BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 2.1 Konsep Program Linear Program linear merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linear digunakan untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematik yang digunakan dalam bentuk linear dalam arti hubungan langsung dan persis proporsional. Program menyatakan penggunaan teknik matematik tertentu. Jadi pengertian program linear adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analistis yang analisanya menggunakan model matematis, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap persoalan (Aminudin,2005). 2.1.1 Bentuk umum program linear 1. Bentuk umum program linear untuk kasus memaksimalkan fungsi sasaran : Maksimum Z = n j=1 c jx j Dengan batasan : j=1 x j b i, untuk i =1, 2,...,m. x j 0, untuk j =1, 2,...,n Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut : Optimumkan Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +...+ c n x n Dengan batasan : a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n b i a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n b 2............ a m1 x 1 + a m2 x 2 +...+ a mn x n b 3 x 1,x 2,...,x n 0 2. Bentuk umum program linear untuk kasus meminimumkan fungsi sasaran : Minimumkan Z = n j=1 c jx j Dengan batasan : 5
6 j=1 x j b i, untuk i =1, 2,...,m. x j 0, untuk j =1, 2,...,n Atau dapat juga ditulis lengkap sebagai berikut : Optimumkan Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +...+ c n x n Dengan batasan : a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n b i a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n b 2............ a m1 x 1 + a m2 x 2 +...+ a mn x n b 3 x 1,x 2,...,x n 0 Keterangan Z : Fungsi Tujuan yang dicari nilai optimalnya (maksimal, minimal). c j : Kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan x j dengan satu satuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap Z. n : Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia. m : Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia. x j : Tingkat kegiatan ke-j. a ij : Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan j. b i : Kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan. Terminologi umum untuk model program linear diatas dapat dirangkum sebagai berikut : 1. Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) disebut sebagai fungsi tujuan (objective function). 2. Fungsi-fungsi batasan dapat dikelompokan menjadi dua macam, yaitu : (a) Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m.
7 (b) Fungsi batasan non negatif (non-negative contrains) yaitu variabel x j 0. 3. Variabel-variabel xj disebut sebagai variabel keputusan (decision variable). 4. Parameter model yaitu masukan konstan a ij,b i,c j. 2.1.2 Asumsi program linear Agar penggunaan program linear diatas memuaskan tanpa terbentur pada berbagai hal, maka diperlukan asumsi-asumsi dasar program linear (Aminudin,2005) sebagai berikut: 1. Proportionality, asumsi ini berarti naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan. 2. Additivity, berarti nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam program linear dianggap bahwa kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain. 3. Divisibility, berarti keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan. 4. Deterministic (Certainty), berarti bahwa semua parameter (a ij,b i,c j ) yang terdapat pada program linear dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun dalam kenyataanya tidak sama persis. 2.2 Data Envelopment Analysis Pendekatan DEA pertama kali dikembangkan secara teoritik oleh Charnes, Cooper dan Rhodes pada tahun 1978. DEA pada dasarnya merupakan teknik berbasis pemrograman linear yang digunakan untuk mengukur kinerja relatif dari unit-unit organisasi dimana keberadaan beberapa (multiple) input dan output sulit untuk dibuat perbandingan. DEA mengidentifikasi secara relatif unit yang
8 menggunakan input dalam memberikan output tertentu dengan cara yang paling optimal dan DEA menggunakan informasi ini untuk membentuk perbatasan (frontier) efisiensi dari data unit-unit organisasi yang tersedia. DEA menggunakan perbatasan efisien ini untuk menghitung efisiensi dari unit-unit organisasi lainnya yang tidak berada pada garis perbatasan yang efisien sehingga dapat memberikan informasi tentang unit-unit yang tidak menggunakan input secara efisien. Data Envelopment menghitung efisiensi relatif pada sebuah organisasi yang berada dalam kelompok terhadap kinerja organisasi terbaik pada kelompok yang sama. DEA biasanya digunakan untuk mengukur efisisensi pelayananan yang diberikan oleh pemerintah, organisasi non profit maupun BUMN. Unit individual yang dianalisa ini didalam DEA disimbolkan sebagai DMU (Decision Making Unit) atau Unit Pengambilan Keputusan. Analisis data envelopment (DEA) sebagaimana dikembangkan oleh Charnes et al., (1991) merupakan suatu metode dasar pada sebuah program linear untuk mengevaluasi efisiensi relatif dari beberapa DMU dengan input dan output. Salah satu masalah penting dalam DEA yang telah diteliti oleh banyak kalangan mengenai DEA adalah analisis sensitivitas dari DMU 0 tertentu di bawah unit yang di evaluasi. Ketertarikan untuk menganalisis sensitivitas DMU frontier berdasarkan Charne et al., (1991), yang terdiri dari himpunan E (sangat efisien), himpunan E (efisien tapi tidak sangat efisien), dan himpunan F (sangat kurang efisien). Salah satu tipe analisis sensitifitas DMU adalah berdasarkan pendekatan DEA super efisiensi dimana uji DMU tidak disertakan dalam himpunan referensi (Anderson dan Peterson, Seiford dan Zhu). Charnes et al., mengembangkan teknik analisis sensitifitas super efisiensi DEA untuk situasi dimana perubahan proporsional di asumsikan terhadap suatu input dan output untuk uji DMU. Seiford dan Zhu menciptakan teknik pada Charnes et al., untuk skenario kasus terburuk dimana efisiensi uji DMU menurun sementara efisiensi pada DMU yang lain meningkat. Dalam metodenya, pertubasi data simultan pada input atau output untuk DMU j (j 0) dan DMU 0 diasumsikan dengan persyaratan penting dan memadai untuk mempertahankan klasifikasi efisiensi DMU, dikembangkan secara khusus.
9 2.2.1 Orientasi model Dalam analisis pendekatan DEA terdapat dua pengklasifikasian dasar model berdasarkan orientasinya yaitu DEA dengan orientasi input dan DEA dengan orientasi Output. Orientasi ini tergantung pada keterbatasan kontrol oleh manajemen/pengguna model DEA baik terhadap input atau output yang dimiliki oleh unit tersebut. Model DEA yang berorientasi pada output, digunakan pada unit yang telah memiliki input yang memadai sehingga manajemen unit tersebut hanya berfokus pada output dan pengembangannya melalui stratergi pemasaran atau menaikkan reputasi kualitas pelayanannya di mata pelanggan. Jika sebuah organisasi secara teknis tidak efisien dari suatu perspektif yang berorientasi input, maka dia juga akan secara teknis tidak efisien dari suatu perspektif yang berorientasi output. Dalam pendekatan DEA dikenal dua model pendekatan berdasar hubungan antara variabel input dengan outputnya yaitu model CRS (Constant Returns To Scale) yang dikemukakan oleh Charnes, Cooper dan Rhodes (1978l) serta model VRS (Variable Returns To Scale) yang dikembangkan oleh Banker (1984) dari model pendahulunya. Model dengan kondisi CRS mengindikasikan bahwa penambahan terhadap faktor produksi (input), tidak akan memberikan dampak pada tambahan produksi (ouput). Sedangkan model dengan kondisi VRS akan memperlihatkan bahwa penambahan sejumlah faktor produksi (input) akan memberikan peningkatan ataupun penurunan kapasitas produksi (output). Biasanya hasil dari perhitungan model DEA berorientasi output dan input akan mengidentifikasi DMU yang efisien secara persis sama. Nilai efisiensi untuk model berorientasi output akan sama dengan nilai efisiensi model berorientasi input. Rata-rata nilai efisiensi untuk model VRS orientasi input secara umum akan lebih besar daripada model CRS berorientasi input (Yasar A. Ozcan; 2008). Charnes Cooper Rhodes memperkenalkan model DEA untuk mengukur suatu ukuran efisiensi untuk masing-masing DMU atau decision making unityang merupakan rasio maksimum antara output yang terbobot dengan input terbobot.masing-masing bobot yang digunakan dalam rasio tersebut ditentukan dengan batasan bahwa rasio yang sama untuk tiap DMU harus memiliki nilai yang kurang dari satu atau sama dengan satu.
10 Dengan demikian akan mereduksi multiple input dan multiple outputs ke dalam satu virtual input dan virtual output tanpa membutuhkan penentuan awal nilai bobot. Oleh karena itu, ukuran efisiensi merupakan suatu fungsi nilai bobot dari kombinasi virtual input dan virtual output. Ada juga konsep yang digunakan dalam mendefinisikan hubungan input output dalam tingkah laku dari institusi finansial pada metode parametrik maupun nonparametrik adalah : i. Pendekatan produksi (the production approach), ii Pendekatan intermediasi (the intermediation approach), dan iii Pendekatan asset (the asset approach). Pendekatan produksi melihat institusi finansial sebagai produser dari akun deposit (deposit accounts) dan kredit pinjaman (loans); mendefinisikan output sebagai jumlah dari akunakun tersebut atau dari transaksi-transaksi yang terkait. Input-input dalam kasus ini dihitung sebagai jumlah dari tenaga kerja, pengeluaran modal pada aset-aset tetap (fixed assets) and material lainnya. 2.2.2 Asumsi model Dalam menerapkan model pendekatan DEA, terdapat asumsi-asumsi yang mendasarinya (Ramanathan: 2003) yaitu : 1. DMU harus merupakan unit-unit yang homogenis, yaitu memiliki fungsi dan tujuan yang sama. 2. Jumlah ukuran DMU dari unit-unit yang disampel besarnya 2 atau 3 kali penjumlahan input dan output 2.2.3 Kegunaan DEA Dengan menggunakan DEA, selain digunakan untuk mengidentifikasikan unit dengan kinerja terbaik, manajemen perawatan kesehatan bisa juga menggunakannya untuk menemukan cara-cara alternatif guna mendorong unit perawatan
11 kesehatan lainnya agar menjadi unit berkinerja baik. Selain itu DEA dapat membantu para manajer kesehatan untuk: 1. Menilai kinerja relatif organisasi mereka dengan mengidentifikasi unit dengan kinerja terbaik di pasar perawatan kesehatan. 2. Mengidentifikasi cara-cara untuk meningkatkan kinerja apabila organisasi bukan termasuk golongan organisasi dengan kinerja terbaik. 2.2.4 Keterbatasan DEA Selain kegunaanya yang besar di bidang jasa perawatan kesehatan, DEA pun memiliki keterbatasan-keterbatasan dalam pengaplikasiannya, antara lain : 1. Karena rumus standar DEA menciptakan program linier terpisah untuk setiap DMU, masalah besar komputasi kerap terjadi. 2. DEA adalah teknik nonparametrik/deterministik maka uji hipotesis statistik sulit dilakukan. 3. Karena DEA merupakan sebuah teknik titik ekstrim, maka kesalahan pengukuran dapat menyebabkan masalah yang signifikan. 4. Hasil pengolahan data dengan memanfaatkan model DEA dapat dengan baik memperkirakan efisiensi relatif dari suatu DMU dibandingkan dengan DMU lainnya namun akan sulit bila menggunakan pendekatan DEA untuk menentukan nilai efisiensi mutlak suatu DMU secara teoritis 2.3 Efisiensi Relatif Menurut David (1984), efisiensi berhubungan dengan seberapa baik dalam menggunakan sumber daya yang ada untuk mendapatkan suatu hasil. Secara matematis efisiensi merupakan rasio antara output dan input. Namun perhitungan efisiensi di atas masih belum cukup untuk perhitungan efisiensi suatu organisasi atau perusahaan, yang pada kenyataannya tidak hanya melibatkan satu
12 macam input dan menghasilkan satu macam output saja. Suatu organisasi atau perusahaan sebenarnya berhubungan dengan bermacam-macam sumber daya baik input maupun output yang berbeda. Cara Pengukuran yang digunakan dalam metode DEA adalah membandingkan antara input dan output yang dihasilkan dan input yang ada, yaitu : Efisiensi = Output input Metode DEA akan menggunakan program linear dalam menentukan efisiensi relatif terhadap sejumlah decision making unit (DMU). Dalam hal ini bertujuan yang ingin dicapai ialah mendapatkan DMU terbaik diantara sejumlah DMU yang lain dengan membandingkan efisiensi DMU-DMU tersebut. 2.4 Analisis Sensitivitas Solusi optimal dalam persoalan LP diperoleh di bawah asumsi kondisi determinstik (certainty condition), artinya data yang dilibatkan dalam formulasi modelnya bersifat pasti, seperti : harga tetap, kapasitas sumber diketahui secara pasti dan waktu proses yang dibutuhkan telah ditentukan secara pasti. Namun dalam dunia nyata, kondisi deterministik ini tidak realistik : kondisi bersifat dinamis dan selalu ada kemungkinan untuk berubah. Untuk mengantisipasi situasi ini, dibutuhkan suatu analisis sensitivitas untuk mengetahui kepekaan tingkat optimal terhadap kemungkinan perubahan setiap variabel yang dilibatkan dalam formulasi modelnya. Analisa perubahan parameter dan pengaruhnya terhadap solusi Program Linier disebut Post Optimality Analisis. Istilah post optimality menunjukkan bahwa analisa ini terjadi setelah diperoleh solusi optimal, dengan mengasumsikan seperangkat nilai parameter yang digunakan dalam model. Atau Analisis Postoptimal (disebut juga analisis pasca optimal atau analisis setelah optimal, atau analisis kepekaan dalam suasana ketidaktahuan) merupakan suatu usaha untuk mempelajari nilai-nilai dari peubah-peubah pengambilan keputusan dalam suatu model matematika jika satu atau beberapa atau semua parameter model tersebut berubah atau menjelaskan pengaruh perubahan data terhadap penyelesaian optimal yang sudah ada.
13 Uji kepekaan hasil dan pasca optimal (sebut saja selanjutnya analisis postoptimal) yang dapat memberikan jawaban terhadap persoalan-persoalan tersebut diatas. Analisis postoptimal sangat berhubungan erat dengan atau mendekati apa yang disebut Program Parametrikal atau Analisis Parametrisasi. Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan Program Linier yang biasanya dipelajari melalui Post Optimality analysis dapat dipisahkan ke dalam tiga kelompok umum, yaitu: 1. Analisis yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya, ini dinamakan Analisa Sensitivitas. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parameter itu. Sebaliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter tersebut. 2. Analisis yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisis sensitivitas. 3. Analisis yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menentukan urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah lebih jauh, ini dinamakan Parametric-Programming. Berdasarkan Model Matematika Persoalan Program Linier maka analisis sensitivitas dapat dikelompokkan berdasarkan perubahan-perubahan parameter : (1). Perubahan koefisien fungsi tujuan (C j ), (2). Perubahan Koefisien teknologi (a ij ) (koefisien input-output), (3). Perubahan Nilai-Sebelah-Kanan (NSK) fungsi kendala (b i ),
14 (4). Adanya tambahan fungsi kendala baru (perubahan nilai m) (5). Adanya tambahan perubahan (variabel) pengambilan keputusan (X j ) (perubahan nilai n).