ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMA UNTUK PERAMALAN DEBIT AIR SUNGAI MENGGUNAKAN GOAL PROGRAMMING

Transkripsi

1 ESTIMASI PARAMETER MODEL ARMA UNTUK PERAMALAN DEBIT AIR SUNGAI MENGGUNAKAN GOAL PROGRAMMING Nama : Zahroh Atiqoh NRP : Dosen Pembimbing : 1. Dra. Nuri Wahyuningsih, MKes 2. Drs. Sulistiyo, MT Jurusan Matematika Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2010

2 ABSTRAK Peramalan debit air sungai merupakan salah satu langkah untuk mengantisipasi ketidakstabilan aliran sungai. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam peramalan debit air sungai adalah metode time series. Model ARMA (autoregressive moving average) merupakan salah satu model time series. Pada proses peramalan, setelah identifikasi model dilakukan estimasi parameter. Untuk mengestimasi parameter model ARMA digunakan pendekatan conditional least square dan selanjutnya dioptimalkan dengan menggunakan goal programming. Model ARMA untuk ratarata bulanan debit air sungai Brantas stasiun pengamatan Kediri adalah: Dengan:

3 PENDAHULUAN

4 LATAR BELAKANG Debit Air Sungai Peramalan Time Series Model ARMA Goal Programming

5 RUMUSAN MASALAH Permasalahan yang akan dibahas dalam tugas akhir adalah : 1. Bagaimana model yang sesuai berdasarkan analisis yang dilakukan terhadap debit air sungai. 2. Bagaimana hasil peramalan debit air sungai untuk periode mendatang dengan memanfaatkan model yang telah diperoleh.

6 BATASAN MASALAH Pada tugas akhir ini, dibuat batasan masalah sebagai berikut : 1. Data yang digunakan pada tugas akhir ini adalah data sekunder yaitu data rata-rata bulanan debit air sungai Brantas stasiun pengamatan Kediri yang dimulai pada Januari tahun 2000 sampai dengan April tahun Data diambil dari stasiun pengamatan yang jumlah debit air sungainya hanya dipengaruhi oleh air hujan dan air tanah. 3. Data yang diperoleh diasumsikan stasioner terhadap mean.

7 TUJUAN PENELITIAN Tujuan dari tugas akhir ini adalah : 1. Memperoleh model yang sesuai berdasarkan analisis yang dilakukan terhadap debit air sungai. 2. Mengetahui besar peramalan debit air sungai untuk periode mendatang dengan memanfaatkan model yang telah diperoleh.

8 MANFAAT PENELITIAN Manfaat yang diharapkan dari tugas akhir ini adalah: 1. Model yang didapat diharapkan mempermudah Perum Jasa Tirta I dalam mendapatkan prediksi debit air sungai pada periode mendatang. 2. Memberikan gambaran tentang langkahlangkah mendapatkan model ARMA untuk sungai yang lain.

9 TINJAUAN PUSTAKA

10 dengan: MODEL ARMA Bentuk umum model ARMA (p,q): Zt 1Z t1... pzt p at 1at 1... qa atau ( B ) Z ( B) a Z t a t p t : besarnya pengamatan (kejadian) pada waktu ke-t : konstanta model q t : suatu proses white noise atau galat pada waktu ke-t, 1 2,..., p : parameter autoregressive,..., : parameter moving average 1, 2 p tq

11 LANJUTAN MODEL ARMA ARMA (p,q)(p,q) S adalah model ARMA reguler dan ARMA musiman. Bentuk umum ARMA (p,q)(p,q) S adalah: P S BZ t q B Q ( B at ( S B ) p ) dengan: 1, 2,...,,..., 1, 2 P Q : parameter autoregressive musiman : parameter moving average musiman

12 IDENTIFIKASI Syarat terpenting yang harus dipenuhi agar data dapat diolah dengan metode time series adalah stasioner, baik dalam mean maupun varian. Sebuah deret disebut stasioner jika sifat statistiknya bebas dari waktu periode selama pengamatan. Untuk mengatasi ketidakstationeran dalam varian perlu dilakukan transformasi terlebih dahulu. Transformasi yang biasa digunakan adalah transformasi Box-Cox. Nilai (parameter transformasi) yang umum digunakan dalam transformasi Box-Cox dapat dilihat pada Tabel 2.1. Tabel 2.1 Transformasi Box-Cox Transformasi 1/ Z t Z t 1/ ln Z t Z t Z t

13 ACF & PACF Autokorelasi adalah korelasi antar deret pengamatan suatu time series, sedangkan Autocorrelation Function (ACF) menggambarkan kovarian dan korelasi antara pengamatan pada waktu ke-t dengan pengamatan pada waktu ke-t+k yang dipisahkan oleh k lag, sehingga persamaan ACF dapat dirumuskan sebagai berikut: Partial Autocorrelation Function (PACF) digunakan mengukur keeratan hubungan dan setelah dependensi linier dalam varian dihilangkan. (Wei, 1990). Nilai PACF dapat dihitung dengan menggunakan persamaan sebagai berikut: n t t k n k k t t k k Z Z Z Z Z Z ) ( ) )( ( 1 1 1, 1 1 1, ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ k j j j k k j j k j k k kk

14 ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSI Pada penelitian ini metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter Model ARMA adalah Conditional Least Squares (CLS) dengan bentuan software Minitab. Model ARMA yang baik adalah model yang menunjukkan bahwa penaksiran parameternya signifikan. Secara umum, misalkan adalah suatu parameter pada model ARMA dan ˆ adalah nilai taksiran dari parameter tersebut, serta SE( ˆ) adalah standar error dari ˆ, maka uji kesignifikanan parameter dapat dilakukan dengan hipotesa sebagai berikut: Hipotesa: H 0 : H 1 : 0 0 Statistik uji: t ˆ SE( ˆ)

15 LANJUTAN ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSI H 0 ditolak jika dengan: n p : banyaknya parameter yang ditaksir atau H 0 ditolak jika P-value < t t, df n 2 n p

16 DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Pemeriksaan diagnostik pada residual meliputi uji asumsi white noise (independen dan identik) dan berdistribusi normal. Pengujian dengan menggunakan uji L-jung Box dilakukan dengan hipotesa sebagai berikut: Hipotesa: H 0 H 1 : minimal ada satu nilai, k = 1, 2,..., K. Statistik uji: dengan: K n Q ˆ k : k 0 n K 2 k k 1 2 n ( n k) 1 ˆ : lag maksiumum : banyak pengamatan k 0 : sampel ACF residual pada lag-k.

17 LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Daerah Kritis : H 0 ditolak jika dengan p dan q adalah order dari ARMA. Untuk mengetahui apakah residual berdistribusi normal atau tidak dilakukan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesa sebagai berikut: Hipotesa: H 0 H 1 Q : F( at ) F0 ( a t ) : F( at ) F0 ( at ) Statistik Uji: D Sup S( at ) F0 ( at a t 2 (1 ); df K pq )

18 LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING dengan: S( a t F ( a 0 t F( a t ) ) : fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari data sampel. ) : fungsi peluang kumulatif distribusi yang dihipotesiskan. : fungsi distribusi yang belum diketahui Sup : nilai supremum untuk semua Daerah Kritis: H 0 ditolak jika D atau P-value <, dengan = 5%. D 1, n Salah satu prosedur diagnostic checking yang dikemukakan oleb Box dan Jenkins adalah overfitting. Yaitu penggunaan beberapa parameter lebih banyak daripada yang diperlukan. Ini merupakan prosedur yang berguna meskipun memerlukan banyak waktu. a t

19 GOAL PROGRAMMING Goal programming merupakan salah satu teknik optimasi dari beberapa tujuan yang dikembangkan dari linier programming dalam riset operasi. Bentuk umum dari goal programming yang digunakan dalam mengestimasi parameter model ARMA adalah: min NT i1 U m EP i V EN dan fungsi kendalanya adalah: AR AR m i m = 1,2,3,...,12 (2.3) 1 X i1... ARn X in MA1 Ri 1... MAn Rin SAR 1 X i12... SAR n X in12 SMA 1 Ri SMAn Rin 12 Cm EP EN 1 div i X i... MA1 Ri 1... MAn Rin SAR 1 X i12 SAR n X in12 SMA 1 Ri SMAn Rin 12 Cm EP EN 1 div i X i 1 X i1 ARn X in... 0 EP 0 EN Ediv i X i Ediv i X i

20 LANJUTAN GOAL PROGRAMMING dengan: AR : parameter autoregressive MA : parameter moving average SAR : parameter autoregressive musiman SMA : parameter moving average musiman U,V : koefisien deviasi bulanan dari nilai sebenarnnya (prioritas) EP : error relatif positif EN : dan negatif div : error relatif untuk peramalan Ediv : error relatif maksimum untuk peramalan X : nilai data R : nilai residual Cm : konstanta dalam model NT : jumlah data

21 PEMILIHAN MODEL TERBAIK Untuk menentukan model terbaik dapat digunakan beberapa kriteria antara lain kriteria in-sample dan out-sample. Kriteria insample antara lain AIC dan SBC. Kriteria out-sample antara lain RMSE dan MAPE. Penjelasan mengenai kriteria pemilihan model adalah sebagai berikut: 1. AIC (Akaike s Information Criterion) Kriteria AIC dirumuskan sebagai berikut: AIC(M) nln ˆ 2 a 2M dengan; n : banyaknya residual 2 ˆ a : estimasi dari varians residual M : jumlah parameter dalam model 2. SBC (Schwart z Bayesian Criterion) Schwartz (1978) menggunakan kriteria Bayesian dalam pemilihan model terbaik yang disebut dengan SBC dengan perumusan sebagai berikut : SBC(M) = n ln ˆ 2 a M ln n

22 LANJUTAN PEMILIHAN MODEL TERBAIK 3. Mean Square Error (MSE) Kriteria MSE dirumuskan sebagai berikut MSE n t1 ˆ 2 Z Z t n t Pada penelitian ini akan digunakan kriteria RMSE (Root Mean Square Error), dengan nilai RMSE = MSE 4. Mean Absolute Percentage Error (MAPE) Kriteria MAPE dirumuskan sebagai berikut : MAPE n t1 Z t n Zˆ Z t t 100 %

23 DEBIT AIR Dalam hidrologi dikemukakan, debit air sungai adalah, tinggi permukaan air sungai yang terukur oleh alat ukur pemukaan air sungai. Pengukurannya dilakukan tiap hari, atau dengan pengertian yang lain debit atau aliran sungai adalah laju aliran air (dalam bentuk volume air) yang melewati suatu penampang melintang sungai per satuan waktu. Dalam sistem satuan SI besarnya debit dinyatakan dalam satuan meter kubik per detik (m 3 /dt).

24 METODOLOGI PENELITIAN

25 LANGKAH-LANGKAH Pembentukan model ARMA Pada pembentukan model ARMA dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Data dibagi menjadi dua, yaitu data in sample dan data out sample. 2. Melakukan identifikasi Model ARMA dengan langkah sebagai berikut: a. Membuat time series plot untuk melihat kestationeran data, jika data belum stationer dalam varian maka dilakukan transformasi. b. Membuat plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) dari data yang sudah stasioner. 3. Melakukan estimasi dan uji signifikansi parameter model ARMA(p, q)(p,q) s. 4. Melakukan diagnostic checking, yang meliputi uji residual white noise dan uji kenormalan residual. 5. Melakukan overfitting yaitu mencoba beberapa model yang lain. 6. Melakukan estimasi parameter model ARMA menggunakan goal programming sebagai pengoptimalan dari hasil estimasi parameter model yang telah dilakukan sebelumnya.

26 LANJUTAN LANGKAH-LANGKAH 7. Melakukan seleksi model untuk menentukan model terbaik dengan menghitung nilai AIC, SBC, RMSE, MAPE dari seluruh model yang mungkin. Peramalan Peramalan debit sungai dilakukan dengan memanfaatkan model yang telah diperoleh. Penarikan Kesimpulan a. Diperoleh model yang sesuai dan terbaik untuk memprediksi debit air sungai. b. Penggunaan model yang telah diperoleh untuk memprediksi debit air sungai pada periode mendatang. Program yang digunakan dalam penelitian ini adalah Minitab dan LINDO.

27 PEMBAHASAN

28 transformasi 1 StDev debit ait (in sampel) StDev IDENTIFIKASI Identifikasi Model Time Series Plot of debit ait (in sampel) Box-Cox Plot of debit ait (in sampel) Lower CL Upper CL Lambda (using 95,0% confidence) Estimate -0, Lower CL -0,36 Upper CL 0, Rounded Value 0, Index ,0-2,5 0,0 Lambda 2,5 5,0 Limit Gambar 5.1 Plot Time Series dan Stasiun Kediri Box-Cox (In Sample) Debit Air Time Series Plot of transformasi 1 Box-Cox Plot of transformasi 1 6,0 0,36 Lower CL Upper CL Lambda 5,5 5,0 0,35 0,34 0,33 (using 95,0% confidence) Estimate 0,67 Lower CL -0,79 Upper CL 2,10 Rounded Value 0,50 0,32 4,5 0,31 4,0 0,30 0,29 3,5 0,28 Limit Index ,27-5,0-2,5 0,0 Lambda 2,5 5,0 Gambar 5.2 Plot Time Series dan Box-Cox Transformasi

29 transformasi 2 StDev LANJUTAN IDENTIFIKASI Time Series Plot of transformasi 2 Box-Cox Plot of transformasi 2 2,4 0,069 Lower CL Upper CL Lambda (using 95,0% confidence) 2,3 2,2 0,068 0,067 Estimate 1,35 Lower CL -1,51 Upper CL 4,35 Rounded Value 1,00 2,1 0,066 2,0 1,9 0,065 0,064 Limit 1,8 0, ,0-2,5 0,0 2,5 5,0 Index Lambda Gambar 5.3 Plot Time Series dan Box-Cox Transformasi Pada Gambar 5.3 terlihat bahwa data debit air sudah stasioner dalam varian karena diperoleh λ=1.

30 Partial Autocorrelation Autocorrelation LANJUTAN IDENTIFIKASI Autocorrelation Function for transformasi 2 (with 5% significance limits for the autocorrelations) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1, Lag Partial Autocorrelation Function for transformasi 2 (with 5% significance limits for the partial autocorrelations) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1, Lag Gambar 5.4 Plot ACF dan PACF Transformasi

31 ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSI Tabel 5.1 Estimasi Parameter Debit Air Model ARMA(2,2)(0,0) Par Estimasi Standart Error t hitung P value 1,6762 0, ,04 0-0,9295 0, ,98 0 1,1324 0, ,47 0-0,5336 0,0975-5,47 0 0, , ,03 0 Pada Gambar 5.4 pola dari ACF adalah cuts off setelah lag 2 dan pola dari PACF adalah cuts off setelah lag 2. Maka untuk sementara, model yang diduga adalah ARMA(2,2)(0,0). Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter dan pengujian signifikansi parameter dari model tersebut dengan menggunakan statistik uji t-student dengan.

32 LANJUTAN ESTIMASI DAN UJI SIGNIFIKANSI Hasil estimasi parameter dapat dilihat pada tabel 5.1 kolom 2 dan pengujian signifikansi masing-masing parameter adalah sebagai berikut: Uji Signifikansi Parameter Hipotesis: Statistik Uji : Karena atau maka H 0 ditolak artinya parameter signifikan.

33 DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Begitu juga untuk uji signifikansi parameter yang lain yaitu parameter 2, 1, 2, dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pada parameter. Berdasarkan hasil uji signifikasi paramater 1, 2, 1, 2, dapat disimpulkan bahwa pada model ARMA(2,2)(0,0) semua parameternya signifikan. Diagnostic Checking dan Overfitting Ada dua asumsi yang harus dipenuhi dalam menentukan kecukupan model, yaitu residual bersifat white noise dan berdistribusi normal. Pengujian asumsi residual white noise dapat dilakukan dengan menggunakan uji Ljung-Box, sebagai berikut : Hipotesis: minimal ada satu, dengan

34 LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Statistik uji Ljung-Box : Untuk K = 12 maka: = 17,723 Dengan cara yang sama seperti perhitungan di atas maka untuk K = 12, 24, 36, dan 48 hasil yang diperoleh dapat dilihat pada Tabel 5.2. Karena pada lag 12 dan 24 atau maka H 0 ditolak artinya residual tidak white noise.

35 LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Tabel 5.2 Uji Asumsi Residual White noise ARMA(2,2)(0,0) Lag Q P-value 12 17,7 14,0671 0, ,3 30,144 0, ,3 44,9853 0, ,2 59,3035 0,085 Sedangkan pengujian asumsi distribusi normal dapat dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov,. Pengujian ini dapat dilakukan melalui hipotesis sebagai berikut : Hipotesis :

36 Percent LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Statistik uji : D Sup S( x) F0 ( x) 0, x D, n D0.05,108 0,11739 Karena maka H 0 diterima artinya residual model berdistribusi normal. Hal ini sesuai dengan hasil yang ada pada Gambar 5.5 yaitu yang berarti residual model berdistribusi normal. Probability Plot of (2,2)(0,0) Normal 99, Mean 0, StDev 0,08038 N 108 KS 0,046 P-Value >0, ,1-0,3-0,2-0,1 0,0 (2,2)(0,0) 0,1 0,2 0,3 Gambar 5.5 Plot Kenormalan Residual Model ARMA(2,2)(0,0)

37 LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Dari hasil pengujian parameter signifikan, residual tidak white noise dan residual berdistribusi normal dapat disimpulkan bahwa model ARMA(2,2)(0,0) tidak sesuai untuk deret in sample debit air stasiun Kediri. Selanjutnya dilakukan overfitting dengan melihat kemungkinan model-model yang lain, yaitu ARMA(2,1)(0,0), ARMA(2,1)(0,1) 12, ARMA(2,1) (0,2) 12, ARMA(1,0)(1,1) 12. Dari estimasi parameter, uji signifikansi parameter, uji residual white noise, dan uji kenormalan residual, maka model ARMA(2,1)(0,0) dan ARMA(2,1)(0,1) 12 memenuhi kecukupan model. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 5.6.

38 LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Tabel 5.3 Estimasi dan Uji Signifikansi Model Parameter t hitung t tabel P value Keputusan ARMA (2,1)(0,0) = 1, , signifikan = -0,7494-8,98 0 signifikan = 0,6341 4,3 0 signifikan = 0, ,66 0 signifikan (2,1)(0,1) 12 = 1,4903 9,78 1, signifikan = -0,6733-6,45 0 signifikan = 0,6657 3,62 0 signifikan = -0,3204-3,34 0,001 signifikan = 0, ,28 0 signifikan

39 LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Model ARMA Parameter t hitung t tabel P value Keputusan (2,1)(0,2) 12 = 1, ,75 1, signifikan = -0,6958-6,89 0 signifikan =0,6509 3,74 0 signifikan = -0,2895-2,79 0,006 signifikan = 0,0805 0,73 0,469 Tidak signifikan = 0, ,93 0 signifikan (1,0)(1,1) 12 = 0,6702 9,07 1,983 0 signifikan = 1, ,12 0 signifikan = 0,8882 9,77 0 signifikan = -0,0032 1,77 0,079 Tidak signifikan

40 LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Tabel 5.4 Uji Residual White Noise Model Lag Q P value Kepu ARMA tusan (2,1)(0,0) 12 12,95 15,5073 0,114 white noise 24 27,6 31,4104 0,118 white noise 36 41,9 46,1943 0,112 white noise 48 57,7 60,4809 0,081 white noise (2,1)(0,1) ,1 14,0671 0,323 white noise 24 24,8 30,1435 0,168 white noise 36 38,6 44,9853 0,164 white noise 48 55,3 59,3035 0,099 white noise (2,1)(0,2) ,6 12,5916 0,264 white noise 24 23,5 28,8693 0,171 white noise 36 36,1 43,7730 0,206 white noise 48 54,1 58,1240 0,100 white noise

41 LANJUTAN DIAGNOSTIC CHECKING DAN OVERFITTING Model Lag Q P value Kepu ARMA tusan (1,0)(1,1) ,4 15,5073 0,494 white noise 24 24,1 31,4104 0,328 white noise 36 33,1 46,1943 0,415 white noise 48 42,1 60,4809 0,525 white noise Tabel 5.5 Uji Kenormalan Residual Model D D P value Keputusan,n ARMA (2,1)(0,0) 0, ,11739 >0,150 mengikuti distribusi normal (2,1)(0,1) 12 0,04639 >0,150 mengikuti distribusi normal (2,1)(0,2) 12 0,00339 >0,150 mengikuti distribusi normal (1,0)(1,1) 12 0,03699 >0,150 mengikuti distribusi normal

42 ESTIMASI PARAMETER MENGGUNAKAN GP Tabel 5.6 Kecukupan Model Model ARMA Uji Signifikansi Uji Residual White Noise Uji Kenormalan Residual (2,2)(0,0) signifikan tidak white noise berdistribusi normal (2,1)(0,0) signifikan white noise berdistribusi normal (2,1)(0,1) 12 signifikan white noise berdistribusi normal (2,1)(0,2) 12 tidak signifikan white noise berdistribusi normal (1,0)(1,1) 12 tidak signifikan white noise berdistribusi normal Estimasi Parameter menggunakan Goal Programming Dari dua model yang telah memenuhi kecukupan model, akan dilakukan estimasi atau penaksiran parameternya dengan menggunakan goal programming. Tujuannya adalah untuk meminimalisasi deviasi.

43 LANJUTAN ESTIMASI PARAMETER MENGGUNAKAN GP ARMA (2,1)(0,0) Dengan menggunakan persamaan (2.3) didapatkan: AR1 = 0,756629, AR2 = 0, MA1 = 0, Cm = 0,53481 ARMA (2,1)(0,1) 12 Dengan menggunakan persamaan (2.3) didapatkan: AR1 = 0,791156, AR2 = 0, MA1 = 0, SMA1 = 0, Cm = 0, Metode goal programming dapat meminimalkan deviasi atau penyimpangan pada deret out sampel. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 5.7. Oleh karena itu, model ARMA yang parameternya telah diestimasi menggunakan goal programming lebih akurat (dari pada yang sebelum diestimasi menggunakan goal programming) untuk digunakan pada peramalan debit air.

44 PEMILIHAN MODEL TERBAIK Tabel 5.7 Mean Absolut Error Mode ARMA Metode Mean absolut error Deret in sample Deret out sample (2,1)(0,0) CLS 0, , GP 0, , (2,1)(0,1) 12 CLS 0, , GP 0, , Pemilihan Model Terbaik Tabel 5.8 Seleksi Model Model ARMA In sample Out sample AIC SBC RMSE MAPE (2,1)(0,0) -496,01-485,358 0, ,8544% (2,1)(0,1) ,55-433,731 0, ,4486%

45 PERAMALAN Dari hasil Tabel 5.8, terlihat bahwa model ARMA(2,1)(0,1) 12 adalah model terbaik untuk peramalan debit air karena memiliki nilai RMSE dan MAPE yang lebih kecil dibandingkan dengan model yang lain. Peramalan Hasil peramalan delapan periode berikutnya berdasarkan model yang diperoleh adalah sebagai berikut: Tabel 5.9 Peramalan Debit Air (dalam m 3 / detik) Periode Forecast Periode Forecast Mei ,5882 September ,5817 Juni ,0118 Oktober ,3893 Juli ,2268 November ,7165 Agustus ,8916 Desember ,1544

46 PENUTUP

47 KESIMPULAN DAN SARAN Dari analisa yang dilakukan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Model yang sesuai untuk peramalan debit air sungai Brantas pada stasiun pengamatan Kediri adalah: ARMA(2,1)(0,1) 12 atau: dengan: AR1 = 0,791156, AR2 = 0, MA1 = 0, SMA1 = 0, Cm = 0, Rata-rata debit air sungai pada bulan Mei tahun 2010 sampai dengan Desember tahun 2010 adalah 143,82 m 3 /detik dan standar deviasinya adalah 25,15 m 3 /detik. Pada penelitian ini menggunakan data rata-rata bulanan. Maka disarankan pada penelitian selanjutnya menggunakan data yang lebih banyak seperti rata-rata harian. Selain itu, disarankan pula menggunakan goal programming untuk mengestimasi parameter model selain ARMA, seperti ARIMA, ARFIMA, maupun model yang lainnya.

48 DAFTAR PUSTAKA 1. Daniel, W. W Statistika Non Parametrik Terapan. Jakarta: Penerbit PT. Gramedia. 2. Makridakis, W. M. G Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi kedua. Bina Rupa Aksara. Jakarta. 3. Mohammadi, K., Eslami H.R., dan Kahwita R. May Parameter estimation of an ARMA model for rifer flow forecasting using goal programming. Journal of Hydrology 331, Mulyono, S Operation Research. Jakarta: Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. 5. Perum Jasa Tirta I Profil Perusahaan Perum Jasa Tirta I. Malang. (diakses tanggal 5 Juli 2010) 6. Salamah, M., Suhartono., dan Wulandari S Analisis Time Series. Surabaya: Jurusan Statistika ITS. 7. Suharti, T Pengelolaan sungai, danau, dan waduk untuk konservasi sumber daya air. ipb/09145/titing_suharti.pdf (diakses tanggal 4 Juli 2010) 8.Wei, W.W.S Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods. United State of America: Addison-Wesley Publishing Company.

49 TERIMA KASIH