PENGANTAR PROBABILITAS GANGGA ANURAGA
POKOK BAHASAN Konsep dasar probabilitas Teori himpunan Permutasi Kombinasi Koefisien binomial Koefisien multinomial Probabilitas Aksioma probabilitas Probabilitas bersyarat Teorema bayes Kejadian-kejadian yang bebas Variabel Random Variabel random diskrit dan fungsi distribusi variabel random diskrit Variabel random kontinu dan fungsi variabel random kontinu UTS
POKOK BAHASAN Distribusi bersama / joint probability Distribusi bersama variabel random diskrit Distribusi bersama variabel random kontinu Ekspektasi Ekspektasi variabel random Varians, kovarian, korelasi, Fungsi pembangkit moment UAS
REFERENSI A First course in Probability: Sheldon Ross. 1997 Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics, 5th ed. Mac Millon. New York. Rohatgi, W.K., 1976., An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics, John Wiley and Sons, New York. Bartoszynski, R. and Bugaj, M.N.,, 1996, Probability and Statistical Inference, John Wiley & Sons, New York.
KONSEP DASAR PROBABILITAS Teori Himpunan (SET THEORY) : Kumpulan obyek-obyek yang keanggotaanya terdefinisikan secara jelas. Definisi I : Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan dengan huruf besar seperti S. Definisi II : Jika S merupakan himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S c maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota dari S tetapi tidak termuat dalam A. contoh : S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A = x ; x = 0, 1 c maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4
Definisi III : A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 A) jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota dari A ditulis : A A x A x A contoh : A = x ; 0 x 1, A = x ; 0 x 2, maka A A Gambarkan diagram Venn-nya? Definisi IV : 2 1 2 Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong A = contoh : A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat, maka A =
Definisi V : Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu 1 2 1 2 suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A, ditulis A A = x x A atau x A. 1 2 1 2 Gabungan dari himpunan-himpunan A A A... 1 2 3 contoh : A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 1 A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10 2 1 2 A, A, A,...adalah 1 2 3 Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10 1 2
Definisi VI : Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah 1 2 1 2 suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A dan juga dari A ditulis : A A = x x A dan x A 1 2 1 2 1 2 Irisan dari beberapa himpunan A, A, A...adalah A A A... 1 2 3 Contoh : 1 2 3 A = x, y ; x, y = 0,0, 0,1, 1,1 1 A = x, y ; x, y = 1,1, 1,2, 2,1 2 1 2 maka A A x, y ; x, y = 1,1 Contoh : 1 2 A = x,y ; 0 x+y 1, A = x,y ; 1 maka A A... 1 2 x+y
Definisi VII : Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah 1 2 1 2 suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari A A -A = x x A dan x A Contoh : A = x x bilangan asli 1 A = x x 2 A -A = 1 2 2 1 A -A = x x bilangan bulat 2 1 2 1 2 bilangan bulat tidak positif 1
Definisi VIII : Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah 1 2 1 2 suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau anggota A tetapi tidak termuat dalam A A. A + A = x x 2 1 2 A 1 2 1 atau x A dan x A A. 2 1 2 Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A. Contoh : A = x x 1 A = x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 bilangan cacah maka A + A = x x bilangan bulat negatif bilangan bulat 1
SOAL LATIHAN : Suatu ruang sampel S = s,s,s,s,s,s,s, s dan himpunan 1 2 3 4 5 6 7 8 A, A, dan A adalah sebagai berikut : A s,s,s, 1 2 3 1 1 2 3 A s,s,s,s, A s,s,s,s. 2 2 3 4 5 3 3 4 5 8 Tentukan A, A, A, A A, A A, A A, c c c 1 2 3 1 2 1 3 2 3 A A A, A A, A A, A A A, 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 A - A, A - A, A - A, A - A, A - A, A. c 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1 c c c 1 2 1 2 Berikan bukti bahwa : A A A A, c c c 1 2 1 2 A A A A, c c c A A A c A A A 1 2 3 1 2 3 c
Aplikasi hukum De Morgan s c c c A A s, s, s, A A s, s, s 1 2 6 7 8 1 2 6 7 8 c c c c A A A s, s, A A A s, s 1 2 3 6 7 1 2 3 6 7 c c c A A s, s, s, s, s, s A A s, s, s, s, s, s 1 2 1 4 5 6 7 8 1 2 1 4 5 6 7 8 c A1 A2 A3 s1 s2 s4 s5 s6 s7 s8 c c c A A A s, s, s, s, s, s, s,,,,,,, 1 2 3 1 2 4 5 6 7 8 maka : c c c, A A A A A 1 2 1 2 1 c, c c c c 2 3 1 2 3 A A A A A c c c c c c 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 A A A A A A A A A A Hukum De Morgan s
SOAL LATIHAN Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A dimana A dan A adalah : 1 2 a A 1 x; x 0,1,2, A 2 x; x 2,3,4 b A x;0 x 2, A x;1 x 3 1 2 1 2 1 2 Carilah A c dari himpunan A dengan ruang sampel S sebagai berikut : 5 a S x;0 x 1,A = x; x 1 8
Barisan himpunan monoton : n i i+1 n n Barisan himpunan A disebut himpunan monoton naik A jika A A, i = 1,2,3,... A A berarti limit A A = A i n n i n i=1 i=1 n n Barisan himpunan A disebut himpunan monoton turun A jika A A, n i i+1 i = 1,2,3,... A A berarti limit A A = A i n n i n i=1 i=1
SOAL LATIHAN Jika A, A, A,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A k = 1, 2, 3,..., dan lim A k didefinisikan sebagai himpunan gabungan k A 1 A 2 A 3... Carilah lim A k jika : k a) Ak x;1/ k x 31/ k, k 1,2,3...; 2 2 b) A k x, y ;1/ k x y 4 1/ k, k 1,2,3...; Jika A, A, A,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A 1 2 3 k k+ 1 2 3 k k+1 k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpunan interseksi A A A... 1 2 3 k k k k Carilah lim A jika : a) A x;2 1/ k x 2, k 1,2,3...; 2 2 b) A k x, y ;0 x y 1/ k, k 1,2,3...; k
Permutasi dan Kombinasi Permutasi pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut diperhatikan. Contoh : dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalah penting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}. Banyaknya permutasi adalah 6. k n! P n n k! 0! 1 k! k x k 1 x k 2 x x 1 3! 3 x 2! 3 x 2 x 1 6 Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi? Banyaknya permutasi adalah 6 yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan. Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yang berukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and {b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting, dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}. Banyaknya kombinasi adalah 3. C P P n n k k k k n! k! n k! Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan? Banyaknya kombinasi adalah 3
SOAL LATIHAN Tiga orang siswa bernama A, B, dan C hendak membentuk kelompok belajar dan dua orang dipilih sebagai ketua dan bendahara. Maka susunan ketua dan bendahara yang bisa terjadi adalah Tiga orang bernama A, B, dan C berjabat tangan. Berapa kemungkinan jabat tangan yang mungkin terjadi?
TERIMA KASIH
EKSPEKTASI MATEMATIK GANGGA ANURAGA
Definisi : Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga : E u x x u x f x dx u x f x untuk variabel random kontinu untuk variabel random diskrit Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u disebut ekspektasi dari u x. x
Sifat - sifat dari ekspektasi matematik : 1. E (k) = k, k = konstanta 2. E [k u(x)] = k E[u(x)] n n 3. E k i u(x) i k i E[u(x)] i, n hingga ekspektasi bersifat linier i=1 i1
Ekspektasi Fungsi U(x) 1. U(x) = X, maka mean dari variabel random X : E u x x x f x f x dx x 2 x 2. Var u Var(x) = E(x - E(x)) 2 = x x untuk variabel random kontinu untuk variabel random diskrit 2 (x - E(x)) f x dx untuk variabel random kontinu 2 (x - E(x)) f untuk variabel random diskrit
Misal X dengan f.d.p f x 2 maka E 6x + 3x...? Contoh 2. x 2 1 x, 0 x 1 0, untuk x yang lainnya Misal X dengan f.d.p f 3 maka E (x)...? x / 6, x 1,2,3 0, untuk x yang lainnya
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p 2 f(x) = 3x, 0 < x < 1 maka : 2 1. E (x), E(x), dan Var (x)...? 2. Jika variabel random y dengan y = 3x - 2 tentukan E (y) dan Var (y)?
Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function) Gangga Anuraga
tx M t E e tx e f x tx M t E e tx e f x x Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan distribusi sampling dari suatu variabel random. Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen M t M ct M cx x cx t cx ct x t E e E e M x ct dt t cx d dt ct x dt M cxd t e M x ct M cxd t E e E e. e e M x ct n d d E x M x t dan M, 2,3, t 0 n x t n t0 dt dt
Sifat sifat MGF a. jika a R maka M t M at i1 b. jika variabel random X, X,..., X saling independen maka, n x M n t M x t i X i1 i c. jika a,b R maka : axb tb M t e M at x x 1 2 n d. jika variabel random X,X,..., X independen identik maka : i1 M n t M x t i X i n 1 2 n
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p x f x e, x 0. a) Tentukan Fungsi Pembangkit Momen M 2 b) Tentukan E(x), E(x) dan t c) jika variabel random y didefinisikan y = 2-3x, M t?? y Var x x
contoh : Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean 1 t t 2 2 x dan varians, maka MGF dari X addalah M t e. Tentukan : a. MGF variabel random Y = X -. X b. MGF variabel random W = X - c. MGF variabel random Z = 2 2
Moment Generating Function GANGGA ANURAGA
Moment : a) U x m n x E x n n disebut sebagai moment ke n maka jika n = 1 didapatkan b) U x m 2 m E x 1 n 2 2 x n mn E x jika n = 2 maka m2 E x
Pandang variabel random x dengan f.p.m M t : tx M t e f x dx, h t h t = 0 tx ' ' M t x e f x dx M t x f x dx " 2 " 2 M t x e f x dx M t x f x dx tx k k tx k k M t x e f xdx M t x f xdx k 1 2
Contoh : 2 ' '' Jika M t 1 t, t 1 maka M t dan M t adalah... '' 2 1 dan 6 1 ' M 0 6 4 2 ' 3 4 M t t M t t = M 0 2 2 '' 2 2 2 2 x f x dx dan x f x dx
Variabel random x merupakan variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas 1, x 1 3 f x 2 3, x 2 Tentukan MGF dari variabel random x?
2212n2ii1ntμ+σtMisalkanX,X,.,Xvariabelrandomindependenmasing-masingberdistribusiN(μ,σ)MGFdariXadalahMt=edanY=X. Variabel random x~bin m,p dan y~bin n,p, dan z=x+y Tentukan MGF dari z? 22iii1ntμ+σt2iXii=1MGFdariXadalahMt=edanY=X.TentukanMGFdariY? / 2 x 1 2 Sebuah variabel random x dengan MGF, M 1 2., tentukan MGF dari y? n t t y x x
RUANG SAMPEL (SAMPLE SPACE) DAN KEJADIAN (EVENT) GANGGA ANURAGA
EVENT DAN PROBABILITAS PERCOBAAN RANDOM Setiap percobaan selalu diakhiri dengan sebuah Hasil yang biasanya tidak dapat diramalkan sebelumnya. Percobaan adalah suatu percoban yang hasilnya tidak dapat diramalkan dengan pasti dan dapat diulang dibawah kondisi yang sama dan hasil yang mungkin dapat diketahui dari percobaan tersebut.
Ruang Sampel Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan random. Ruang sampel biasa dinotasikan dengan huruf S. Contoh : Jika sebuah dadu dilempar satu kali, maka semua kemungkinan yang akan terjadi adalah tampak di atas mata 1, mata 2, mata 3, mata 4, mata 5 atau mata 6. Bila dituliskan dalam bentuk himpunan, ruang sampel dari percobaan ini adalah : S = {1,2,3,4,5,6} Sebuah mata uang dilemparkan satu kali, maka kemungkinan akan tampak di atas adalah gambar (G) atau angka (A), Ruang sampel dapat ditulis menjadi : S = {G,A}
Kejadian (event) SBY Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel Contoh : UNIPA Ada 4 orang mahasiswa yang diambil secara random dari jurusan Teknologi :STATISTIKA Pembelajaran, kemudian ditanyakan kepada mereka apakah suka mendapat kuliah Statistika. Jika mereka suka diberi simbol Y dan jika tidak diberi simbol T, maka ruang sampelnya adalah
Anggota kejadian A dimana A menyatakan sekurang-kurangnya 3 orang suka diadakannya kuliah statistik adalah : Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yang memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara 0 dan 1
MODEL PROBABILITAS Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6} Event: A = {muncul angka genap}, B = {muncul angka ganjil}, Ukuran Probabilitas: D= {muncul angka 2} P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6
Aturan-Aturan Probabilitas Probabilitas dari sembarang event P(A) harus memenuhi 0 < P(A) < 1 Complement Rule = complement dari sembarang event A adalah event A tidak terjadi P(A c ) = 1 - P(A) Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6}; mis A = {2,4}, A c = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(A c ) = 1-1/3 = 2/3 Addition Rule = untuk dua events A dan B yang terpisah/disjoint (no common outcomes) P (A or B) = P(A) + P (B) Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6}; mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3
Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahui bahwa salah satu terjadi/muncul tidak mengubah probabilitas yang lain muncul P (A and B) = P(A)*P(B) Contoh: Lempar sepasang dadu S = {(1,1),(1,2),.(6,6)} 36 kemungkinan outcomes mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} Maka P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 6/36 = 1/6 dan P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B) menunjukan independence = 1/36 = P(A) P(B)
Contoh: suatu web site mempenyai tiga server A, B, dan C, yang dipilih secara independent dengan probabilitas: P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼. (a) Cari probabilitas A atau B dipilih P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4 (b) Cari probabilitas A tidak dipilih P(A c ) = 1 P(A) = ¾ (c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali P(AA) = P(A)P(A) = 1/16 (d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128
KOEFISIEN BINOMIAL DAN MULTINOMIAL GANGGA ANURAGA
KOEFISIEN BINOMIAL Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan (a+b) n Terlihat bahwa ekspresi (a+b) n tidak ada hubungannya dengan kombinasi, tetapi kenyataannya (a+b) n dapat dicari dengan menggunakan rumus kombinasi-r dari n unsur Dalam aljabar diketahui bahwa : 3 3 2 2 3 a+b a + 3a b + 3ab + b Teorema Binomial : n n nk k a+b, C n k a k 0 b
Contoh : 4 4 0 0 44 4 Sederhanakan a+b C 4, 0 a b C 4, 4 a b Tentukan koefisien dari a b 11! C 11,6 5!6! 5 Sederhanakan 2x-3y = a 4a b 6a b 4ab b 4 3 2 2 3 4 5 6 dalam a+b 2 3 5 Tentukan koefisien dari x y z dalam x + y + z = 11 10 Persoalan diatas dapat juga diselsaikan dengan aturan segitiga pascal
Aturan segitiga pascal
KOEFISIEN MULTINOMIAL Multinomial merupakan perluasan dari binomial n x1 x2 xk x x x 1 2 n1 n2 n 1, 2,, k n n n nk 1 2 n n n nk k n n! dengan = n1, n2,, nk n1! n2! nk!
Contoh :
Contoh : Tentukan Koefisien dari : 10 x x x x dalam x x x x x 2 3 4 1 3 4 5 1 2 3 4 5 10! 2!0!1!3!4! Tentukan Koefisien dari : 8 3 3 2 x y z dalam 2x 3y 5z
AKSIOMA PROBABILITAS GANGGA ANURAGA
Notasi : S A P A Aksioma 1 P A : ruang sampel : kejadian/event dalam ruang sampel S : probablitas event A 0 Aksioma 2 P S 1 Aksioma 3 mutually exclusive : dua kejadian yang saling tidak berhubungan dan tidak N N P An P A n1 n1 n mungkin terjadi secara bersamaan A K S I O M A P R O B A B I L I T A S
probabilitas joint A dan B P A B P A P B P A B probabilitas union A dan B P A B P A P B P A B Definisikan ruang sampel dari diagram venn diatas? Definisikan kejadian/event dari A? Definisikan kejadian/event dari B? Definisikan joint kejadian A dan B? Definisikan union kejadian A dan B?
Lokasi produksi mobil Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama pemakaian Ya Tidak Jumlah US 7 293 300 Non US 13 187 200 20 480 500 Berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian? Berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian? Berapa probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan? Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di USA
PROBABILITAS BERSYARAT Probabilitas Bersyarat P A B, menyatakan probabilitas A bila diketahui B, A dan B adalah kejadian acak. P A B P A B P B Probabilitas Bersyarat P B A, menyatakan probabilitas B bila diketahui A, A dan B adalah kejadian acak. P B A P B A P A
Contoh : S 1, 2, 3, 4, 5 2, 4, 6 P B P A B 1, 2, 3, 4 P C B P C B 2, 3, 4 P D B P D B Ruang sampel 1, 2, 3, 4, 5, 6 A P A B P A B maka P C maka P D maka C D
Paru-Paru Merokok P(B) ya tidak ya 0,3 0,1 0,4 tidak 0,25 0,35 0,6 p(a) 0,55 0,45 1 P(A) =probabilitas menderita penyakit paru-paru P(B) =probabilitas seseorang merokok P(A =ya B = ya) = 0,3/0,4 = 0,75 P(B =ya A= ya) = 0,3/0,55 = 0,55
VARIABEL RANDOM GANGGA ANURAGA
VARIABEL RANDOM - variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang sampel ke bilangan real. * variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan bulat * variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM f xa Variabel Random Diskrit x f x 0 1 P() x A f x xa
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM Variabel Random Diskrit X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel P A f x S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4.() dimana 4! 1 () f x, xs x!(4)! x2 Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A)? 4. A
Variabel random kontinu Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan sebagai : P(A) = P(X A) = Contoh 1: A f x X adalah variabel random dengan fungsi himpunan 2 3x peluang P(A), P(A) = f xdx dimana f x dx. 8 2 A 1 x A x;0 x 2.Tentukan peluang A 1 x;0 x 2 dan A x;1 x 2 yang merupakan himpunan bagian dari A.
Latihan Soal 1. Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y 1 P A A f x, y dimana f(,) x y, 52 x, y S x, y; x, y 0,1, 0,2,..., 0,13, 1,1,..., 1,13,..., 3,13 Hitunglah P A P X, Y A a). A = x,y ; x, y 0,4, 1,3, 2,2 b). A = x,y ; x y 4, x,y S x x 2. X adalah variabel random dengan ruang sampel S = ;0 1 1 1 jika A 1 x;0 x dan A 2 x; x 1, A 1 dan A 2 himpunan 2 2 1 bagian dari S. Hitunglah P(A) 2 jika P (A) 1. 4
VARIABEL RANDOM DISKRIT GANGGA ANURAGA
Variabel random diskrit variabel random yang dapat memiliki nilai bilangan bulat. Distribusi probabilitas variabel random diskrit adalah suatu variabel random yang mencantumkan semua kemungkinan nilai dari variabel random diskrit tersebut dan berpasangan dengan nilai probabilitasnya.
Contoh : Dari 10 orang mahasiswa diketahui ada 4 yang suka matakuliah strategi kognitif. Seorang dosen akan menguji 3 orang mahasiswa yang dipilih secara random. Tentukan distribusi probabilitas dari X, dimana X adalah banyak mahasiswa yang suka matakuliah strategi kognitif. Carilah distribusi probabilitas dari mahasiswa yang suka matakuliah strategi kognitif.
Penyelesaian : 4 C C f ( x ) 0 1 C 10 3 4! 6 3 6! 0! 4! 3! 3! 10! 3! 7! (3x2x1)(7x6x5x4x3x2x1) 20 120 C C f x f x f 4 6 4 6 1 2 2 1 2 10 3 10 C3 C3 ; C C 4 6 ( 3 0 x ) 4 10 C3 4x3x2x1 6x5x4x3x2x1 1(4 3 2 1) (3 2 1)(3 2 1) x x x x x x x 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 C C
Distribusi Probabilitas Mahasiswa Distribusi Probabilitas khusus diskrit antara lain : Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Poisson
Distribusi Bernoulli Variabel random X berdistribusi Bernoulli dengan parameter θ, berikut fungsi probabilitas bernoulli : f ( x; ) dimana x (1 ) 1 x 1 ; x : variabel random memperoleh sukses θ : probabilitas sukses Distribusi Bernoulli mempunyai mean 2 (1 ) ; 0 x 0,1 dan varians
Suatu soal ujian pilihan ganda yang terdiri dari 10 soal dan tiap soal mempunyai pilihan jawaban 4. Dari setiap item soal ada satu pilihan jawaban yang benar. Jika setiap jawaban yang benar tadi diberi nilai 1, maka berapakah probabilitasnya seorang siswa akan mendapatkan nilai 5 atau lebih, jika siswa tersebut tidak belajar (menjawab dengan coba-coba). P( x 5) 10 i5 10 C x (0,25) x (1 0,25) 10 x
Distribusi Binomial Variabel random X berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, ditulis X ~ B( n, p) jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas : n x n x f ( x; n, p) p (1 p) ; 0 p 1 ; x x Distribusi binomial mempunyai mean 2 np(1 p) dimana : 0,1,2,..., n np dan varians x : variabel random yang menyatakan banyaknya sukses p : probabilitas sukses n : banyak percobaan
Contoh : Suatu pemilihan umum / pemilu yang diikuti oleh partai demokrat dan golkar, yang mana dilaksanakan dalam 3 putaran. Misalkan peluang partai demokrat memenangkan pemilu adalah 0,5. Berapa probabilitas partai demokrat memenangkan pemilu sebanyak 3 kali.
Probabilitas kiriman paket dari suatu biro perjalanan akan sampai tepat waktu adalah 0,8. jika kita mengirim lewat biro tersebut 10 kali, Berapa probabilitas bahwa 6 diantaranya akan sampai tepat waktu? Berapa rata-rata dan varians bahwa 6 diantaranya akan sampai tepat waktu?
Misalkan diketahui bahwa pengobatan baru berhasil dalam menyembuhkan otot nyeri pada 50% kasus. Jika diuji coba pada 15 pasien, Tentukan probabilitas bahwa: Paling banyak 6 pasien akan sembuh. 0,304 Jumlah sembuh akan ada lebih dari 6 dan tidak lebih dari 10. 0,79
Distribusi Poisson Percobaan yang menghasilkan variabel random X yang bernilai numerik, yaitu banyaknya sukses waktu terentu atau dalam daerah tertentu. Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter λ X ~ P( ) jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas : f x e x ( x; ) ; x! Distribusi poisson mempunyai mean 2 0 dan varians
Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200 sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000 pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua orang atau tiga orang karyawan?
VARIABEL RANDOM KONTINU GANGGA ANURAGA
Variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan real. Distribusi probabilitas variabel random kontinu : berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati. Distribusi probabilitas f(x) atau P(a x b) adalah sama dengan luas di bawah kurva antara a dan b. Distribusi Probabilitas khusus kontinyu antara lain : Distribusi Uniform Distribusi Normal Distribusi Eksponensial Distribusi Chi-Square Distribusi Gamma
Fungsi Probabilitas : 1 ; a x b f x b a 0 ; x yang lain DISTRIBUSI UNIFORM Mean dari distribusi uniform adalah dan varians 2 b a 2 12 a b 2
Contoh : Jika diketahui x variabel random dengan distribusi uniform (1,6), maka p(2< x < 4) =.
Jika x variabel random dengan distribusi uniform (0,10). Tentukan nilai P(x < 3) = P(x > 6) = P( 3 < x < 8) =
DISTRIBUSI NORMAL Variabel random X berdistribusi normal dengan mean dan varians, jika X mempunyai fungsi probabilitas : f ( x;, 2 ) 1 2 e 1 x 2 2 ; ; 0 Merupakan salah satu distribusi probabilitas variabel random kontinu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal (Gauss), yaitu variabel random yang berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris.
Distribusi normal dengan rata-rata (μ)=0 dan standart deviasi (σ)=1. Z x Nilai Z adalah angka yang penyimpangan suatu nilai variabel x dari rata-rata (μ) yang dihitung dalam satuan σ.
KURVA DISTRIBUSI NORMAL 3 2 1 1 2 3
KURVA NORMAL STANDAR 3 2 1 1 2 3
Jika diketahui sekumpulan data nilai mata kuliah Pengantar Probabilitas berdistribusi normal dan rata-rata nilai 56 dan simpangan baku 6, maka carilah : a. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai kurang dari 60. b. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai lebih dari 60. c. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai antara 65 sampai dengan 76.
x DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Digunakan untuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya membutuhkan perkiraan rata-rata populasi Distribusi ekponensial dengan parameter, dengan fungsi probabilitas f x x e jika x 0 0 jika x 0 a x P x a e dx 0 e x a 0 a 1 e a 0
Jika x suatu variabel random berdistribusi ekponensial dengan parameter λ = 1/10. Tentukan P(x > 10) = P( 10 < x < 20) = Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket A berdistribusi eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 8,4 menit dalam 35 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung dalam selang waktu 8 menit atau lebih? Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket A berdistribusi eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 5,8 menit dalam 50 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung dalam selang waktu 15 menit atau kurang?
Distribusi Bersama / Joint Probability dan Distribusi Marginal Variabel Random Diskrit Gangga Anuraga
DEFINISI Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi (X, Y). Fungsi (X, Y) disebut dengan Distribusi Bersama / Distribusi Peluang Gabungan / Joint Distribution Function X dan Y.
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM DISKRIT Variabel random X dan Y dikatakan variabel random diskrit berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang berhingga.
Contoh : Jika 3 bola akan dipilih secara acak dari 3 bola bewarna merah, 4 bewarna putih, 5 bewarna biru. Dan diketahui X adalah jumlah bola merah yang terpilih, Y jumlah bola putih yang terpililh. Fungsi peluang gabungan dari X dan Y, didefinisikan sebagai berikut p(i,j) = P(X=I, Y=j). Hitung nilai peluang, P(X=I, Y=j)?
Contoh 1
Distribusi Marginal Variabel Random Diskrit Bila distribusi peluang f(x, Y) dari variabel random diskrit maka distribusi peluang marginal X adalah g (X) dan Y adalah h (Y).
Berdasarkan contoh 1
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOM KONTINYU BERDIMENSI DUA Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang berupa interval.
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu : x y 1. f, 0, untuk semua x, y 2. f x, y dx dy 1 3. P x, y A f x, y dx dy A untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan himpunan bagian dari daerah asal X dan Y. Contoh 5.2 : Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan variabel random X dan Y adalah : 1 f x, y x y 8 Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2?
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU,, Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y, maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y. g x f x y dy y h y f x y dx x Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang marginal X dan distribusi peluang marginal Y?
DISTRIBUSI BERSYARAT GANGGA ANURAGA
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT DEFINISI : 1 2 2 1 1 1 f1 x1 f x, x f x x, f x 0 disebut f.d.p bersyarat f x, x dari x bila diketahui X x, sejalan f x x, f x 0 1 2 2 1 1 1 2 2 2 f2 x2 disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X x. 1 2 2
Contoh : Jika diketahui fungsi peluang gabungan dari variabel random x dan x dengan f.d.p sebagai berikut : 1 2 x1 x2 f x1, x2, x1 1,2,3 ; x2 1,2 21 0, untuk x, x yang lain 1 2 cari terlebih dahulu f.d.p marginal untuk kemudian tentukan f x x dan f x x x 1 2 2 1 dan x 1 2
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUK VARIABEL RANDOM KONTINU Contoh : Misalkan x dan x mempunyai f.d.p : 1 2 f x, x 2,0 x x 1 1 2 1 2 0, untuk yang lain cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya kemudian tentukan f x x dan f x x 1 2 2 1