K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn hiperol ng erpust di (0, 0). 3. Dpt menentukn persmn hiperol ng erpust di (h, k). 4. Memhmi gris simtot, eksentrisits, dn lctus rectum pd persmn hiperol. A. Definisi Hiperol Hiperol merupkn slh stu jenis irisn kerucut. Hiperol terjdi jik kerucut diiris sejjr dengn sumu simetri. Secr umum, hiperol didefinisikn segi himpunn titik-titik pd idng dtr ng selisih jrkn terhdp du titik tertentu sellu sm. Du titik terseut diseut segi titik pi tu titik fokus. Perhtikn gmr erikut! Y lctus rectum fokus (c 1, 0) A 1 ( 1, 0) A (, 0) simtot pust punck F (c, 0)
Gmr terseut merupkn hiperol ng mempuni unsur-unsur erikut. 1. Titik (0, 0) diseut pust hiperol.. (c 1, 0) dn F (c, 0) diseut titik fokus hiperol ng jrkn c. 3. diseut sumu mor ng sellu memotong hiperol. 4. Y diseut sumu minor ng tidk memotong hiperol. 5. A 1 ( 1, 0) dn A (, 0) diseut punck hiperol ng merupkn titik potong hiperol dengn sumu mor. 6. Asimtot dlh gris rh ng tidk dipotong oleh hiperol. 7. Lctus rectum dlh gris vertikl ng mellui slh stu fokus, tegk lurus sumu mor, dn memotong hiperol di du titik. Contoh Sol 1 Buktikn hw esr selisih jrk titik-titik pd hiperol terhdp du titik fokus sellu ernili! Pemhsn: Perhtikn gmr hiperol erikut! Y P (, ) ( c, 0) A 1 (, 0) A (, 0) F (c, 0) Misl P(, ) merupkn semrng titik pd hiperol. Agr esr selisih jrk titik P(, ) terhdp du titik fokus sellu ernili, hruslh: PF1 PF =
Berdsrkn gmr, dikethui: PF = + c + 1 PF = c + Dengn demikin, diperoleh: PF PF = + c + c + 1 Mislkn P(, ) = A (,0) PF PF ( c) ( c) 1 = + +0 +0 PF1 PF = + c c leh kren c >, mk c = c, sehingg: PF1 PF = + c ( c ) PF PF = (terukti) 1 Jdi, terukti hw esr selisih jrk titik-titik pd hiperol terhdp du titik fokus sellu ernili. B. Persmn Hiperol ng Berpust di (0, 0) Perhtikn cr menurunkn persmn hiperol horizontl ng erpust di (0, 0) mellui gmr erikut. Y P (, ) ( c, 0) A 1 (, 0) A (, 0) F (c, 0) leh kren telh terukti hw esr selisih jrk titik-titik pd hiperol terhdp du titik fokus sellu ernili, mk: 3
PF1 PF = + c + c + = + c + = + c + Kudrtkn msing-msing rus, sehingg diperoleh: + c + =4 +4 c + + c + + c + c + =4 +4 c + + c + c + 4 c = 4 +4 c + c = + c + c = c + Kudrtkn msing-msing rus, sehingg diperoleh: c c + = c + c +.4 c c + = c + c +.4 c = c 4 Jik semu suku digi c 4, mk diperoleh: c 4 c c c c 4 c ( c ) c = c 4 4 Untuk menederhnknn, mislkn c =, sehingg: Jdi, persmn hiperol horizontl ng erpust di (0, 0) dlh segi erikut. 4
Contoh Sol Perhtikn gmr erikut! Y ( 5, 0) A 1 ( 3, 0) A (3, 0) F (5, 0) Persmn hiperol pd gmr terseut dlh... Pemhsn: Gmr terseut merupkn hiperol horizontl dengn nili = 3 dn c = 5. leh kren nili = 3 dn c = 5, mk: c = + = c = 5 3 =4 Dengn demikin, persmn hiperoln dlh segi erikut. 3 4 9 16 Jdi, persmn hiperol pd gmr terseut dlh 9 16. Contoh Sol 3 Koordint titik fokus persmn hiperol 144 5 dlh... 5
Pemhsn: Dri persmn hiperol 144 5, dikethui nili: = 144 = 1 = 5 = 5 leh kren nili = 1 dn = 5, mk: c = + c = 1 +5 c 3 Koordint titik fokus hiperol horizontl ng erpust di (0, 0) dirumuskn dengn (±c, 0). Dengn demikin, koordint titik fokus hiperol terseut dlh (13, 0) dn ( 13, 0). Jdi, koordint titik fokus pd persmn hiperol 144 5 dlh (13, 0) dn ( 13, 0). Setelh memhmi persmn hiperol horizontl ng erpust di (0, 0), kmu kn eljr tentng persmn hiperol vertikl ng erpust di (0, 0). Dengn cr ng sm dengn seelumn, persmn hiperol vertikl dengn pust (0, 0) dpt dirumuskn segi erikut. Contoh Sol 4 Perhtikn gmr erikut! Y (0, 10) A 1 (0, 6) A (0, 6) Persmn hiperol pd gmr terseut dlh... 6
Pemhsn: Gmr terseut merupkn hiperol vertikl dengn nili = 6 dn c = 10. leh kren nili = 6 dn c = 10, mk: = c = 10 6 =8 Dengn demikin, persmn hiperoln dlh segi erikut. 6 8 36 64 Jdi, persmn hiperol pd gmr terseut dlh 36 64. Contoh Sol 5 Persmn hiperol ng memiliki punck (0, ±4) dn fokus (0, ±8) dlh... Pemhsn: Hiperol ng memiliki punck (0, ±) = (0, ±4) dn fokus (0, ±c) = (0, ±8) merupkn hiperol vertikl dengn nili = 4 dn c = 8. leh kren nili = 4 dn c = 8, mk: = c =8 4 =48 = 48 Dengn demikin, persmn hiperoln dlh segi erikut. 4 ( 48 ) 7
16 48 3 = 48 Jdi, persmn hiperol ng memiliki punck (0, ±4) dn fokus (0, ±8) dlh 3 = 48. Contoh Sol 6 Persmn umum hiperol ng erpust di (0, 0) dengn punck ( 0, )dn mellui titik (1, 4) dlh... Pemhsn: Hiperol ng erpust di (0, 0) dengn punck ( 0, )merupkn hiperol vertikl dengn nili =. Persmn hiperol vertikl dengn pust (0, 0) dn = dlh segi erikut. ( ) 8 leh kren hiperol mellui titik (, ) = (1, 4), mk: 4 8 1 1 1 Dengn demikin, persmn hiperol ng dimksud dlh segi erikut. 8 1 8 = 8 dn Jdi, persmn umum hiperol ng erpust di (0, 0) dengn punck 0, mellui titik (1, 4) dlh 8 = 8. 8
C. Gris Asimtot Hiperol Perhtikn gmr erikut! Y ( c, 0) A 1 (, 0) A (, 0) F (c, 0) simtot Gmr terseut merupkn hiperol horizontl dengn persmn: = 1 = = ± = ± 1 ± = 1 Jik menuju tk hingg ( ) mk kn menuju nol 0. Ini errti, untuk nili ng esr, nili kn mendekti gris = ±. Gris = ± dinmkn gris simtot hiperol, itu gris rh ng tidk dipotong oleh hiperol. Gris simtot hiperol sellu melewti titik (±, ±) sehingg dpt digmrkn segi erikut. 9
Y (, ) (, ) ( c, 0) A A (, 0) 1 (, 0) F (c, 0) simtot (, ) (, ) Jdi, gris simtot untuk persmn hiperol dlh segi erikut. = ± Sementr itu, untuk persmn hiperol erikut., gris simtotn dlh segi = ± Contoh Sol 7 Tentukn punck, fokus, dn gris simtot dri persmn hiperol erikut. 9 6 10
Pemhsn: Dri persmn 9 6, dikethui hw hiperoln horizontl dengn nili: = 9 = 3 = 6 = 6 leh kren nili = 3 dn = c = + c =9+6 c 5 c = 15 Dengn demikin, diperoleh: Punck: (±, 0) = (±3, 0) Fokus: (±c, 0) = ± 15,0 6, mk: Gris simtot: = = 6 ± ± 3. D. Eksentrisits Hiperol Eksentrisits dlh nili ng menunjukkn esr devisi sutu irisn kerucut terhdp lingkrn. Sm hln dengn elips, nili eksentrisits pd hiperol jug dirumuskn segi erikut. e= c Contoh Sol 8 Nili eksentrisits hiperol dengn persmn 15 8 = 10 dlh... Pemhsn: Mul-mul, uh dhulu persmn hiperol 15 8 = 10 ke dlm entuk rumus umumn. 15 8 0 15 8 10 10 8 15 11
Dri entuk terseut dikethui nili: = 8 = = 15 = 15 leh kren nili = dn = 15, mk: c = + c = 8+15 c = 3 Dengn demikin, nili eksentrisitsn dlh segi erikut. c e = e = 3 1,7 Jdi, nili eksentrisits hiperol dengn persmn 15 8 = 10 dlh 1,7. E. Lctus Rectum Hiperol Lctus rectum ersl dri hs Yunni, lctus errti sisi dn rectum errti lurus. Berdsrkn hl terseut, lctus rectum dpt didefinisikn segi sisi lurus dri irisn kerucut. Pnjng dri lctus rectum dpt ditentukn mellui seuh rumus. Untuk mengethui rumus pnjng lctus rectum, perhtikn gmr erikut! Y lctus rectum (c 1, 0) A 1 ( 1, 0) A (, 0) F (c, 0) fokus simtot pust punck Gmr terseut merupkn hiperol horizontl dengn persmn: 1
Jik kit sutitusikn nili = c, mk diperoleh: c c = 1 c = 1 = ± c = 4 ( sustitusikn ( c ) = ) leh kren kit sedng mencri pnjng lctus rectum ng nilin tidk mungkin negtif, mk: = Jdi, rumus pnjng lctus rectum hiperol dlh segi erikut. Ltus rectum = Contoh Sol 9 Tentukn pnjng lctus rectum dri hiperol erikut! 36 4 Pemhsn: Dri persmn hiperol 36 4, dikethui nili: = 36 = 6 = 4 = 13
Dengn demikin, pnjng lctus rectum-n dpt ditentukn segi erikut. Lctus rectum = =.4 6 = 8 6 4 Jdi, pnjng lctus rectum dri hiperol terseut dlh 4 3. F. Persmn Hiperol ng Berpust di (h, k) Persmn hiperol ng erpust di (h, k) dengn h 0 dn k 0, ik vertikl mupun horizontl didpt dri konsep pergesern grfik. Untuk hiperol horizontl ng erpust di (h, k), persmn dlh segi erikut. ( h) ( k) dengn: 1. Sumu mor = k. Titik punck P(h ±, k) 3. Titik fokus F(h ± c, k) 4. Persmn simtot k = ± h 5. Lctus rectum Ltus rectum = Sementr itu, untuk hiperol vertikl ng erpust di (h, k), persmnn dlh segi erikut. ( k) ( h) 14
dengn: 1. Sumu mor = h. Titik punck P(h, k ± ) 3. Titik fokus F(h, k ± c) 4. Persmn simtot k = ± h 5. Lctus rectum Ltus rectum = Contoh Sol 10 Slh stu persmn simtot hiperol erikut ini dlh... 4 + 16 + 16 9 = 0 A. + + 4 = 0 B. + 7 = 0 C. + 1 = 0 D. + 1 = 0 E. + 7 = 0 Pemhsn: Mul-mul, uh dhulu persmn hiperol 4 + 16 + 16 9 = 0 ke dlm entuk rumus umumn. 4 +16 +6 9=0 4 +16 +6 9=0 4 +4 6 =9 ( ) 4 + 4 3 9 =9 4 + 16 3 +9=9 4 + 3 ( +) ( 3) 4 16 6 Dri entuk terseut, dikethui nili h =, k = 3, =, dn = 4. 15
Dengn demikin, persmn simtotn dpt ditentukn segi erikut. k = ± h 3= ± + 3= ± + Persmn simtot pertm: 3 = + 4 tu + 7 = 0 Persmn simtot kedu: 3 = 4 tu + + 1 = 0 Jdi, slh stu persmn simtot hiperol terseut dlh + 7 = 0. Contoh Sol 11 Gmrlh hiperol 16 96 9 18 9 = 0 dengn lengkp! Pemhsn: Mul-mul, uh dhulu persmn hiperol 16 96 9 18 9 = 0 ke dlm entuk rumus umum erikut. 16 96 9 18 9=0 16 6 9 + =9 ( ) (( 1) 1 ) =9 16 3 9 9 + 16 3 144 9 +1 +9=9 16 3 9 +1 = 144 ( 3) ( +1) 9 16 Dri entuk terseut, dikethui nili (h, k) = ( 1, 3), = 3, dn = 4. leh kren nili = 3 dn = 4 mk: c = + c = 3 +4 c =5 16
leh kren hiperoln dlh hiperol vertikl mk: Sumu simetri = 1 Fokus F( 1, 3 ± 5) tu ( 1, 8) dn F ( 1, ) Punck P( 1, 3 ± 3) tu P 1 ( 1, 6) dn P ( 1, 0) Persmn simtot k = ± h 3 = ± 3 +1 4 4 1= ± 3 +1 Gris simtot pertm: 3 + 3 = 4 1 tu 3 4 + 15 = 0 Gris simtot kedu: 3 3 = 4 1 tu 3 + 4 9 = 0 Dengn demikin, gmr lengkp hiperol terseut dlh segi erikut. 8 7 Y 6 3 + 4 9 = 0 5 4 3 4 + 15 = 0 3 8 7 6 5 4 3 1 1 3 1 1 4 5 6 F 3 17