KAJIAN BOLA-LUAR DAN BOLA-DALAM PADA BIDANG-EMPAT SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh Prasetia Pradana NIM 12305141030 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2017 i
PERSETUJUAN ii
PENGESAHAN iii
iv
MOTTO Whether you think you can, or you can t, you re right -Henry Ford- v
PERSEMBAHAN Untuk ibuku, Tukirah; Bapakku, Subandi, Drs.; Adikku, Sintaningsih Utami; Serta keluarga besar terutama simbah putri, Saya persembahkan karya ini untuk kalian. Terimakasih atas do a, dukungan, dan kasih sayangnya sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan lancar. Untuk Bu Himma, Pak Murdanu, Mas Humam terimakasih atas support dan bantuannya sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Untuk teman-teman Matsub 12 terimakasih atas dukungan dan kebersamaannya selama empat tahun ini. Proses sudah kita lewati bersama semoga hasil dari proses ini adalah yang terbaik bagi diri kita masing-masing. Untuk teman-teman Greget dan Strip Jogja, saya ucapkan terimakasih atas dukungan moralnya. Untuk semua pihak yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu, terimakasih atas support, waktu dan perhatian sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. vi
KAJIAN BOLA-LUAR DAN BOLA-DALAM PADA BIDANG-EMPAT Oleh Prasetia Pradana NIM 12305141030 ABSTRAK Tujuan skripsi ini adalah untuk menunjukkan eksistensi bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat. Bola-dalam suatu bidang-empat adalah bola yang melalui keempat titik sudut bidang-empat. Bola dalam suatu bidang-empat adalah bola yang menyinggung keempat bidang sisi suatu bidang-empat. Skripsi ini juga bertujuan menunjukkan sifat-sifat yang berkaitan dengan bola-luar dan boladalam pada bidang-empat. Dengan mengkaji analogi segitiga dan lingkaran pada bidang dengan bidang-empat dan bola pada ruang diselidiki eksistensi bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat seperti halnya lingkaran-luar dan lingkaran dalam. Dikaji pula sifat-sifatnya dari bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat. Sifat-sifat tersebut juga berdasarkan dari analogi sifat lingkaran-luar dan lingkaran-dalam pada segitiga. Setiap bidang-empat memiliki bola-luar. Sifat-sifat bola-luar pada bidangempat meliputi: 1) garis-garis sumbu suatu bidang-empat berpotongan di sebuah titik yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat tersebut; 2) pusat bola-luar suatu bidang-empat siku-siku tidak terletak pada bidang miringnya; 3) jika titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari, titik D pada sedemikian hingga dan terdapat titik E yang tidak koplanar dengan A, B, C sedemikian hingga DEA merupakan sudut siku-siku maka O merupakan titik pusat bola-luar bidang-empat A.BCE. Setiap bidang-empat juga memiliki bola-dalam. Sifat-sifat bola-dalam pada bidang-empat meliputi: 1) bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat bertemu di sebuah titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut; 2) pusat bola-luar suatu bidang-empat teratur juga merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut. Kata kunci: lingkaran-luar, lingkaran-dalam, segitiga, bola-luar, bola-dalam, bidang-empat vii
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir skripsi ini. Skripsi yang berjudul KAJIAN BOLA-LUAR DAN BOLA-DALAM PADA BIDANG- EMPAT disusun guna memenuhi salah satu syarat kelulusan meraih gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyakarta. Penulisan skripsi ini tidak terlepas dari berbagai kendala, namun berkat dukungan, saran dan bimbingan dari berbagai pihak sehingga kendala tersebut dapat teratasi. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada 1. Bapak Dr. Hartono selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyakarta; 2. Bapak Dr. Ali Mahmudi, M. Pd selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta; 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Ketua Program Studi Matematika yang telah memberikan motivasi dalam kelancaran skripsi serta membantu kelancaran administrasi skripsi; 4. Ibu Himmawati P. L., M. Si sebagai Dosen Pembimbing yang telah memberikan arahan dan bimbingan serta dukungan moral kepada penulis; 5. seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, yang telah memberikan ilmu dan motivasinya kepada penulis; 6. kedua orang tua dan keluarga yang selalu mendukung dan memberikan wejangan yang selalu berguna bagi penulis; 7. teman-teman dan seluruh pihak penulis yang telah membantu baik langsung maupun tidak langsung dan secara moral, waktu, maupun material dalam penyusunan tugas akhir skripsi; Penulis menyadari terdapat banyak kekurangan dalam tulisan tugas akhir skripsi ini. Oleh karena itu, penulis menerima kritikan dan saran yang membangun viii
ix
DAFTAR ISI PERSETUJUAN... ii PENGESAHAN... iii SURAT PERYATAAN... iii MOTTO... iv PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR SIMBOL... xv BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Rumusan Masalah... 5 C. Batasan Masalah... 4 D. Tujuan... 5 E. Manfaat... 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA... 7 A. Titik, Garis, dan Bidang di Ruang... 7 B. Ruas Garis, Sinar Garis, Sudut, Sudut Dihedral... 13 C. Jarak... 18 D. Segitiga... 20 E. Kekongruenan... 26 F. Lingkaran-Luar dan Lingkaran-Dalam pada Segitiga... 29 G. Bidang-Empat... 39 H. Analogi... 41 BAB III PEMBAHASAN... 43 A. Bola-Luar Bidang-Empat... 43 B. Sifat-Sifat Bola-Luar pada Bidang-Empat... 49 C. Bola-Dalam Bidang-Empat... 59 D. Sifat-Sifat Bola-Dalam pada Bidang Empat... 64 x
BAB IV PENUTUP... 71 A. Kesimpulan... 71 B. Keterbatasan... 72 C. Saran... 72 DAFTAR PUSTAKA... 73 xi
DAFTAR GAMBAR Gambar 1. Lingkaran-luar dari segitiga ABC.... 2 Gambar 2. Lingkaran-dalam dari segitiga ABC.... 3 Gambar 3. Bidang-empat A.BCD.... 4 Gambar 4. Garis.... 8 Gambar 5. Bidang... 8 Gambar 6. Garis g melalui titik K.... 9 Gambar 7. Garis g tidak melalui titik K.... 9 Gambar 8. Titik-titik kolinier dan nonkolinier.... 9 Gambar 9. Titik-titik koplanar dan nonkoplanar... 10 Gambar 10. (a) Dua bidang berpotongan, (b) dua bidang saling sejajar... 10 Gambar 11. Garis g terletak pada bidang α.... 11 Gambar 12. Garis l dan bidang α sejajar.... 11 Gambar 13.Garis g dan bidang α berpotongan.... 11 Gambar 14. Garis berpotongan.... 12 Gambar 15. Garis sejajar.... 12 Gambar 16. Garis bersilangan.... 12 Gambar 17. Ruas garis... 13 Gambar 18. Sinar garis.... 14 Gambar 19. Sudut BAC.... 14 Gambar 20. Sudut Lancip.... 15 Gambar 21. Sudut siku-siku.... 15 Gambar 22. Dua garis saling berpotongan tegak lurus.... 16 Gambar 23. Garis g dan h bersilangan tegak lurus.... 16 Gambar 24. Garis dan bidang saling tegak lurus.... 16 Gambar 25. Sudut dihedral... 18 Gambar 26. Segitiga sebarang, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi.... 21 Gambar 27. Segitiga tumpul, segitiga lancip, segitiga siku-siku.... 22 Gambar 28. Garis tinggi segitiga.... 23 xii
Gambar 29. Garis berat segitiga.... 24 Gambar 30. Garis sumbu segitiga.... 25 Gambar 31. Garis bagi segitiga.... 26 Gambar 32. Bukti Teorema 2.1.... 28 Gambar 33. Bukti Teorema 2.2.... 29 Gambar 34. Lingkaran dengan pusat P dan jari-jari.... 30 Gambar 35. Sinar garis yang memotong di titik F.... 31 Gambar 36. Segitiga AOD dan segitiga BOD.... 31 Gambar 37. Segitiga BOE dan segitiga COE.... 32 Gambar 38. Segitiga AOF dan segitiga COF.... 33 Gambar 39. Lingkaran-luar segitiga ABC dengan pusat O.... 34 Gambar 40. (a) Pusat lingkaran-luar pada segitiga lancip, (b) Pusat lingkaran-luar pada segitiga tumpul, (c) Pusat lingkaran-luar pada segitiga siku-siku.... 35 Gambar 41. Bukti teorema garis bagi segitiga.... 36 Gambar 42. Segitiga AJI dan segitiga AGI.... 36 Gambar 43. Segitiga BGI dan segitiga BHI.... 37 Gambar 44. Lingkaran-dalam segitiga ABC dengan pusat titik I... 38 Gambar 45. (a) Bidang-empat teratur, (b) Bidang-empat tegak,(c) Bidangempat siku-siku, (d) Bidang-empat sebarang.... 40 Gambar 46. Garis g tegak lurus bidang ABC.... 44 Gambar 47. Segitiga AEF dan segitiga BEF.... 44 Gambar 48. Segitiga BGH dan segitiga DGH.... 46 Gambar 49. Titik O berjarak sama dengan A, B, C, dan D.... 48 Gambar 50. Bola-luar dari bidang-empat D.ABC.... 49 Gambar 51. Garis dan sinar garis... 51 Gambar 52. Titik potong garis g dan garis h... 53 Gambar 53. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika segitiga tumpul.... 55 Gambar 54. Bola-luar bidang-empat A.BCE.... 56 Gambar 55. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika segitiga lancip.... 57 Gambar 56. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika siku-siku di A.... 58 xiii
Gambar 57. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika siku-siku di B.... 58 Gambar 58. Segitiga PQS dan segitiga PRS.... 60 Gambar 59. Titik I yang berjarak sama dari keempat bidang sisi bidang-empat D.ABC.... 63 Gambar 60. Bola-dalam dari bidang-empat D.ABC.... 63 Gambar 61. Bidang α, β, γ, dan δ.... 66 Gambar 62. Bidang-empat D.ABC dengan pusat bola-luar O.... 67 Gambar 63. Segitiga A BO dan segitiga BD O.... 68 Gambar 64. Bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat teratur D.ABC... 69 xiv
DAFTAR SIMBOL A g : Titik A : Garis g : Bidang : Garis yang memuat titik A dan titik B : Ruas garis dengan ujung titik A dan B AB : Ukuran : Sinar garis yang berpangkal di titik A dan memuat titik B : Sudut yang dibentuk dari gabungan antara dan Bidang ABC : Bidang yang memuat titik A, B, C : Sudut dihedral dengan rusuk sudut dihedral dengan sebuah bidang sisi yang memuat titik A, dan sebuah bidang sisi yang lain memuat titik B : Sejajar : Tidak sejajar : Tegak lurus : Gabungan : Irisan : Segitiga dengan titik sudut A, B, dan C : Kongruen : Akhir sebuah pembuktian xv
A.BCD : Akhir sebuah contoh : Bidang-empat dengan titik puncak A dan bidang alas xvi