SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB oleh NURUL KOMIYATUN M0110063 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2014
SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM-LIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB oleh NURUL KOMIYATUN M0110063 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2014 i
perpustakaan.uns.ac.id ii
ABSTRAK Nurul Komiyatun. 2014. SIFAT SPEKTRAL DARI MASALAH STURM- LIOUVILLE FRAKSIONAL DENGAN POTENSIAL COULOMB. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Masalah Sturm-Liouville klasik dapat ditulis sebagai Ly = (p(x)y ) + q(x)y = λw(x)y dengan syarat batas k 1 y(a) + k 2 y (a) = 0 dan l 1 y(b) + l 2 y (b) = 0. Dalam perkembangannya muncul masalah Sturm-Liouville fraksional, yaitu masalah Sturm- Louville yang menggunakan derivatif berorde fraksional (berupa bilangan noninteger). Salah satu pengembangan dari masalah Sturm-Liouville fraksional adalah masalah Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb yang didefinisikan sebagai L α[c] y(x) + λw α (x)y(x) = 0 dengan L α[c] = Dπ, p(x) α C D0,+ α + ( A + q(x)) dan α merupakan bilangan non x integer. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan sifat-sifat spektral dari masalah Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb. Penurunan sifat spektral dari masalah tersebut di atas adalah dengan menyelidiki sifat operatornya, yang ditunjukkan melalui hasil dari L α[c] ψ, ϕ dan ψ, L α[c] ϕ, dengan ϕ dan ψ adalah fungsi eigen. Jenis nilai eigen dapat diselidiki melalui hubungan antara nilai eigen dengan konjugat dari nilai eigen itu sendiri. Sedangkan untuk ortogonalitas dari fungsi-fungsi eigen, ditunjukkan dengan hasil kali dalam dari dua fungsi eigen bernilai nol. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa sifat spektral dari masalah Sturm-Liouville fraksional dengan potensial Coulomb adalah operatornya bersifat self-adjoint, nilai eigennya real, dan fungsi eigen yang sesuai dengan nilai eigen bersifat ortogonal terhadap suatu fungsi bobot. Kata kunci : masalah Sturm-Liouville, fraksional, sifat spektral, Coulomb iii
ABSTRACT Nurul Komiyatun. 2014. SPECTRAL PROPERTIES OF FRACTIONAL STURM-LIOUVILLE PROBLEM FOR COULOMB POTENTIAL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. The classical Sturm-Liouville problem is defined by Ly = (p(x)y ) + q(x)y = λw(x)y with boundary conditions k 1 y(a) + k 2 y (a) = 0 and l 1 y(b) + l 2 y (b) = 0. For last decades, some researchers start to put their interest to fractional Sturm-Liouville problem. Fractional Sturm-Liouville problem is Sturm-Liouville problem with fractional order derivation or we can say that the second derivation in classical Sturm-Liouville problem is replaced by fractional order derivation. An example of fractional Sturm-Liouville problem is fractional Sturm-Liouville problem with Coulomb potential which is defined by L α[c] y(x) + λw α (x)y(x) = 0 where L α[c] = Dπ, p(x) α C D0,+ α + ( A + q(x)) and α is a non-integer order. x The aim of this research is to determine the spectral properties of fractional Sturm-Liouville problem with Coulomb potential. Before giving the main results, we mention some properties of fractional integral Riemann-Liouville and fractional derivative in Riemann-Liouville and Caputo sense. Spectral properties of Sturm-Liouville fractional problem with Coulomb potential is to investigate its operator, which is indicated by the result of L α[c] ψ, ϕ and ψ, L α[c] ϕ, with ϕ and ψ is an eigenfunction. Eigenvalues types can be investigated through the eigenvalues and its conjugate. As for the orthogonality of eigenfunctions, indicated by the results of inner product of two distict eigenfunctions is equal to zero. We will show that the spectral properties of fractional Sturm-Liouville problem with Coulomb potential are the operator is self-adjoint, its eigenvalues are real, and its eigenfunctions corresponding to distinct eigenvalues are orthogonal respect to a weight function. Keywords : Sturm-Liouville, fractional, Coulomb, spectral properties iv
PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk Ibu dan Ayah tercinta. v
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini membahas tentang sifat spektral dari masalah Sturm- Liouville fraksional dengan potensial Coulomb. Selain itu, juga disajikan sifat dari integral serta derivatif fraksional Riemann-Liouville dan derivatif fraksional Caputo. Selesainya penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada: 1. Drs. Sutrima, M.Si. sebagai pembimbing I yang telah memberi bimbingan serta motivasi dalam penyelesaian skripsi ini. 2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si. sebagai pembimbing II yang telah memberi bimbingan serta motivasi dalam penyelesaian skripsi ini. 3. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat. Surakarta, Desember 2014 Penulis vi
Daftar Isi HALAMAN JUDUL............................ i PENGESAHAN............................... ii ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv PERSEMBAHAN.............................. v KATA PENGANTAR........................... vi DAFTAR ISI............................... vii DAFTAR NOTASI............................. ix I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 3 1.3 Tujuan................................. 3 1.4 Manfaat................................ 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.1.1 Ruang Hasil Kali Dalam................... 5 2.1.2 Masalah Sturm-Liouville................... 6 2.1.3 Kalkulus Fraksional...................... 7 2.1.4 Masalah Sturm-Liouville Fraksional............. 9 2.2 Kerangka Pemikiran......................... 9 III METODE PENELITIAN 11 vii
IV PEMBAHASAN 12 4.1 Sifat-Sifat dari Operator Integral dan Diferensial Fraksional... 12 4.2 Masalah Sturm-Liouville Fraksional dengan Potensial Coulomb.. 18 V PENUTUP 24 5.1 Kesimpulan.............................. 24 5.2 Saran.................................. 24 DAFTAR PUSTAKA 25 viii
Daftar Notasi Ψ : fungsi gelombang r : jarak antara elektron dan proton : konstanta Planck e : besar muatan elektron m : massa elektron C : himpunan bilangan kompleks R : himpunan bilangan real [a, b] : interval tertutup dari a sampai b λ, E n : nilai eigen y, R n,l : fungsi eigen Γ(z) : fungsi Gamma untuk variabel z B(z, w) : fungsi Beta untuk variabel z dan w α, β : orde fraksional (berupa bilangan non-integer) Dy, dy dx, y (x) : derivatif pertama dari fungsi y(x) x : konjugat dari x L : operator diferensial.,. : hasil kali dalam (dot product) pada ruang vektor f, g : hasil kali dalam dari fungsi f dan g α, β : orde fraksional I α a,+y(x) : integral fraksional Riemann-Liouville kiri dari fungsi y(x) Ib, α y(x) : integral fraksional Riemann-Liouville kanan dari fungsi y(x) D α a,+y(x) : derivatif fraksional Riemann-Liouville kiri dari fungsi y(x) Db, α y(x) : derivatif fraksional Riemann-Liouville kanan dari fungsi y(x) C D α a,+y(x) : derivatif fraksional Caputo kiri dari fungsi y(x) C Db, α y(x) : derivatif fraksional Caputo kanan dari fungsi y(x) : akhir bukti ix