300 mm 900 mm 600 mm Solusi PR 1. Sebuah batang baja bulat mempunyai luas penampang 0,0003 m2 terpasang tetap pada ujung sebelah atas dan mendapat tiga gaya aksial seperti terlihat dalam gambar. Hitunglah defleksi yang terdapat di ujung bebas yang disebabkan oleh gaya-gaya tersebut. Ambil E = 200 GPa. Jawab: DBB keseluruhan: R V 20 kn 10 kn Semua gaya-gaya yang diketahui memiliki arah vertical (ke arah atas maupun ke bawah). Sehingga gaya reaksi dinding yang perlu dihitung adalah gaya reaksi arah vertical. ΣF = 0 : Rv 20 kn + 10 kn 40 kn = 0 Rv = 50 kn Untuk menghitung defleksi (pertambahan panjang) batang di ujung kita harus melihat bahwa defleksi ini terjadi akibat terjadinya tegangan di sepanjang batang. Pertambahan panjang batang dengan modulus elastisitas E pada luas penampang A sepanjang L akibat gaya P dihitung menurut rumus : δ = P L / A E 40 kn Maka δ akan berbeda untuk P, L, A, atau E yang berbeda. Karena ada beberapa gaya di atas maka gaya-gaya ini membuat batang terbagi-bagi karena factor-faktor di atas (P, L, A, dan E). Kita harus menghitung pertambahan panjang setiap bagian yang akan memberikan pertambahan panjang total (defleksi ujung bebas). Kita bisa telusuri gaya tarik/tekan yang dialami batang dengan merunut dari ujung atas.
300 mm 600 mm 900 mm Rv Rv Pada bagian ini, batang mengalami tarikan dengan P = Rv = 50kN. Gaya belum berpengaruh pada bagian ini. Sehingga pertambahan panjang pada bagian ini dihitung sebagai berikut: δ 1 = P L / A E = 20 kn. 900 mm / (0,0003 m 2. 200 GPa) = 0,0003 m = 0,3 mm Rv=50kN Bagian kedua terletak setelah gaya dan sebelum gaya 10 kn. Di sini gaya tarik sama dengan 30kN (=Rv-). Akibat perbedaan gaya tarik dengan bagian sebelumnya maka tegangan di bagian ini pun berbeda. Sehingga pertambahan panjangnya: 30kN δ 2 = P L / A E = 30 kn. 600 mm / (0,0003 m 2. 200 GPa) = 0,0003 m = 0,3 mm (sama dengan δ 1 ) 30kN Rv=50kN Bagian terakhir adalah setelah gaya 10 kn sampai dengan ujung bebas. Pada bagian ini gaya tarik yang bekerja sama dengan (perhatikan statika atau keseimbangan gaya totalnya). Sehingga pada bagian ini pertambahan panjangnya adalah: δ 3 = P L / A E = 40 kn. 300 mm / (0,0003 m 2. 200 GPa) = 0,0002 m = 0,2 mm Sehingga defleksi ujung bebas adalah: δ = δ 1 + δ 2 + δ 3 = 0,3 mm + 0,3 mm + 0,2 mm = 0,8 mm Contoh lain:
300 mm 500 mm Berapakah pengurangan panjang bagian yang besar apabila luas penampang yang kecil adalah 0,0003 m2 dan luas penampang bagian besar 0,0004 m2. Diketahui E = 200 GPa. Untuk kasus ini analisis akan dilakukan dalam 2 bagian karena terdapat perbedaan luas penampang (luas penampang A termasuk dalam faktor-faktor yang mempengaruhi pertambahan/pengurangan panjang akibat beban tarik/tekan). 300 mm 500 mm R H = Bagian 1: 300 mm δ 1 = P L / A E = 40 kn. 300 mm / (0,0003 m 2. 200 GPa) = 0,0002 m = 0,2 mm Bagian 2: 500 mm R H = δ 2 = P L / A E = 40 kn. 500 mm / (0,0004 m 2. 200 GPa)=0,00025 m = 0,25 mm Sehingga δ = δ 1 + δ 2 = 0,2 mm + 0,25 mm = 0,45 mm
2. Soal ini terkait dengan gambar berikut: 250 mm 150 mm 150 mm 250 mm 40π Nm 50 mm 30 mm Diketahui G = 84.000 MN/m 2. a. Berapakah tegangan geser maksimum? b. Berapa sudut puntiran di ujung poros? Jawab: Penggambaran torsi dapat menggunakan tanda panah ganda. Dalam soal ini torsi berlawanan arah jarum jam diberi tanda positif. Gunakan secara konsisten. 250 mm 150 mm 150 mm 250 mm 40π Nm 30 mm 50 mm T E A Torsi reaksi oleh tembok : ΣT = 0 : -40 π + 15 π -25 π + TE = 0 TE = 50 π Nm Seperti halnya di soal nomor 1, kita perlu merunut torsi yang bekerja pada setiap bagian: Bagian D-E: T D-E= 50 π Nm Bagian C-D : T C-D= 25 π Nm Bagian B-C: Sama dengan C-D karena di sini torsi tidak berubah. Hanya bentuk poros yang berubah menjadi berlubang.
T B-C= 25 π Nm Bagian A-B: T A-B= 40 π Nm Perhitungan momen inersia polar: Bagian C-D, dan D-E memiliki momen inersia polar yang sama IpC-D =IpD-E = π d 4 /32 = π (0,05) 4 /32 = π 1,95.10-7 m 4 Bagian A-B, dan B-C memiliki momen inersia polar yang sama IpA-B =IpB-C = π c 4 /32 - π b 4 /32= π (0,05) 4 /32 - π (0,03) 4 /32 = π 1,7.10-7 m 4 a. Rumus tegangan geser maksimum: τ max = T r / Ip Karena poros ini memiliki diameter luar yang sama maka r = d/2 = 0,025m Tegangan geser setiap bagian: τ A-B = TA-B r / IpA-B = 40 π Nm 0,025m / π 1,7.10-7 m 4 = 5,8 MN/m2 = 5,8 MPa τ B-C = TB-C r / IpB-C = 25 π Nm 0,025m / π 1,7.10-7 m 4 = 3,6 MN/m2 = 3,6 MPa τ C-D = TC-D r / IpC-D = 25 π Nm 0,025m / π 1,95.10-7 m 4 = 3,2 MN/m2 = 3,2 MPa τ D-E = TD-E r / IpD-E = 50 π Nm 0,025m / π 1,95.10-7 m 4 = 6,4 MN/m2 = 6,4 MPa Sehingga tegangan geser maksimum adalah 6,4 MPa yang terjadi pada poros bagian D- E b. Sudut puntiran di ujung poros adalah sudut puntiran total semua bagian. Untuk itu, perlu dihitung sudut puntiran setiap bagian: φa-b = TA-B LA-B / IpA-B G= 40 π Nm 0,25m / (π 1,7.10-7 m 4. 84000 MN/m2) = 7.10-4 radian φb-c = TB-C LB-C / IpB-C G= 25 π Nm 0,15m / (π 1,7.10-7 m 4. 84000 MN/m2) = 2,6.10-4 radian φc-d = TC-D LC-D / IpC-D G= 25 π Nm 0,15m / (π 1,95.10-7 m 4. 84000 MN/m2) = 2,3.10-4 radian φb-c = TB-C LB-C / IpB-C G= 50 π Nm 0,25m / (π 1,95.10-7 m 4. 84000 MN/m2) = 7,6.10-4 radian φ = φa-b+ φb-c+ φc-d+ φd-e = 7.10-4 + 2,6.10-4 + 2,3.10-4 + 7,6.10-4 = 1,95.10-3 radian Dengan demikian, ujung poros tersebut akan berputar sebesar posisi asalnya. 1,95.10-3 radian terhadap