Diagram Venn. Hubungan antara kejadian dengan ruang contohnya Representasi secara grafis untuk mengilustrasikan logical relations di antara kejadian kejadian S = Himpunan bilangan asli A = Himpunan bilangan ganjil A = Himpunan bilangan genap EKO EFENDI 1 Diagram Venn mempermudah memahami himpunan Diagram Venn digunakan untuk menggambarkan himpunan-himpunan dan bag aimana hubungan antar himpunan-himpunan tersebut. Gabungan dari dua himpunan adalah himpunan yang mengandung semua angg ota yang dimiliki oleh himpunan pertama atau himpunan kedua. Misalkan A = {1, 2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7}, maka gabungan dari A dan B dinotasikan dengan A B = {1,2,3,4,5,7} Irisan dari dua himpunan adalah himpunan yang mengandung anggota yang ad a pada himpunan pertama dan juga sebagai anggota pada himpunan kedua. Mi salkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7}, maka irisan dari A dan B dinotasikan denga n A B = {1,3,5}. Komplemen atau pelengkap dari suatu himpunan adalah himpunan yang memili ki anggota, dimana gabungan dari himpunan dan komplemennya adalah himpu nan semesta dan irisan himpunan dengan komplemennya adalah himpunan kos ong. Misalkan A adalah munculnya mata dadu ganjil dari sebuah dadu standar, maka A = {1,3,5}. Karena S = {1,2,3,4,5,6}, maka komplemen dari A, dituliskan den gan notasi A c = munculnya mata dadu genap dari dadu standar, atau A c = {2,4,6}. EKO EFENDI 2 1
Pengolahan kejadian Pengolahan kejadian itu dapat berbentuk irisan kejadian, kejadian saling bebas, gabungan kejadian, dan komplemen kejadian EKO EFENDI 3 Irisan Irisan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A Π B, adalah kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian A dan B. A Π B = daerah arsir hitam EKO EFENDI 4 2
Saling bebas (terpisah) Dua kejadian C dan D dikatakan saling bebas (terpisah) bila CΠD = φ, artinya kejadian C dan kejadian D tidak memiliki unsur persekutuan. EKO EFENDI 5 Paduan (union) dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A U B adalah kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota A dan b atau keduanya. A U B = daerah arsiran hitam EKO EFENDI 6 3
Komplemen suatu kejadian Komplemen suatu kejadian A relatif terhadap S adalah himpunan semua anggota S yang bukan anggota A. Kita lambangkan komplemen A dengan A A = daerah yang diarsir hitam Beberapa persamaan dalam diagram venn akibat definisi-definisi di atas adalah. A Πφ = φ S = φ A U A = S A U φ = A φ = S A Π A = φ (A ) = A EKO EFENDI 7 Mencacah titik contoh Prinsip dasar mencacah = kaidah penggandaan Kaidah penggandaan : Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n 1 cara dan setiap cara tersebut dapat dilakukan dengan n 2 maka kedua operasi tersebut dapat dilakukan dalam n 1 n 2 cara. EKO EFENDI 8 4
Peluang suatu Peristiwa Peluang adalah suatu nilai diantara 0 dan 1 (inklusif) yang menggambarkan besarnya kesempatan akan munculnya suatu kejadian tertentu pada kondisi tertentu. Istilah lain dari peluang adalah probabilitas. Metode Klasik / a priori Metode Frekuensi / a posteriori Subyektif (hanya boleh digunakan apabila kedua cara diatas tak dapat dihitung) EKO EFENDI 9 Aksioma Peluang Aksioma merupakan bukti diri yang secara umum telah diterima kebenarannya. Terdapat tiga aksioma dasar dalam semua penghitungan peluang yang akan disarikan disini yang berhubungan dengan ruang contoh S dan kejadian A dan B. Notasi untuk menyatakan peluang digunakan P( ). 1. Ketidaknegatifan. Setiap kejadian memiliki peluang yang tidak negatif. P(A) 0. 2. Kepastian. Peluang ruang contoh adalah 1. P(S) = 1. 3. Gabungan. Peluang gabungan dari dua kejadian yang saling lepas adalah jumlah peluang dari tiap kejadian. P(A B) = P(A)+P(B) jika A B=. EKO EFENDI 10 5
Penentuan Peluang: Metode Klasik / a priori Metode Klasik atau A Priori. Jika diketahui bahwa kejadian A dapat muncul dalam m cara dan total seluruh kemungkinan kejadian adalah n, maka peluang sebenarnya kejadian A dinotasikan dengan banyaknya cara A P( A) total semua cara Bisa ditentukan tanpa harus melakukan percobaan atau menggunakan catatan masa lalu m n EKO EFENDI 11 Penentuan Peluang: Metode Frekuensi / a posteriori Metode Frekuensi atau A Posteriori. Jika kejadian serupa A mun cul m kali dalam total percobaan n, maka peluang pengamata n A dapat dinyatakan dengan banyaknya A muncul P( A) total percobaan m n Ditentukan dengan melakukan percobaan atau menggunakan catatan masa lalu EKO EFENDI 12 6
Beberapa Peluang Peubah Diskrit Nama Peubah Diskrit Notasi dan Parameter P(X=x) dan x dimana P(X=x) terdefinisi X 2 X Seragam X ~ SD(N) 1/N x=1,2,3,,n (N+1)/2 (N 2-1)/ 12 Bernouli X ~ Bin(1,p) 0<p<1 q=1-p p x q 1-x x=0,1 P Pq Binomial X ~ Bin(n,p) 0<p<1 q=1-p x=0,1,2,,n Np Npq Geometrik X ~ Geo(p) 0<p<1 q=1-p pq x-1 x=1,2, 1/p q/p 2 Negatif Binomial Hipergeometrik Poisson X ~ NB(r,p) 0<p<1 q=1-p r=1,2,3, X ~ Hyp(n,M,N) n=1,2,,n M=0,1,2,,N X ~ Poi( ) > 0 x=r,r+1,r+2, r/p rq/p 2 x=0,1,2,,n NM/N n(m/n)(1-m/n) *((N-n)/(N-1)) x=0,1,2, EKO EFENDI 13 Beberapa Peluang Peubah Kontinu Nama Peubah Kontinu Seragam Notasi dan Parameter X ~ SK(a,b) a < b Normal X ~ N(, 2 ) 2 > 0 f X (x) dan x dimana fungsi terdefinisi* 1/(b-a) a < x < b X 2 X (a+b)/2 (b-a) 2 /12 Gamma Eksponensial Eksponensial 2-Parameter Eksponensial Ganda X ~ Gam(, ) 0 < 0 < X ~ Exp( ) 0 < 0 < x 2 0 < x 2 X ~ Exp(, ) < x + 2 X ~ EG(, ) 2 2 Weibul X ~ Wei(, ) 0 < x (1+1/ ) Pareto X ~ Par(, ) 0 < x /( -1) > 1 Beta X ~ Beta(a,b) 0 < a 0 < b 0 < x < 1 EKO EFENDI 14 2 [ (1+2/ )- 2 (1+1/ )] ( 2 ) / (( -2)( -1) 2 ) > 2 7
Beberapa aturan peluang Nilai peluang adalah antara 0 dan 1 0 P 1 P(E) = 0 peristiwa E pasti tidak terjadi P(E) = 1 peristiwa E pasti terjadi Jika E menyatakan bukan peristiwa E P(E ) = 1 P(E) P(E) + P(E ) = 1 EKO EFENDI 15 Beberapa hubungan dalam peluang. 1.Jika K buah peristiwa saling eksklusif (E 1, E 2, E k ) Peluang terjadinya E 1 atau E 2 atau. E k adalah jumlah peluang masing-masing peristiwa. P(E tot ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + P(E k ) 2. Peluang terjadinya E 1 dan E 2 dan E k adalah P(E tot ) = P(E 1 ) - P(E 2 ) P(E k ) EKO EFENDI 16 8
3. Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu menjadi syarat peristiwa yang lain. 4. Hubungan inklusif dua peristiwa (A,B) berlaku hubungan atau A atau B atau keduanya terjadi. P(A dan atau B) = P(A) + P(B) P (A dan B) EKO EFENDI 17 Kaidah Penjumlahan dalam peluang Dalil 1 : Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang maka : P (A U B) = P(A) + P(B) P(A Π B). Bila A dan B saling eksklusif P (A U B) = P(A) + P(B) Umumnya Bila A 1, A 2, A 3,. Saling eksklusif maka P(A 1 U A 2 U A 3 U U A k ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + + P(A k ). EKO EFENDI 18 9
Dalil 2 : Bila A dan A adalah dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya maka P(A) + P(A ) = 1 EKO EFENDI 19 Contoh : 1. Peluang seorang mahasiswa lulus matematika adalah 2/3 dan peluang ia lulus statistik dasar adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut? Jawab : M = lulus matematika D = lulus statistik dasar M U D = lulus matematika atau statistik dasar (minimal satu) M Π D = lulus kedua mata kuliah Jadi berdasarkan dalil 1 : P(MΠ D ) = P(M) + P(D) P(M U D) EKO EFENDI 20 10
PELUANG BERSYARAT Contoh : Perhatikan eksperimen pelemparan dadu B = kejadian munculnya bilangan kuadrat murni A = bilangan yang muncul lebih dari 3 EKO EFENDI 21 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jika dadu dibuat sedemikian hingga peluang muncul bilangan genap dua kali lebih besar dari bilangan ganjil P(1) = 1/9 P(2) = 2/9 P(3) = 1/9 P(4) = 2/9 P(5) = 1/9 P(6) = 2/9 P(A) = 5/9 P(A Π B) = 2/9 EKO EFENDI 22 11
EKO EFENDI 23 Kejadian Bebas Jika A adalah suatu kejadian, maka adanya keterangan tentang suatu kejadian lain, misal kejadian B, dapat memperkecil atau memperbesar atau tidak mengubah besarnya peluang kejadian A. Jika besarnya peluang kejadian A tidak berubah karena adanya keterangan bahwa kejadian B telah terjadi, maka A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas EKO EFENDI 24 12
Definisi Kejadian Saling Bebas : Kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika dan hanya jika P(A B) = P(A) P(B) Example: A ball is drawn at random from a box containing 6 red balls, 4 white balls, and 5 blue balls. Determine the probability that the ball drawn is (a) red, (b) white, (c) blue, (d) not red, and (e) red or white. EKO EFENDI 25 EKO EFENDI 26 13
Three balls are drawn successively from the box of above. Find the probability that they are drawn in the order red, white, and blue if each ball is (a) replaced and (b)not replaced. EKO EFENDI 27 Jika kejadian A dan B bebas, maka kejadian bersyaratnya tidak merubah nilai peluang EKO EFENDI 28 14
KAIDAH PENGGANDAAN a). Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus maka P(A I B) = P(A). P(BΠA) b). Bila dua kejadian saling bebas maka P(A I B) = P(A). P(B) secara umum; EKO EFENDI 29 Contoh : Sebuah uang logam tak seimbang sehingga peluang muncul sisi gambar dua kali lebih besar dari sisi angka. Bila uang itu dilemparkan 3 kali, berapa peluang mendapatkan dua sisi angka dan satu sisi gambar? B = kejadian mendapat dua sisi angka & satu sisi gambar. = {AAG, AGA, GAA} EKO EFENDI 30 15
Latihan : 1. Populasi sarjana dalam suatu kota dikategorikan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan. Berapa peluang seorang laki-laki yang telah bekerja untuk menjadi duta dalam pertemuan nasional? 2. Peluang seorang dokter mendiagnosis penyakit secara benar adalah 0,7. Bila diketahui dokter tersebut salah mendiagnosis, pasien akan menuntut ke pengadilan adalah 0,9. Berapa peluang dokter salah mendiagnosis dan pasien menuntut ke pengadilan? EKO EFENDI 31 Jawaban 1. M = yang terpilih laki-laki E = yang terpilih telah bekerja EKO EFENDI 32 16
2. A = Diagnosis benar B = Diagnosis salah C = Pasien menuntut kepengadilan Maka EKO EFENDI 33 KAIDAH BAYES Lihat kembali soal latihan no 1. Jika ada tambahan informasi bahwa 36 orang yang bekerja menjadi anggota Rotary Club dan 12 orang yang menganggur menjadi anggota Rotary Club. Berapa peluang kejadian A = yang terpilih menjadi duta adalah anggota Rotary Club. EKO EFENDI 34 17
EKO EFENDI 35 Jadi EKO EFENDI 36 18
Dalam diagram pohon dapat digambarkan sebagai berikut : Generalisasi dari kasus diatas dinyatakan dalam kaidah eliminasi atau dalil peluang total berikut : Bila kejadian-kejadian B 1, B 2, 0 untuk I = 1, 2, k, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S berlaku : EKO EFENDI 37 Contoh : Tiga mahasiswa telah dicalonkan menjadi ketua HMJ. Peluang Adam, Brown dan Cony terpilih masing-masing 0,3; 0,5 ; 0,2. Seandainya Adam terpilih peluang kas himpunan bertambah adalah 0,8. Jika Brown atau Cony terpilih, peluang tambahnya kas adalah 0,1 dan 0,4. Berapa peluang kas HMJ bertambah? Jawab : A = kas HMJ bertambah B 1 = Adam terpilih B 2 = Brown terpilih B 3 = Cony terpilih EKO EFENDI 38 19
Dengan menerapkan kaidah eliminasi Kaidah Bayes Jika kejadian-kejadian B 1, B 2, B 3, B k merupakan sekatan dari ruang contoh S dengan P(B i ) 0 untuk i = 1, 2, 3,,k maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) 0 EKO EFENDI 39 Contoh : Dari contoh kaidah eliminasi, jika ternyata sebelum pemilikan kas HMJ sudah bertambah, berapa peluang Cony terpilih menjadi ketua HMJ? Jawab : Dengan menggunakan kaidah Bayes EKO EFENDI 40 20