Yang mana, mempunyai arti bahwa sampel dengan nilai ke-i dari dihapus dari sampel, sehingga merupakan sampel yang berukuran n-1
MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) MLE dilakukan dengan memaksimumkan fungsi likelihood, pada dasarnya estimasi parameter dengan menggunakan MLE meliputi dua tahap, yaitu mengkontruksi fungsi Likelihood dan memperoleh fungsi Likelihood tersebut. Misalkan x variabel random dengan fungsi probabilitas merupakan himpunan parameter yang tidak diketahui dan saling independent maka pengkontruksian fungsi likelihood dapat dinyatakan dengan
MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) Pengkontruksian fungsi Likelihood seperti pada persamaan diatas tidak dapat dilakukan pada kasus Jackknife karena data pengamatan pada Jackknife saling dependent, oleh karena itu fungsi likelihood pada kasus time series dikonstruksi melalui perkalian dari distribusi-distribusi bersyarat yang dapat dinyatakan dengan Dimana adalah distribusi bersyarat untuk suatu nilai tertentu, Sebagai fungsi Likelihood dikonstruksi langkah selanjutnya adalah mencari nilai estimator yang memaksimumkan fungsi Likelihood tersebut dalam hal ini memaksimumkan fungsi Likelihood dilakukan dengan menurunkan fungsi Likelihood terhadap parameter, kemudian persamaan hasil turunan tersebut disamadengankan dengan nol, sehingga dapat diperoleh nilai estimasi parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood tersebut.
SELANG KEPERCAYAAN Selang kepercayaan adalah sebuah interval yang berdasarkan observasi sampel dan terdapat probabilitas yang ditentukan. Interval mengandung nilai parameter sebenarnya yang tidak diketahui Derajat kemungkinan tersebut dinyatakan dengan tingkat kepercayaan (confidence level) misalnya 95% atau 99% Jika tingkat kepercayaannya tinggi dan menghasilkan interval yang sempit maka nilai parameter tersebut dapat dikatakan presisi. Probabilitas bahwa nilai variable acak berada dalam batas dan adalah Probabilitas selang kepercayaan dengan selang kepercayaan sebesar untuk adalah :
Time Series : pengamatan yang diambil berdasarkan urutan waktu dan antara pengamatan yang berdekatan saling berkorelasi. Pemeriksaan kestasioneran: 1. Stasioner dalam mean nampak pada plot time series data akan tampak berfluktuasi di sekitar garis yang sejajar sumbu waktu (t). Data yang tidak stasioner dalam mean perlu dilakukan pembedaan (differencing). 2. Stasioner dalam varian nampak pada plot time series simpangan data tidak terlalu besar atau variannya tidak dipengaruhi deret waktu. Data yang tidak stasioner dalam varian perlu dilakukan proses transformasi Box- Cox [8].
Uji Signifikan Parameter Hipotesis Statistik uji (parameter tidak signifikan) (parameter signifikan) H 0 ditolak jika Artinya parameter signifikan atau
Uji Residual Bersifat white noise Hipotesis (Residual bersifat white noise) (Residual tidak bersifat white noise) Statistik uji H 0 ditolak jika atau Artinya residual tidak bersifat white noise
Uji Residual Berdistribusi Normal Hipotesis (Residual berdistribusi normal) normal) Statistik uji (Residual tidak berdistribusi H 0 ditolak jika atau Artinya residual tidak berdistribusi normal
In-sample 1. AIC (Akaike s Information Criterion) 2. SBC (Schwartz,s Bayesian Criterion) Out-sample 1. MSE 2. MAPE
III METODOLOGI
Metodologi A Mulai Studi literatur Penentuan Banyak Data Menguraikan teori dasar Resampling Data < 30 Mencari sifat-sifat dari Metode Jackknife Data > 30 Jackknife Yang Lainnya Mendapatkan estimasi parameter Menguji Estimasi Parameter Menggunakan MLE Membuat Plot Seluruh data Menguji Estimasi Parameter Menggunakan unbiassed estimation Data Sudah Stationer Dalam Varian Membangun Selang Kepercayaan Ya Tidak A Box-Cox ACF+PACF B
Metodologi (Lanjutan) B Penentuan Model Tidak Estimasi dan Pengujian Parameter Residual White Noise Residual Berdistribusi Normal Pengujian In Sampel Model Terbaik Hasil Peramalan Selesai
IV PEMBAHASAN
Bentuk umum resampling Jackknife
Mean dari sampel asli adalah : Berdasarkan tabel nilai untuk setiap hasil resampling bergantung kepada hasil resampling sebelumnya, sehingga Dan rata-rata untuk setiap hasil resampling yang didapat adalah : rata-rata dari seluruh hasil resamplingnya adalah
Maximum Likelihood Estimation pdf bersamanya adalah Pengkontruksian MLE MLE untuk mean
MLE untuk Varian Misalkan, maka akan menjadi Karena maka :
Unbiassed Estimator Pengujian unbiassed estimator pertama dilakukan untuk menguji apakah terdapat error pada saat Karena dalam resampling Jackknife setiap data dalam satu resampling bersifat independen maka Dalam pengamatan ke- bersyarat untuk untuk tertentu berarti memperlakukan variabel random sebagai variabel random yang tertentu, sehingga
Pengujian unbiassed estimator kedua dilakukan untuk menguji apakah terdapat error pada saat Karena maka :
Sehingga adalah estimator bias dari, untuk menjadikannya tak bias maka dapat dilakukan langkahlangkah sebagai berikut Jadi adalah unbiassed estimator untuk
Selang Kepercayaan Selang Kepercayaan nya adalah Sehingga selang kepercayaannya adalah
Peramalan data Penentuan suatu data stasioner atau tidak dalam varian, perlu dilakukan dengan plot time series dan box-cox, Bentuk plot time series dan box-cox nya sebagai berikut Time series plot Box Cox Plot Dari plot box-cox diperoleh maka belum stasioner dalam varian, sehingga untuk mengatasinya diperlukan transformasi dengan sehingga memperoleh plot time series dan plot box-cox sebagai berikut :
Time series Transformation Box Cox Transformation Plot ACF Plot PACF
Tabel Kesignifikanan Model Parameter Estimasi Standart Error t hitung P-value (0,1) -0,85053 0,05939-14,32 <.0001 (2,1) ([5,6],1) 1,72908-0,72908 0,85523 0,39147 0,57013-0,68407 0,26344 0,26197 0,20863 0,12705 0,12698 0,09964 6,56-2,78 4,10 3,08 4,49-6,87 <.0001 0,0068 0,0001 0,0029 <.0001 <.0001 (1,0) 0,98589 0,02260 43,62 <.0001
Uji Asumsi Residual White Noise Model Lag Q DF Pr>ChiSq Ket 6 2,48 11,0705 5 0,7789 12 6,72 19,6751 11 0,8210 White (1,0) 18 7,01 27,5871 17 0,9835 noise 24 7,05 35,1725 23 0,9994 (0,1) (2,1) ([5,6],1) 6 12 18 24 6 12 18 24 6 12 18 24 334,12 648,04 937,69 1200,74 1,17 5,21 5,52 5,53 35,08 41,48 42,88 42,99 11,0705 19,6751 27,5871 35,1725 7,81473 16,9190 28,8693 32,6705 7,81473 16,9190 28,8693 32,6705 5 11 17 23 3 9 15 21 3 9 15 21 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 0,7595 0,8159 0,9867 0,9997 <.0001 <.0001 0,0002 0,0032 Tidak White noise White noise Tidak White noise
Uji Kenormalan Model P-value Keputusan Kesimpulan (1,0) < 0,0100 Tolak Tidak Normal (2,1) < 0,0100 Tolak Tidak Normal Dengan tidak mempertimbangkan uji asumsi residual normal maka diperoleh model yang memenuhi adalah model ARMA(1,0) dan ARMA(2,1) sehingga untuk menentukan model terbaik maka perlu dilakukan pengujian in-sample dengan membandingkan nilai AIC sebagai berikut : Nilai AIC Model Nilai AIC (1,0) 6367,27 (2,1) 6367,864
Hasil Peramalan Periode Hasil Peramalan Data Transformasi L95 U95 81 2,233963E17 2949,953669 2659,23 3157,43 82 2,202432E17 2941,5789 2477,14 3221,95 83 2,171346E17 2933,227896 2288,11 3265,91 84 2,140699E17 2924,900665 2058,98 3299,63 85 2,110484E17 2916,59692 1706,13 3327,02 86 2,080696E17 2908,316897 1421,33 3350,04 87 2,051328E17 2900,060256 1892,68 3369,83
V PENUTUP
Kesimpulan Metode resampling Jackknife yang dilakukan dengan menggunakan pengestimasian dengan dua metode yaitu Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Unbiassed Estimation menghasilkan Maximum Likelihood Estimation Untuk mean : Unbiassed Estimator Untuk mean : Untuk varian : Untuk varian :
Sehingga dari hasil pengestimasian secara MLE dan unbiassed estimation dibuat selang kepercayaan 100% untuk dengan dan s yang merupakan rataan dan simpangan dari suatu populasi adalah : Hasil Ramalan Tahun Periode Peramalan September 2949,953669 2010 Oktober 2941,5789 November 2933,227896 Desember 2924,900665 Januari 2916,59692 2011 Februari 2908,316897 Maret 2900,060256
Saran Saran yang dapat diberikan pada penelitian berikutnya adalah Menggunakan metode Resampling yang lainnya seperti metode resampling Bootstrap, sehingga hasilnya bisa dibandingkan untuk mengetahui keakuratan hasilnya.
DAFTAR PUSTAKA
Daftar Pustaka Amstrong, J.Scout. 2002. Prinsiples of Forecasting. Kluwer Academic Publishing. Atiqoh Zahroh. 2005. Estimasi Parameter Arma Untuk Peramalan Debit Air Sungai Menggunakan Goal Programming. Jurusan Matematika ITS. Surabaya Cahyaningrum Puspasari, 2003. Kajian Estimasi Parameter Model ARMA. Jurusan Matematika ITS. Surabaya. Efron Bradley, 1994. The Jackknife, The Bootstrap and The Other Resampling Plans, Department of Statistics Stanford University Makridakis, W. M. G. 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi kedua. Bina Rupa Aksara. Jakarta. Salamah, M., Suhartono., dan Wulandari S. 2003. Analisis Time Series. Surabaya: Jurusan Statistik ITS Sawyer. S, 2005. Resampling Data: Using a Statistical Jackknife, Washington University Wei, W.W.S. 1990. Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods. United State of America : Addison-Wesley Publishing Company.