Aljr Lier Elemeter MA SKS Silus : B I Mtriks d Opersiy B II Determi Mtriks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige 9/9/4 : MA- Aljr Lier
Sistem Persm Lier (SPL) Su Pokok Bhs Pedhulu Solusi SPL deg OBE Solusi SPL deg Ivers mtriks d Atur Crmmer SPL Homoge Beerp Apliksi Sistem Persm Lier Rgki listrik Jrig Komputer Model Ekoomi d li-li. 9/9/4 : MA- Aljr Lier
. Pedhulu Persm lier dlh persm dim peuhy tidk memut ekspoesil, trigoometri (seperti si, cos, dll.), perkli, pemgi deg peuh li tu diriy sediri. Cotoh : Jik perush A memeli Lptop () d PC (y) mk i hrus memyr $ 5, sedgk jik memeli Lptop d PC mk i hrus memyr $. Represetsi dri mslh terseut dlm etuk SPL + y = 5 + y = 9/9/4 : MA- Aljr Lier
9/9/4 : MA- Aljr Lier 4 Betuk umum sistem persm lier Dpt ditulis dlm etuk : m m m...... m m m m... m
Atu dim AX = B A dimk mtriks koefisie X dimk mtriks peuh B dimk mtriks kostt Cotoh : Perhtik hw SPL + y = 5 + y = dpt ditulis dlm etuk perkli mtriks y 5 9/9/4 : MA- Aljr Lier 5
Solusi SPL Himpu ilg Rel dim jik disustitusik pd peuh sutu SPL k memeuhi ili keer SPL terseut. Perhtik SPL : + y = 5 + y = Mk { =, y = } merupk solusi SPL terseut { =, y = } merupk uk solusi SPL itu Sutu SPL, terkit deg solusi, mempuyi tig kemugki : SPL mempuyi solusi tuggl SPL mempuyi solusi tk higg yk SPL tidk mempuyi solusi 9/9/4 : MA- Aljr Lier 6
Ilustrsi Solusi SPL deg gris pd krtesius y y = - y = (, ) merupk titik potog du gris terseut (, ) Tidk titik potog yg li seli titik terseut Artiy : SPL y = y = Mempuyi solusi tuggl, yitu =, y = 9/9/4 : MA- Aljr Lier 7
Perhtik SPL y = y = Jik digmr dlm krtesius y y = y = Terliht hw du gris terseut dlh sejjr Tk k perh diperoleh titik potog kedu gris itu Artiy SPL dits TIDAK mempuyi solusi 9/9/4 : MA- Aljr Lier 8
Perhtik SPL y = y = Jik kedu rus pd persm kedu diklik ½ Diperoleh persm yg sm deg pers. pertm Jik digmr dlm krtesius y y = y = Terliht hw du gris terseut dlh erimpit Titik potog kedu gris yk sekli disepjg gris terseut Artiy SPL dits mempuyi solusi tk higg yk 9/9/4 : MA- Aljr Lier 9
9/9/4 : MA- Aljr Lier Solusi Sistem Persm Lier deg OBE Tulis SPL dlm etuk mtriks yg diperesr Lkuk OBE smpi mejdi esilo ris tereduksi Cotoh : Tetuk solusi dri SPL y = 5 + y = 5 Jw : Mrtiks yg diperesr dri SPL ~ 5 5 ~ 5 5 ~ 5 ~ 5
Tulis kemli mtriks yg diperesr hsil OBE mejdi perkli mtriks y Solusi SPL terseut dlh = d y = Cotoh : Tetuk solusi (jik d) dri SPL erikut :. + c = 4 = + c = 7 9/9/4 : MA- Aljr Lier
9/9/4 : MA- Aljr Lier. + c = 4 = + = c. + c = 4 = + = Jw :. Terliht hw solusi SPL dlh =, =, d c = 7 4
9/9/4 : MA- Aljr Lier. Jik dikemlik kedlm etuk perkli mtriks diperoleh : Ii memerik + c = d + c =5. Deg memilih c = t, dim t dlh prmeter. Mk solusi SPL terseut dlh :, dim t dlh prmeter 4 5 5 c 5 t c
9/9/4 : MA- Aljr Lier 4 c. Terliht hw d ris ol pd mtriks koefisie tetpi mtriks kostt pd ris ke- sm deg (tk ol) Dri ris ke- diperoleh huug hw. +. =. Tk d ili d yg memeuhi kesm ii. Jdi, SPL terseut tidk memiliki solusi. 4 5 5 c
Cotoh : Dikethui SPL : + y z = 4 y + 5z = 4 + y + ( 4) z = + Tetuk sehigg SPL :. Mempuyi solusi tuggl. Tidk mempuyi solusi c. Solusi yg tidk terhigg 9/9/4 : MA- Aljr Lier 5
9/9/4 : MA- Aljr Lier 6 Jw: Mtrik diperesr dri SPL dlh. Agr SPL mempuyi solusi tuggl: 6 sehigg 4 ~ -4 4 5 4-4 - 7 4 7 4-4 -6 4 7 4 - ~
7-4 -6 4 4. Perhtik ris ketig + y + ( 6) z = 4 SPL tidk mempuyi solusi st 6 = d 4 Sehigg = 4 d 4. Jdi, = 4. c. SPL mempuyi solusi tk higg yk 6 = d 4 = Jdi, = 4 9/9/4 : MA- Aljr Lier 7
9/9/4 : MA- Aljr Lier 8 Solusi SPL deg Mtriks Ivers Atu AX = B Klik setip rus di ts deg A A A X = A B diperoleh : X = A B Igt hw sutu mtriks A mempuyi ivers jik d hy jik Det (A).
Cotoh : Tetuk solusi dri SPL erikut : + c = 4 = + c = 7 Jw : Perhtik hw A - Jdi A mempuyi Ivers A - - - - 9/9/4 : MA- Aljr Lier 9
9/9/4 : MA- Aljr Lier sehigg X = A B eretuk : Jdi, Solusi SPL terseut dlh c 7-4 - - - - c
9/9/4 : MA- Aljr Lier Solusi SPL deg tur Crmer Mislk SPL ditulis dlm etuk AX = B, yitu : Jik determi A tidk sm deg ol mk solusi dpt ditetuk stu perstu (peuh ke-i, i ) Lgkh-lgkh tur crmer dlh : Hitug determi A Tetuk A i mtriks A dim kolom ke-i digti oleh B. Cotoh : A
Hitug A i Solusi SPL utuk peuh i dlh det( Ai ) i det( A) Cotoh : Tetuk solusi dri SPL erikut : + c = 4 = + c = 7 Jw : Perhtik hw A - 9/9/4 : MA- Aljr Lier
Mk det ( A) det ( A ) 4-7 - (-4) 7-7 ( -- ) (-4) (- ) ( 7 - ) - (-4) 7 Jdi, Solusi peuh yg memeuhi SPL dlh = 9/9/4 : MA- Aljr Lier
Tetuk solusi SPL utuk peuh? det det 4-7 - A A - 4 4 ( -- ) ( - 4 5 - - 7 - - (-7) ) 9/9/4 : MA- Aljr Lier 4
9/9/4 : MA- Aljr Lier 5 Sistem Persm Lier Homoge Betuk umum SPL homoge merupk SPL yg kosiste, sellu mempuyi solusi. Solusi SPL homoge diktk tuggl jik solusi itu dlh Jik tidk demiki, SPL homoge mempuyi solusi tk higg yk. (isy ditulis dlm etuk prmeter) m m m
Cotoh : Tetuk solusi SPL homoge erikut p + q r s = p q + r s = p + q 4r + s = p s = SPL dpt ditulis dlm etuk - - - - 4 - - - 9/9/4 : MA- Aljr Lier 6
deg melkuk OBE diperoleh : - - Mk solusi SPL homoge dlh : p =, q =, s =, d r =, dim, merupk prmeter. 9/9/4 : MA- Aljr Lier 7
9/9/4 : MA- Aljr Lier 8 Cotoh : Dikethui SPL. Tetuk gr SPL memiliki solusi tk higg yk. Tulisk solusi SPL terseut Jw : Solusi sutu SPL homoge dlh tk tuggl jik det(a) =. - - - z y
9/9/4 : MA- Aljr Lier 9 ( ) (( )( )) = ( ) ( + ) = ( ) ( ) = = tu = Solusi SPL tk higg yk st = tu =
9/9/4 : MA- Aljr Lier St = z y Deg OBE mk ~ q q p z y q p - = Mislk p,q dlh prmeter Riil, mk
9/9/4 : MA- Aljr Lier St = Deg OBE mk Mislk q dlh prmeter Riil, mk z y ~ ~ ~ ~ q q q z y
Cotoh 9 : Perhtik ilustrsi segitig erikut : c Tujuk hw : = + c c cos 9/9/4 : MA- Aljr Lier
9/9/4 : MA- Aljr Lier Jw : Dri gmr terseut dikethui hw : c cos + cos = c cos + cos = cos + cos = c tu c c c cos cos cos
9/9/4 : MA- Aljr Lier 4 det c c c c c c c c Perhtik hw : Deg tur Crmmer diperoleh hw : c c c cos c c c
cos c c c c Jdi, terukt hw : = + c c cos 9/9/4 : MA- Aljr Lier 5
9/9/4 : MA- Aljr Lier 6 Ltih B. Tetuk solusi SPL erikut :. Tetuk solusi SPL : p q r + s = 4 p q + s = p +q 4s =. Tetuk solusi SPL homoge erikut : 4 9 6 8 8 8 7 7 7 7 4 5 t s r q p t s r t s r q p t r q p
9/9/4 : MA- Aljr Lier 7 4. Dikethui SPL AX = B Tetuk solusi SPL di ts deg megguk : opersi ris elemeter (OBE ) Ivers mtrik Atur Crmer 5. Dikethui Tetuk yg memeuhi., - A X d B 4 5 4 X X 4 X
9/9/4 : MA- Aljr Lier 8 6. SPL homoge (deg peuh p, q, d r) Tetuk ili k sehigg SPL puy solusi tuggl 7. Mislk Tetuk vektor tk ol sehigg r q k p k r q r q p 5 B y u u u B 6