BAB II LANDASAN TEORI Bab ini terdiri dari 3 bagian. Pada bagian pertama diberikan tinjauan pustaka dari penelitian-penelitian sebelumnya. Pada bagian kedua diberikan teori penunjang untuk mencapai tujuan penulisan yang berisi definisi-definisi dan teori. Pada bagian ketiga disusun kerangka pemikiran yang menjelaskan alur pemikiran penulisan skripsi. 2.1 Tinjauan Pustaka Menurut Hethcote [3], model matematika merupakan alat yang dapat digunakan untuk mempelajari pola penyebaran penyakit. Model SIR menjelaskan tentang penyebaran penyakit, dengan individu yang sembuh dari penyakit tidak dapat terinfeksi kembali karena memiliki kekebalan. Model epidemi SIR pertama kali diperkenalkan oleh Kermack dan McKendrick [5] pada tahun 1927. Dargatz [2], pada tahun 2006 telah meneliti mengenai model SIR dengan menentukan model penyebaran penyakit influenza di Jerman. Pada tahun 2005 Tuckwell dan Williams [9] melakukan penelitian pada model SIR secara probabilistik. Salah satu penelitian yang telah membahas mengenai model epidemi secara probabilistik dengan menentukan probabilitas berhentinya epidemi dan probabilitas puncak epidemi dilakukan oleh Allen [1], pada tahun 2008. Pada penelitian ini dilakukan penurunan ulang bagaimana menentukan probabilitas puncak epidemi yang merujuk dari Allen [1], dengan terlebih dahulu menentukan probabilitas berakhirnya epidemi dengan menggunakan proses pencabangan. Selanjutnya menerapkan model tersebut dalam suatu kasus, dan mencari nilai puncak epidemi melalui simulasi serta memberikan interpretasi terhadap hasil simulasi. 4
2.2 Teori Penunjang Pada bab ini diberikan teori yang mendukung untuk mencapai tujuan penulisan. Teori yang diberikan meliputi proses stokastik, proses Markov, model Discrete Time Markov Chain (DTMC) SIR, dan proses pencabangan. 2.2.1 Proses Stokastik Perubahan banyaknya individu terinfeksi berkaitan erat dengan probabilitas suatu kejadian. Hal tersebut menunjukkan bahwa penyebaran penyakit merupakan suatu kejadian random yang bergantung pada variabel waktu dan berkaitan dengan probabilitas sehingga dapat disebut sebagai proses stokastik. Menurut Parzen [6], serta Taylor dan Karlin [7], proses stokastik merupakan kumpulan dari variabel random {I t (s)/t T, s S}, dengan T himpunan indeks yang dinyatakan sebagai himpunan waktu dan S ruang sampel. Jika T = {0, 1, 2, 3,..}, maka dikatakan proses stokastik dengan waktu diskrit, sedangkan jika T = [0, ), maka dikatakan proses stokastik dengan waktu kontinu. 2.2.2 Proses Markov Perubahan banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada saat t n hanya dipengaruhi oleh banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered pada saat t n 1. Proses kejadian tersebut menunjukkan bahwa penyebaran penyakit merupakan suatu kejadian khusus dari proses stokastik yaitu proses Markov. Menurut Parzen [6], suatu proses stokastik dikatakan sebagai proses Markov, jika diberikan suatu nilai I(t), maka nilai I(s) dengan s > t tidak bergantung pada nilai I(u) dengan (u < t). Jadi dapat disimpulkan bahwa probabilitas bersyarat dari I(t n ) dengan syarat I(t 1 ),..., I(t n 1 ), hanya bergantung pada nilai I(t n 1 ). Probabilitas bersyarat dapat dituliskan sebagai P [I(t n ) = i n I(t 1 ) = i 1,..., I(t n 1 ) = i n 1 ] = P [I(t n ) = i n I(t n 1 ) = i n 1 )] Suatu nilai i tertentu dikatakan sebagai nilai yang mungkin atau suatu state dari proses stokastik I(t), t T jika terdapat suatu t dalam himpunan waktu T 5
sehingga probabilitas P [i h < I(t) < i + h] bernilai positif untuk h > 0. Salah satu kejadian khusus dari proses Markov adalah rantai Markov, yaitu suatu proses Markov yang mempunyai ruang state diskrit. Himpunan yang mungkin dari suatu proses stokastik disebut ruang state. 2.2.3 Model Discrete Time Markov Chain (DTMC) SIR Model susceptible infected recovered (SIR) merupakan model yang menjelaskan penyebaran penyakit dari individu susceptible (S) menjadi infected (I ) kemudian akan sembuh recovered (R) dan tidak terinfeksi kembali karena memiliki kekebalan. Pada model ini populasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok individu yang rentan terinfeksi penyakit (susceptible (S)), kelompok individu yang terinfeksi penyakit (infected (I )), dan kelompok individu yang sembuh dari penyakit dan tidak dapat terinfeksi kembali (recovered (R)). Asumsi yang digunakan dalam model DTMC SIR adalah 1. penyakit menyebar pada populasi tertutup, artinya tidak terjadi emigrasi dan imigrasi dalam populasi serta jumlah individu dalam populasi konstan, 2. hanya satu penyakit yang menyebar dalam populasi, 3. laju kelahiran dan laju kematian diabaikan, 4. populasi bercampur homogen, artinya setiap individu memiliki kemungkinan yang sama untuk melakukan kontak dengan individu lain dalam populasi. Perubahan besarnya probabilitas individu S dan I pada saat t n hanya dipengaruhi oleh besarnya probabilitas individu S dan I pada saat t n 1. Kejadian tersebut menunjukkan bahwa penyebaran penyakit merupakan proses Markov. Penyebaran penyakit dengan karakteristik tersebut dapat digambarkan dengan menggunakan model DTMC SIR. 6
Pada model DTMC SIR variabel random yang dikaji adalah S(t) dan I(t), dalam selang waktu diskrit, t = 0, 1, 2,... Misalkan S(t) dan I(t) masing-masing merupakan banyaknya individu rentan terinfeksi dan banyaknya individu terinfeksi pada waktu t, diberikan probabilitas bersama p (s,i) (t) = P [S(t) = s, I(t) = i] dengan s,i = 0, 1, 2, 3,..., N dan t = 0, 1, 2, 3,... Banyaknya individu S dan I dapat berubah setiap waktu. Jika besarnya perubahan banyaknya individu S pada selang waktu t yaitu k dan besarnya perubahan banyaknya individu I pada selang waktu t yaitu j, maka perpindahan dari state s ke s + k dan dari state i ke i + j disebut transisi. Probabilitas perubahan banyaknya individu terinfeksi dari state s ke s + k dan dari state i ke i + j pada selang waktu t disebut probabilitas transisi yang dapat dituliskan sebagai p (s,i),(s+k,i+j) ( t) = P r{(s(t+ t), I(t+ t)) = (s+k, i+j) (S(t), I(t)) = (s, i)}. Transisi terjadi pada selang waktu yang sangat kecil dan diasumsikan hanya terdapat satu individu yang bertransisi dari state (s, i) ke state (s+k, i+j). Oleh karena itu, ada tiga kemungkinan transisi yang terjadi, yaitu dari state (s, i) ke state (s 1, i + 1), dari state (s, i) ke state (s, i 1), dan dari state (s, i) ke state (s, i). Pada saat terjadi transisi dari state (s, i) ke state (s 1, i+1) berarti terjadi perpindahan satu individu dari kelompok S ke I. Jika β adalah laju penularan dan terdapat sebanyak s individu susceptible yang melakukan kontak dengan individu infected, maka probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s 1, i + 1) adalah p (s,i),(s 1,i+1) ( t) = β is t. (2.1) N Pada saat terjadi transisi dari state (s, i) ke state (s, i 1) berarti banyaknya individu infected berkurang satu. Pengurangan satu individu terinfeksi tersebut terjadi karena terjadinya kesembuhan dengan laju kesembuhan sebesar γ. Jadi, 7
besarnya probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s, i 1) adalah p (s,i),(s,i 1) ( t) = γi t. (2.2) Pada saat terjadi transisi dari state (s, i) ke state (s, i) berarti tidak terjadi penambahan maupun pengurangan banyaknya individu susceptible maupun infected. Probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s, i) adalah p (s,i),(s,i) ( t) = 1 (β is ) N + γi t. (2.3) Perpindahan individu dari suatu state ke state lain pada selang waktu yang sangat kecil hanya dimungkinkan terdapat satu individu yang bertransisi. Kemungkinan banyaknya individu yang bertransisi lebih dari atau sama dangan dua sangatlah kecil. Sehingga besarnya probabilitas transisi banyaknya individu yang terinfeksi maupun yang sembuh lebih dari atau sama dengan dua dalam selang waktu t adalah nol. Sebagaimana yang telah dituliskan oleh Allen [1], model DTMC SIR yang diperoleh berdasarkan persamaan (2.1), (2.2), dan (2.3) dapat dituliskan dalam persamaan β is t, (k, j) = ( 1, 1) N γi t, (k, j) = (0, 1) p (s,i),(s+k,i+j) ( t) = ) 1 (β isn + γi t, (k, j) = (0, 0) 0, yang lain.. (2.4) 2.2.4 Proses Pencabangan Setiap individu pada saat t dapat menghasilkan sejumlah keturunan secara random pada saat t+1 dengan probabilitas sama untuk tiap individu. Pada awal pengamatan terdapat sekelompok individu, kelompok ini disebut generasi ke-0. Individu baru yang dihasilkan pada generasi ke t akan masuk pada generasi ke t + 1. Diasumsikan bahwa semua keturunan adalah saling independent satu sama lain. Proses I t adalah bentuk khusus Markov chain yang disebut dengan proses pencabangan, dimana I t adalah banyaknya individu pada waktu t. 8
Proses pencabangan dapat juga diterapkan pada penyebaran penyakit menular, dimana setiap individu terinfeksi pada waktu t dapat menginfeksi secara random individu lain pada waktu t + 1. Proses pencabangan terjadi apabila pada selang waktu t terjadi kontak antara individu terinfeksi (I) dengan individu yang rentan terinfeksi (S), sehingga mengakibatkan adanya individu baru yang terinfeksi. Sifat Markov pada proses pencabangan dapat dijelaskan sebagai berikut, pada waktu ke-t terdapat sejumlah individu terinfeksi I t, secara independent dapat menginfeksi individu lain I (n) 1 +... + I n (n), yang secara komulatif menjadi individu terinfeksi pada saat t + 1 sebagai berikut : I t+1 = I (n) 1 +... + I (n) n. Proses pencabangan suatu individu terinfeksi berbentuk seperti diagram pohon dan diasumsikan bahwa semua individu terinfeksi adalah saling independent satu sama lain dan masing- masing individu terinfeksi dapat menginfeksi individu lain dengan probabilitas yang sama yaitu {P (I = k)} = p k, k = 0, 1, 2,... (2.5) dengan I merupakan variabel random diskrit dari banyaknya individu terinfeksi. Menurut Trapman [8], Proses pencabangan dapat digunakan untuk mencari probabilitas berakhirnya epidemi. Pada proses pencabangan terdapat asumsi bahwa 0 p 0 + p 1 < 1 yang berarti bahwa individu terinfeksi dapat menularkan lebih dari satu individu. Sebagaimana yang ditulis oleh Allen [1], probabilitas berakhirnya epidemi dapat ditunjukkan berdasarkan teorema berikut, Teorema 2.2.1. Diberikan pgf f(x) memenuhi 0 f(0)+f (0) < 1 dan P {I 0 = i 0 } = 1, dengan i 0 > 0. 1. jika R 0 1 maka lim t P {I t = 0} = 1 2. jika R 0 > 1 maka lim t P {I t = 0} = q i 0, dimana q adalah titik tetap tunggal dalam interval [0, 1) sedemikian commit sehingga to user f(q) = q 9
2.3 Kerangka Pemikiran Berdasarkan landasan teori yang telah diuraikan dapat disusun kerangka pemikiran sebagai berikut. Penyebaran penyakit dapat digambarkan dengan model matematika. Model SIR merupakan model untuk menggambarkan penyebaran penyakit dalam suatu populasi dengan setiap individu yang telah sembuh memiliki kekebalan sehingga tidak dapat terinfeksi kembali. Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantung pada variabel waktu sehingga disebut sebagai proses stokastik. Perubahan banyaknya individu S, I dan R merupakan proses stokastik yang ditinjau dalam selang waktu diskrit, sehingga dapat dijelaskan dengan model Discrete Time Markov Chain (DTMC ) SIR. Pada model tersebut variabel random yang dikaji adalah variabel banyaknya individu yang rentan terinfeksi (S(t)) dan banyaknya individu yang terinfeksi (I(t)) dengan waktu diskrit, t = 0, 1, 2, 3,... Penurunan ulang model probabilitas puncak epidemi dilakukan dengan terlebih dahulu mencari probabilitas berakhirnya epidemi. Proses penyebaran penyakit dikatakan berakhir ketika banyaknya individu yang terinfeksi sama dengan nol. Probabilitas berakhirnya epidemi pada suatu populasi dapat ditentukan dengan menggunakan proses pencabangan. Proses I t adalah bentuk khusus Markov chain yang disebut dengan proses pencabangan, apabila pada saat t terdapat individu awal yang terinfeksi, dimana individu tersebut dapat menginfeksi individu lain secara random pada saat t + 1 dengan probabilitas sama untuk tiap individu, dimana I t adalah banyaknya individu terinfeksi pada waktu t. Selanjutnya, untuk mengetahui nilai puncak epidemi maka dilakukan penerapan dan simulasi terhadap model DTMC SIR. 10