PENENTUAN NILAI OPSI LOOKBACK DENGAN MENGGUNAKAN METODE TRINOMIAL Intan Pelangi Astridnindya 1 dan J. Dharma Lesmono 2 1 Mahasiswa Jurusan Matematika Universitas Katolik Parahyangan Bandung e-mail: intan_pelangi4@yahoo.com 2 Jurusan Matematika Universitas Katolik Parahyangan Bandung e-mail: jdharma@unpar.ac.id Abstrak. Opsi adalah surat kontrak antara dua pihak yang memberikan hak kepada pemegang (holder) untuk membeli/ menjual aset (saham) dari/ kepada penerbit (writer) pada waktu tertentu dan dengan harga tertentu. Pada makalah ini, akan dibahas secara khusus mengenai opsi lookback atau surat kontrak antara dua pihak untuk membeli / menjual aset (saham) pada harga terendah / harga tertinggi selama umur opsi. Opsi lookback sendiri terbagi atas 2 tipe yaitu lookback fixed strike dan lookback floating strike. Pada makalah ini akan dihitung harga opsi lookback fixed strike dengan metode trinomial dan akan dibandingkan hasilnya dengan metode binomial dan Black-Scholes. 1. Pendahuluan Sekarang ini, perdagangan saham sudah menjadi suatu hal yang umum. Menang dan kalah pun biasa terjadi didalamnya. Dari sini pasar derivative dunia menjadi salah satu industri yang berkembang pesat. Industri ini terus berkembang hingga saat ini, dimulai dengan pembukaan pasar opsi pertama di Chicago tahun 1973. Seiring dengan kenyataan itu, muncullah berbagai jenis instrumen keuangan yang diharapkan dapat menambah keuntungan serta dapat meminimumkan resiko kerugian. Salah satu jenis instrumen keuangan ini adalah derivative dan opsi merupakan salah satu jenis produknya. Derivative sendiri adalah suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya, seperti saham, emas, indeks saham, dll. Instrumen keuangan ini diharapkan dapat meminimumkan risiko kerugian yang nantinya akan diperoleh. Seiring berkembangnya derivative, berbagai jenis opsi pun ikut bermunculan. Salah satunya adalah opsi eksotik (exotic option) yang lebih kompleks dari opsi vanila standar. Opsi lookback merupakan salah satu dari opsi eksotik. Opsi lookback sendiri dibagi menjadi dua tipe yaitu fixed strike dan floating strike. Pada makalah ini akan dibahas metode untuk menentukan harga dari opsi lookback untuk tipe fixed strike dengan menggunakan metode trinomial dan akan dibandingkan dengan metode binomial dan metode Black-Scholes. 2. Landasan Teori Opsi adalah surat kontrak antara dua pihak yang memberikan hak kepada pemegang (holder) untuk membeli/ menjual aset (saham) dari/ kepada penerbit (writer) pada waktu tertentu dan dengan harga tertentu. Opsi berdasarkan fungsinya terbagi menjadi dua, yaitu: 1. Opsi call, hak untuk membeli saham. 2. Opsi put, hak untuk menjual saham. Berdasarkan waktu exercise, opsi dibagi menjadi: 1. Opsi Eropa, opsi yang dapat digunakan (exercise) hanya pada saat jatuh tempo. 2. Opsi Amerika, opsi yang dapat digunakan (exercise) kapanpun selama periode opsi sebelum jatuh tempo. Faktor faktor yang mempengaruhi harga opsi, antara lain harga saham (S), strike price (K), jatuh tempo (T), volatilitas, dan suku bunga (r) 1

Payoff opsi eropa adalah hasil yang diperoleh holder dari membeli atau menjual opsi. Misalkan harga saham pada saat sekarang dinyatakan dengan S(0). Seseorang membeli sebuah opsi call dengan strike price K. Pada saat jatuh tempo T, holder akan menggunakan haknya apabila harga saham S(T) K dan memperoleh keuntungan sebesar S(T) K. Jika harga saham S(T) < K, maka opsi call ini tidak dapat digunakan haknya sehingga keuntungnya adalah nol. Dari hubungan di atas dapat dirumuskan nilai opsi call saat t = T yaitu: ([4]) C(S(T), T) = maks(s(t) K, 0) Selanjutnya, pada opsi put dimisalkan harga saham pada saat sekarang dinyatakan dengan S(0). Seseorang membeli sebuah opsi put dengan strike price K. Pada saat jatuh tempo T, holder akan menggunakan haknya apabila harga saham S(T) < K dan memperoleh keuntungan sebesar K S(T). Jika harga saham S(T) K, maka opsi put ini tidak akan digunakan sehingga keuntungannya adalah nol. Dari hubungan di atas dapat dirumuskan nilai opsi put saat t = T yaitu: ([4]) P(S(T), T) = maks(k S(T), 0) Beberapa kegunaan dari opsi,antara lain, (1) hedging, yaitu upaya untuk memperoleh keuntungan dengan cara memperkecil risiko kerugian yang akan diperoleh dan (2) spekulasi, yaitu upaya untuk memperoleh keuntungan dengan cara memprediksikan harga saham di masa yang akan datang. 2.1 Metode Binomial Metode ini cukup sederhana untuk menentukan nilai opsi serta dapat menggambarkan harga saham (aset) yang mungkin terjadi dalam satu periode selama opsi tersebut masih berlaku. Gambar 1. Binomial Eropa Misalkan pada saat t = 0 opsi dibeli dengan harga f dengan harga saham S dan waktu jatuh tempo saat t = T. Selanjutnya selang waktu akan dibagi menjadi n selang waktu yang sama panjang sehingga diperoleh δt = 1 n T. Untuk mempermudah akan digunakan lambang t i untuk i = 0,1,..., n dengan t i = iδt. Setelah itu perhatikan selang antara t 0 dan t i sehingga diperoleh harga saham yang mungkin terjadi pada t i adalah Su dan Sd. Untuk mempermudah akan digunakan simbol ([1]) S 1 1 = Su, S 1 0 = Sd 2

Hal yang sama dilakukan pada selang waktu antara t 0 dan t 2, sehingga diperoleh harga saham yang mungkin terjadi pada t 2 yaitu Suu, Sud dan Sdd, sehingga dapat disimbolkan dengan S 2 2 = Suu, S 1 2 = Sud, S 0 2 = Sdd Dengan memperhatikan selang antara t 0 dan t 1 maka harga saham yang mungkin terjadi saat t i adalah: S j i = Su j d i j dengan j = 0,1,..., i Maka dengan cara yang sama, nilai opsi pada saat t = 0 adalah f = e rt n ( n j ) pj (1 p) n j j j=0 f n (2.1) Bila opsi yang dimaksud adalah opsi call Eropa maka f j n = max(s j n K, 0) (2.2) sedangkan jika opsi put Eropa f j n = max(k S j n, 0) (2.3) 2.2 Metode Trinomial Prinsip perhitungan menggunakan metode trinomial sama dengan metode binomial. Yang membedakan hanyalah model pergerakan harga sahamnya. Pada model trinomial, terdapat tiga kejadian yaitu harga saham naik, tetap, dan turun. Selain itu, dengan besar N yang sama seperti binomial, kemungkinan harga saham pada waktu jatuh tempo (maturity time) akan berjumlah 2N+1, lebih banyak N+1 buah dari binomial. Dengan demikian, perhitungan harga opsi dengan menggunakan metode trinomial akan lebih baik daripada metode binomial dengan banyak langkah yang sama. Gambar 2. Trinomial eropa Misalkan pada saat t = 0 opsi dibeli dengan harga f dengan harga saham S dan waktu jatuh tempo saat t = T. selanjutnya selang waktu akan dibagi menjadi n selang waktu yang sama panjang sehingga diperoleh δt = 1 T. Untuk mempermudah akan digunakan lambang t n i untuk i = 0,1,..., n dengan t i = iδt. Setelah itu perhatikan selang antara t 0 dan t i sehingga diperoleh harga saham yang mungkin terjadi pada t i adalah Su, Sm dan Sd. Untuk mempermudah akan digunakan simbol ([2]) S 1 1 = Su, S 1 0 = Sm, S 1 1 = Sd 3

Hal yang sama dilakukan pada selang waktu antara t 0 dan t 2, maka harga saham yang mungkin terjadi pada t 2 yaitu Suu, Sum atau Smu, Sud atau Sdu atau Smm, Smd atau Sdm, dan Sdd, sehingga dapat disimbolkan dengan S 2 2 = Su 2, S 2 1 = Sum, S 2 0 = Sm, S 2 1 = Sdm, S 2 2 = Sd 2 Jika memperhatikan simbol di atas maka harga saham yang mungkin terjadi saat t i adalah S n j = Su j dengan n j n Dengan cara yang serupa, maka dapat diperoleh nilai opsi pada saat t = 0 adalah n n x f = e rt n! x! y! (n x y)! p u x p y d p n x y n m f x y x=0 y=0 dengan: n = Banyaknya langkah x = Banyaknya faktor kenaikan untuk setiap path y = Banyaknya faktor penurunan untuk setiap path Bila diasumsikan opsi yang digunakan adalah opsi call Eropa,maka dan untuk opsi put Eropa n f x y n f x y n = max(s x y K, 0) = max(k S n x y, 0) 2.3 Opsi Lookback Opsi lookback termasuk dalam opsi eksotik atau opsi yang lebih kompleks dari opsi standar dan merupakan alternatif lain dalam menentukan harga opsi mana yang lebih memberikan keuntungan dan memberikan risiko kerugian yang kecil. Opsi lookback sendiri adalah surat kontrak antara dua pihak yang memberikan hak kepada pemegang (holder) untuk membeli/ menjual aset (saham) pada harga terendah / harga tertinggi selama umur opsi tersebut dari/ kepada penerbit (writer) dengan harga tertentu. Nilai payoff opsi lookback sangat tergantung pada nilai maksimum dan minimum harga saham. Hal ini berarti bahwa opsi lookback termasuk dalam path dependent derivative artinya nilai opsi ini sangat tergantung pada harga saham yang telah terjadi sebelumnya. Secara umum, opsi lookback mempunyai solusi analitik untuk menentukan harga opsi call dan put yaitu: Opsi lookback sendiri terbagi menjadi dua tipe: ([3]) 1. Lookback fixed strike Dengan nilai payoff : Call : C(S(T), T) = maks (Smaks K, 0) Put : P(S(T), T) = maks (K Smin, 0) 2. Lookback floating strike Dengan nilai payoff : Call : C(S(T), T) = maks (S Smin, 0) Put : P(S(T), T) = maks (Smaks S, 0) S P 4 Su f u

Gambar 5. Binomial lookback Misal saat t = 0 opsi dibeli dengan harga f, harga saham saat t = 0 adalah S dan waktu jatuh tempo adalah T. Harga saham saat jatuh tempo t = T belum diketahui karena belum terjadi. Pada saat jatuh tempo T harga saham dapat mengalami kenaikan (peluang p) dapat ditulis Su dengan u faktor kenaikan harga saham (u > 1) dan jika harga saham mengalami penurunan (peluang 1 p) dapat ditulis Sd dengan d faktor penurunan harga sahamt (d < 1). Nilai opsi untuk opsi lookback fixed dan floating strike menggunakan metode binomial sama dengan nilai opsi eropa menggunakan binomial yaitu: ([4]) f = e rt [ p f u + (1 p)f d ] dengan p = ert d u d dengan nilai f u dan f d yang sesuai dengan nilai payoff masing-masing tipe ( fixed and floating strike ). Su S f p u p m p d f u Sm f m Sd f d t = 0 t = T Gambar 6. Trinomial lookback Misal saat t = 0 opsi dibeli dengan harga f, harga saham saat t = 0 adalah S dan waktu jatuh tempo adalah T. Harga saham saat jatuh tempo t = T belum diketahui karena belum terjadi. Pada saat jatuh tempo T harga saham dapat mengalami kenaikan (peluang p u ) dapat ditulis Su dengan u faktor kenaikan harga saham (u > 1), jika harga saham mengalami penurunan (peluang p d ) dapat ditulis Sd dengan d faktor penurunan harga sahamt (d < 1) dan jika harga saham tetap (peluang p m ) dapat ditulis Sm dengan d faktor penurunan harga sahamt (m = 1). Nilai opsi untuk opsi lookback fixed dan floating strike menggunakan metode trinomial satu langkah yaitu: ([2]) f = e rδt [p u f u + p m f m + p d f d ] dengan 5

2 p u = ( e1 2 rδt e σ 1 2 δt ) e σ 1 2 δt e σ 1 2 δt 1 p d = ( eσ 2 δt e 1 2 rδt ) e σ 1 2 δt e σ 1 2 δt p m = 1 p u p d dengan nilai f u, f d dan f m yang sesuai dengan nilai payoff masing-masing tipe. 3. Contoh Numerik Dalam bab ini, akan disimulasikan perhitungan harga dari opsi call lookback maupun harga dari opsi put lookback yang telah dihitung menggunakan metode binomial, metode trinomial, dan metode Black-Scholes dengan menggunakan program MATLAB. Adapun masukan-masukan yang diperlukan untuk program ini adalah: ([1]) 1. Harga saham mula - mula (dalam $) dinotasikan dengan S(0) 2. Harga perjanjian pada opsi (strike price) (dalam $) dinotasikan dengan K 3. Suku bunga dinotasikan dengan r 4. Volatilitas dinotasikan dengan σ 5. Banyaknya sub selang dinotasikan dengan n 6. Waktu jatuh tempo pada opsi dinotasikan dengan T Harga opsi call lookback maupun harga opsi put lookback dengan memakai metode binomial dan metode trinomial yang seluruhnya dijalankan dengan menggunakan program MATLAB akan dibandingkan dengan harga opsi call lookback maupun harga opsi put lookback dengan memakai metode Black-Scholes. Untuk melihat perbandingan itu, maka perhatikan contoh berikut: Pada contoh ini akan diberikan data-data berikut dengan strike price K yang berbeda-beda: 1. S(0) = 75 2. K 1 = 70, K 2 = 75, K 3 = 80, K 4 = 85 3. σ = 21.3% /tahun. 4. r = 5% /tahun. 5. T = 1 tahun. 6. n = 9 7. S max =75 Berdasarkan masukan-masukan di atas, diperoleh perbandingan harga opsi, yang dihitung dengan 4 nilai K yang berbeda untuk opsi lookback dengan metode binomial, metode trinomial dan metode Black-Scholes, yaitu: Tabel 1 Perbandingan harga opsi call dengan 4 nilai K yang berbeda Nilai K Call Binomial Call Trinomial Call Black-Scholes 70 17.81 16.33 19.98 75 13.05 11.57 15.23 80 9.33 8.31 10.97 85 6.56 5.61 7.68 Dari hasil di atas diperoleh bahwa harga opsi sangat dipengaruhi oleh nilai strike price K yaitu semakin rendah nilai K maka harga opsi call akan semakin tinggi. Selain itu, diperoleh bahwa harga opsi lookback call dengan metode trinomial lebih murah daripada harga opsi lookback call dengan metode binomial. Dapat juga diperoleh bahwa semakin besar nilai K maka nilai opsi dengan metode call trinomial dan metode call binomial hasilnya akan semakin mendekati nilai pada metode Black-Scholes. 6 2

Tabel 2 Perbandingan harga opsi put dengan 3 nilai K yang berbeda Nilai K Put Binomial Put Trinomial Put Black-Scholes 70 4.94 4.31 5.84 75 8.38 7.19 9.91 80 13.14 11.95 15.36 Dari hasil di atas diperoleh bahwa semakin rendah nilai K maka harga opsi put nilainya akan semakin rendah. Selain itu diperoleh harga opsi lookback put dengan metode trinomial lebih murah daripada harga opsi lookback put dengan metode binomial. Dapat juga diperoleh bahwa semakin kecil nilai K maka nilai opsi dengan metode call trinomial dan metode put binomial hasilnya akan semakin mendekati nilai pada metode Black-Scholes. Pada contoh ini akan diberikan data-data berikut dengan tingkat suku bunga r yang berbeda-beda: 1. S(0) = 75 2. K = 70 3. σ = 21.3% /tahun. 4. r 1 = 2.5% /tahun, r 2 = 5% /tahun, r 3 = 10% /tahun, r 4 = 20% /tahun. 5. T = 1 tahun. 6. n = 9 7. S max =75 Berdasarkan masukan-masukan di atas, diperoleh perbandingan harga opsi, yang dihitung dengan 4 nilai r yang berbeda untuk opsi lookback dengan metode binomial, metode trinomial dan metode Black-Scholes, yaitu: Tabel 3 Perbandingan harga opsi call dengan 4 nilai r yang berbeda Nilai r Call Binomial Call Trinomial Call Black-Scholes 0.025 16.65 15.58 19.28 0.05 17.81 16.33 19.98 0.1 20.15 17.94 21.5 0.2 24.84 21.5 24/87 Dari hasil di atas diperoleh bahwa harga opsi sangat dipengaruhi oleh nilai strike price r yaitu semakin rendah nilai r maka harga opsi call akan semakin rendah pula. Selain itu, diperoleh bahwa harga opsi lookback call dengan metode trinomial lebih murah daripada harga opsi lookback call dengan metode binomial. Dapat juga diperoleh bahwa semakin besar nilai r maka nilai opsi dengan metode call trinomial dan metode call binomial hasilnya akan semakin mendekati nilai pada metode Black-Scholes. Tabel 4 Perbandingan harga opsi put dengan 3 nilai r yang berbeda Nilai r Put Binomial Put Trinomial Put Black-Scholes 0.025 5.31 4.98 6.62 0.05 4.94 4.31 5.84 0.1 4.33 3.18 4.50 0.2 3.44 1.64 2.60 Dari hasil di atas diperoleh bahwa semakin rendah nilai r maka harga opsi put nilainya akan semakin tinggi. Selain itu diperoleh harga opsi lookback put dengan metode trinomial lebih murah daripada harga opsi lookback put dengan metode binomial. Dapat juga diperoleh bahwa semakin kecil nilai r maka nilai opsi dengan metode call trinomial dan metode put binomial hasilnya akan semakin mendekati nilai pada metode Black-Scholes. 7

4. Kesimpulan Berdasarkan penulisan makalah ini dapat disimpulkan tiga hal, yaitu: 1. Metode trinomial merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk mencari harga opsi, dan metode ini juga dapat diterjemahkan ke dalam program MATLAB sehingga akan lebih mudah dalam memperoleh nilai opsi. 2. Dari analisis terhadap beberapa data, dapat disimpulkan bahwa harga opsi sangat dipengaruhi berbagai faktor, yaitu nilai n, strike price (K), volatilitas (σ), nilai suku bunga (r), dan waktu jatuh tempo (T). 3. Jika nilai r dan K semakin besar, maka harga opsi call trinomial dan binomial akan semakin mendekati nilai Black-Scholes sedangkan untuk opsi put adalah kebalikannya. Jika nilai sigma σ dan nilai T semakin kecil maka harga opsi call dan put trinomial dan binomialnya akan semakin mendekati nilai Black-Scholes. 5. Daftar Pustaka [1] Apriyadi, Gian. Penentuan Harga Opsi Lookback Dengan Menggunakan Metode Binomial, 2006, Skripsi Jurusan Matematika Universitas Katolik Parahyangan. Bandung. [2] Clifford, Paul.,Wang, Yan., Zaboronski, Oleg.,and Zhang, Kevin. Pricing Options Using Trinomial Trees, 2010. http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/maths/people/staff/oleg\_zaboronski/fm/trinomial\ _tree\_2010\_kevin.pdf Diakses: 28 Mei 2011 [3] Higham, J, Desmond. An Introduction to Financial Option Valuation, 2004, Cambridge University Press, United Kingdom. [4] Hull, J.C, Options, Future, and Others Derivative, 2003, seventh edition, Prentice-Hall. U.S.A. 8