Aplikasi Linear Program (LP) dalam Formulasi Ransum M.K. Teknik Formulasi Ransum dan Sistem Informasi Pakan Linear Programming Model hubungan linear antara fungsi tujuan (objective function) dan keterbatasan sumberdaya (resource constraints) serta Fungsi tujuan memaksimumkan keuntungan atau meimimumkan biaya Dapat menggunakan metode Simplek 1
Persamaan Matematis LP Memaksimumkan atau Meminimumkan: a. Fungsi Tujuan : b. Fungsi Kendala : a 11 x 11 Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +.+c n x n 11 + a 21 x 21 +. + a n1 n1 x n1 > b 1 12 + a 22 x 22 +. + a n2 x n2 > b 2 a 12 x 12 : : : : a 1m x 1m 1m + a 2m x 2m +. + a nm x nm > b m c. Asumsi x 1, x 2,., x n > 0 Persamaan Matematis LP Minimumkan (minimized) n Z j = Σ c j x j j=1 Faktor pembatas : n Σ a ij ij x ij j=1 ij > b 1 dan x 1, x 2,.., x n > 0 2
Persamaan Matematis LP Maksimumkan (maximized) n Z j = Σ c j x j j=1 Faktor pembatas : n Σ a ij ij x ij j=1 ij < b 1 dan x 1, x 2,.., x n > 0 Persyaratan LP a. LP harus memiliki fungsi tujuan (objective function) berupa garis lurus dengan persamaan fungsi Z atau f(z), c adalah cost coefficient b. Harus ada kendala (constraints), yang dinyatakan garis lurus, dimana a = koefisien input-output dan b = jumlah sumberdaya tersedia c. Nilai X adalah positif atau sama dengan nol. Tidak boleh ada nilai X yang negatif. 3
Linear Programming PRODUK KEBUTUHAN SUMBERDAYA SDM (jam/unit) Bahan Keuntungan (kg/unit) (Rp/unit) A 1 4 40.000 B 2 3 50.000 Tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg bahan yang tersedia setiap hari Variabel: x 1 = jumlah produk A yang diproduksi x 2 = jumlah produk B yang diproduksi Fungsi Tujuan (Objective Function) Pembatasan (Constraints) Maximize i Z = Rp 40.000 000 x 1 + Rp 50.000 000 x 2 Subject to x 1 + 2x 2 4x 1 + 3x 2 40 jam (pembatas TK) 120 kg (pembatas bahan) x 1, x 2 0 Solusinya x 1 = 24 unit produk A x 2 = 8 unit produk B Keuntungan = Rp 1.360.000,- 4
Metode Grafik 1. Plot model faktor pembatas dalam sebuah grafik 2. Identifikasi solusi yang feasibel dimana setiap pembatas dapat terpenuhi 3. Plot fungsi tujuan untuk titik untk mendapatkan fungi tujuan maksimum m atau minimum x 2 50.000 40.000 30.000 20.000 Grafik 4 x 1 + 3 x 2 120 kg Daerah yang feasible 10.000 x 1 + 2 x 2 40 jam 0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 x 1 5
Ploting Fungsi Tujuan x 2 40.000 30.000 20.000 10.000 000 Rp 800.000 = 40.000x 1 + 50.000x 2 B Optimal point 0 10.000 20.000 30.000 40.000 x 1 Perhitungan Nilai Optimal x 2 x + 2x = 40 1 2 40.000 30.000 20.000 A 10.000 0 4x 1 + 3x 2 = 120 B x 1 + 2x 2 = 40. C 10.000 20.000 30.000 40.000 x 1 Z = Rp 50.000 (24) + Rp 50.000 (8) Z = Rp 1.360.000,- 4x 1 + 3x 2 = 120 4x 1 + 8x 2 = 160-4x 1-3x 2 = -120 5x 2 = 40 x 2 = 8 x 1 +2(8) = 40 x 1 = 24 6
Titik Ekstrim x 2 40.000 30.000 x 1 = 0 unit A x 2 = 20 unit B Z = Rp 1.000.000 x 1 = 24 unit A x 2 = 8 unit B Z = Rp 1.360.000 20.000 10.000 0 A B C 10.000 20.000 30.000 40.000 x 1 x 1 = 30 unit A x 2 = 0 unit B Z = Rp 1.200.000 Aplikasi LP dengan QM 7
Aplikasi LP dengan QM - Solution Aplikasi LP dengan QM - Iterasi 8
Sensitivity Analysis How sensitive the results are to parameter changes Change in the value of coefficients Change in a right-hand-side value of a constraint Trial-and-error approach Analytic postoptimality method Kasus I: Memaksimumkan Produksi Ransum Ternak Sebuah industri pakan memproduksi 3 macam produk, yaitu Ransum A, Ransum B dan Ransum C. Waktu yang diperlukan memproduksi ketiga ransum berbeda-beda beda (Tabel 1), dengan tingkat keuntungan masing-masing i Rp 550.000, 000 Rp 600.000,- dan Rp 650.000,-/ton 9
Tabel 1. Waktu Prosesing dan Waktu yang Tersedia untuk Memproduksi Ransum Tahapan Prosesing Waktu / Ton (min) Ransum A Ransum B Rasum C Kapasitas Waktu Tersedia (min) Grinding 10 15 15 180 Mixing 8 7 8 140 Pelleting 20 15 20 240 Keuntungan 550 600 650 (Rp ribuan) Permasalahan Berapa ton produksi masing- masing Ransum A, B dan C yang harus diproduksi oleh Industri Pakan tsb? Berapa keuntungan maksimum yang diperoleh industri pakan? 10
Model Matematis Produksi Ransum Ternak Fungsi Tujuan : Maximize Z = 550 A + 600 B + 650 C Faktor Kendala : 10 A + 15 B + 15 C < 180 8 A + 7 B + 8 C < 140 20 A + 15 B + 20 C < 240 Asumsi: A, B dan C > 0 Solution using QM Produksi Ransum A Produksi Ransum B 11
Solusi Produksi Ransum Produksi Ransum A = 6 ton/hari Produksi Ransum B = 8 ton/hari Ransum C tidak diproduksi Total Produksi 14 ton/hari Keuntungan Total Perusahaan Rp 8.100.000/hari Kasus II: Meminimumkan Biaya Transportasi Sebuah industri pakan memiliki 2 buah PABRIK yang berlokasi di Pasuruan dan Malang, dengan produksi masing-masing 120 dan 140 ton/minggu. Produk ransum tersebut distribusi ke Sidoarjo, Surabaya dan Jakarta, masing-masing g kota tersebut kebutuhannya minimal 100, 60 dan 80 ton/minggu. Biaya pengiriman pada masing-masing lokasi diperlihatkan pada Tabel 2. 12
Tabel 2. Biaya per ton Pengiriman Barang ke Tempat Tujuan Pabrik Gudang Sidoarjo (X 1 ) Surabaya (X 2 ) Jakarta (X 3 ) Pasuruan 50 70 190 Malang 60 80 200 Sebuah industri i pakan memiliki 2 buah PABRIK yang berlokasi di Pasuruan dan Malang, dengan produksi masing-masing 120 dan 140 ton/minggu. Produk ransum tersebut distribusi ke Sidoarjo, Surabaya dan Jakarta, masing-masing kota tersebut kebutuhannya minimal 100, 60 dan 80 ton/minggu. Biaya pengiriman pada masing-masing lokasi diperlihatkan pada Tabel 2. Permasalahan Berapa ton/minggu produksi ransum di masing-masing Pabrik Pasuruan dan Malang? Kemana saja produksi ransum kedua pabrik tersebut dikirim dan berapa ton/minggu? Berapa biaya tranportasi yang minimum? 13
Model Matematis Biaya Transportasi Ransum Fungsi Tujuan : Minimize Z = 50 X 11 + 70 X 12 + 190 X 13 + 60 X 21 + 80 X 22 + 200 X 23 Faktor Kendala : X 11 + X 12 + X 13 < 120 (Produksi Pabrik Pasuruan) X 21 + X 22 + X 23 < 140 (Produksi Pabrik Malang) X 11 + X 21 > 100 (Jumlah Ransum dikirim ke Sidoarjo) X 12 + X 22 > 60 (Jumlah Ransum dikirim ke Surabaya) X 13 + X 23 > 80 (Jumlah Ransum dikirim ke Jakarta) Asumsi: X 11 11, X 12, X 13, X 21, X 22, X 23 > 0 Aplikasi QM 14
Solution using QM Solusi Produksi Pabrik Pasuruan 120 ton/mg dikirim ke Surabaya 50 ton/mg dikirim ke Jakarta 70 ton/mg Produksi Pabrik Malang 110 ton/mg dikirim ke Sidoarjo 100 ton/mg dikirim ke Surabaya 10 ton/mg Biaya transportasi total Rp 23.600.000,-/minggu 15
Linear Programming - Minimization Unit Nutrient/Unit Feed Nutrient Ingred X1 Ingred X2 Requiremt Calcium 1 1 10 Protein 3 1 15 Calories 1 6 15 Cost per Unit of Feed Rp 1.000,- Rp 2.000,- Minimization Model Minimize cost = 1.000 X 1 + 2.000 X 2 Subject to: 1X 1 + 1X 2 >=10 (Calcium) 3X 1 +1X 2 >=15 (Protein) 1X 1 +6X 2 >=15 (Calories) And X 1 >=0, X 2 >=0 16
15 10 X 2 (0,15) 3X 1 + 1X 2 = 15 (Protein) Feasible Region (2.5,7.5) 1X 1 + 1X 2 = 10 (Calsium) 5 1X 1 +6X 2 =15 (9,1) (Calories) (15,0) 5 10 15 X 1 15 X 2 (0,15) Feasible 10 Region (2.5,7.5) Cost =1.000 X 1 + 2.000 X 2 5 = Rp 1.000 (9) + Rp 2.000 (1) = Rp 11.000,- SOLUTION (9,1) (15,0) 5 10 15 X 1 17
Formulasi Ransum Susunlah ransum ayam broiler dari bahan makanan berikut: Jagung, Dedak Halus, CGM, Tepung Ikan, CPO, CaCO3, DCP Kandungan Nutrien: EM 3100 kkal/kg, CP 21%, Ca 0.9%, P 0,45% Persamaan Matematik: Minimize cost = 1500 JG + 1000 DH + 5100 CGM + 6000 TI + 4750 CPO + 200 CC + 2500 DCP Subject to: 8 JG + 11.32 DH + 64 CGM + 55 TI > 21 (Protein) 3300 JG + 3100 DH + 3500 CGM + 2853 TI + 7500 CPO > 3100 (EM) 0.02 JG + 0.07 DH + 0.05 CGM + 7.19 TI + 40 CC + 22.7 DCP > 0.9 (Ca) 0.28 JG + 1.50 DH + 0.50 CGM + 2.88 TI + 17.68 DCP > 0.45 (P) JG+DH+CGM+TI+CPO+CC+DCP=1 + + + CPO + CC + DCP and JG, DH, CGM, TI, CPO, CC, DCP > 0 18
Formulasi Ransum dengan QM Formulasi Ransum dengan QM 19
Changes in Resources The right-hand hand-side values of constraint equations may change as resource availability changes The shadow price of a constraint is the change in the value of the objective function resulting from a one-unit change in the right-hand- side value of the constraint Changes in Resources Shadow prices are often explained as answering the question How much would you pay for one additional unit of a resource? Shadow prices are only valid over a particular range of changes in right-hand-side values Sensitivity reports provide the upper and lower limits of this range 20
Changes in the Objective Function A change in the coefficients i in the objective function may cause a different corner point to become the optimal solution The sensitivity report shows how much objective function coefficients may change without changing the optimal solution point QM for Window 21
QM for Windows QM for Windows is a package for quantitative methods, management science, or operations research The Program Group The installation program will add a program group with seven options to the Start Menu.. 22
Starting the Program Main Screen 23
Main Screen Creating a New Problem 24
Creating a New Problem Entering and Editing Data 25
The Solution Screen Result 26
Ranging Solution List 27
Iteration Graph 28
Terima Kasih 29