SEMINAR TUGAS AKHIR RAINBOW CONNECTION PADA GRAF 1-CONNECTED VOENID DASTI ( )

SEMINAR TUGAS AKHIR RAINBOW CONNECTION PADA GRAF 1-CONNECTED VOENID DASTI 08103201 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Andalas Jumu ah 26 APRIL 2013

List of Contents 1 Pendahuluan Latar Belakang 2 Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf 3

List of Contents Latar Belakang 1 Pendahuluan 2 3

Latar Belakang Latar Belakang 1736. Leonhard Euler (Swiss). Jembatan Königsberg, di Rusia timur. Figure:

Latar Belakang Latar Belakang 1736. Leonhard Euler (Swiss). Jembatan Königsberg, di Rusia timur. Figure: Masalah Jembatan Königsberg

Latar Belakang Latar Belakang 2006. Chatrand dkk. Konsep rainbow connection. Dapat digunakan untuk pengamanan pengiriman informasi rahasia antar lembaga. Selain itu, rainbow connection dimotivasi oleh interpretasi menarik di bidang jaringan. Misalkan G diinterpretasikan sebagai suatu jaringan (misalnya, jaringan selular). Akan disampaikan rute pesan antara dua titik penerima, acceptor, dengan syarat bahwa rute antara kedua titik (atau dapat dilihat sebagai sisi pada path), diberikan suatu saluran yang berbeda (misalnya, frekuensi yang berbeda). Jelas bahwa yang ingin diminimalkan adalah banyaknya saluran berbeda yang digunakan dalam jaringan. Bilangan ini adalah rainbow connection number rc(g) [3]. Dalam skripsi ini dikaji kembali tentang rainbow connection pada graf 1-connected.

Perumusan Masalah Latar Belakang Penentuan rainbow connection number pada graf dapat lebih mudah dilakukan setelah mengelompokkan graf berdasarkan diameter, derajat, keterhubungan (connectivity) graf atau berdasarkan parameter lain. Dalam skripsi ini akan dikaji kembali rainbow connection number graf berdasarkan keterhubungan (connectivity) dan derajat minimumnya.

Batasan Masalah Latar Belakang Pengkajian kembali rainbow connection number pada skripsi ini dibatasi pada graf terhubung G tak trivial 1-connected dengan derajat minimum δ(g) 3.

Tujuan Latar Belakang Pada penelitian yang dilakukan oleh Caro dkk [3] pada tahun 2008, Caro membuat konjektur, yaitu jika G suatu graf dengan n titik dan δ(g) 3 maka rainbow connection number rc(g) (3n). Konjektur tersebut terbukti benar untuk graf 2-connected[3]. Tujuan penulisan ini adalah untuk mengaji kembali kebenaran konjektur tersebut untuk graf 1-connected..

List of Contents Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf 1 Pendahuluan 2 3

Defenisi Graf Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Definisi 2.1 Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V (G), E(G)) dengan V (G) adalah himpunan titik (vertex ) tak kosong dan E(G) adalah himpunan sisi (edge) yang menghubungkan titik-titik pada G.

Terminologi Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf (cut vertex) adalah suatu titik yang jika diambil dari suatu graf terhubung akan menyebabkan graf menjadi tak terhubung. Blok (block) adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cut vertex. Jembatan (bridge) adalah suatu sisi pada graf yang jika diambil dari suatu graf terhubung, akan menyebabkan graf tersebut menjadi tak terhubung.

Latar Belakang Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf cut vertex Figure: c sebagai cut vertex

Latar Belakang Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf cut edge Figure: s sebagai jembatan (bridge)

Pewarnaan Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Pewarnaan titik (vertex coloring), yaitu pemberian warna berbeda pada setiap titik-titik yang saling bertetangga. Pewarnaan sisi (edge coloring), yaitu pemberian warna berbeda pada sisi yang bertetangga. Pewarnaan bidang, yaitu pemberian warna pada bidang sehingga tidak ada bidang yang bertetangga mempunyai warna yang sama.

Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf

Rainbow Connection Pada Graf Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Didefenisikan pewarnaan c : E(G) {1, 2,..., k}, kɛn dimana dua sisi bertetangga tidak perlu berwarna berbeda. Figure: Path

Rainbow Connection Pada Graf Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Jalan (walk) dari titik v 0 ke titik v n di G adalah barisan hingga v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., v n 1, e n, v n sedemikian sehingga v i 1 v i E(G), untuk i = 1, 2,..., n. Lintasan (path) adalah jalan yang semua titik dan sisinya berbeda. Suatu lintasan u-v path P dikatakan lintasan rainbow path jika tidak terdapat dua sisi di P yang memiliki warna sama.

Rainbow Connection Pada Graf Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf G dikatakan bersifat rainbow connected jika terdapat satu rainbow path yang menghubungkan setiap dua titik berbeda di G Figure: Rainbow Connected

Rainbow Connection Pada Graf Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Jarak u ke v, d(u,v) adalah panjang lintasan terpendek dari u ke v. Untuk dua titik u dan v di G, rainbow u-v geodesic pada G adalah rainbow u-v path yang panjangnya d(u, v) adalah jarak antara u dan v (panjang u-v path terpendek di G) Figure: rainbow u-v geodesic

Rainbow Connection Pada Graf Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Pewarnaan sisi yang menyebabkan G bersifat rainbow connected disebut rainbow coloring. Rainbow connection number dari graf terhubung G, ditulis rc(g), adalah banyak warna minimal yang diperlukan untuk membuat G bersifat rainbow connected. Suatu rainbow coloring yang menggunakan warna sebanyak rc(g) dikatakan minimum rainbow coloring Figure: rc(g)=2

Rainbow Connection Pada Graf Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Graf G dikatakan strongly rainbow connected jika G memiliki suatu rainbow u-v geodesic untuk setiap dua titik u dan v di G. Dalam kasus ini, pewarnaan c dikatakan strong rainbow coloring di G. Figure: rc(g) dan src(g)

Keterhubungan Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Suatu graf G disebut terhubung jika untuk setiap dua titik dari graf terdapat lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Figure: Konektivitas

Graf G 2 adalah graf 1-connected Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf

Rainbow Connection Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Proposisi 2..1 [2] Misalkan G suatu graf terhubung (connected) berukuran m. Maka (a) src(g) = 1 jika dan hanya jika G suatu graf lengkap, (b) rc(g) = 2 jika dan hanya jika src(g) = 2, (c) rc(g) = m jika dan hanya jika G merupakan suatu graf pohon. Ukuran graf G adalah banyak sisi di graf G.

Rainbow Connection Defenisi dan Terminologi Graf Terminologi Pewarnaan Graf Proposisi 2..2 [2] Untuk setiap bilangan n, rc(c n ) = src(c n ) = n/2 Graf lingkaran dengan banyak titik n, dinotasikan dengan C n, adalah graf sederhana (tidak memuat loop atau sisi ganda) yang memiliki derajat 2 pada setiap titiknya.

List of Contents 1 Pendahuluan 2 3

Graf dengan konektivitas 1 Pada graf G dengan konektivitas κ(g) = 1, konsep rainbow connection diperluas dengan menambahkan syarat, yaitu.... untuk sebarang dua sisi di G, sisi-sisi tersebut memiliki warna berbeda bilamana berada pada blok yang berbeda di G... Rainbow connection number yang bersesuaian dengan penambahan syarat ini dinotasikan dengan rc (G). Dari defenisinya, jelas bahwa rc(g) rc (G) untuk setiap graf G dan rc(g) = rc (G) untuk setiap graf 2-connected G.

Rainbow Connection Number rc (G) Pada graf dengan κ(g) = 1, akan dibuktikan teorema berikut: Teorema 3.3.1 Jika G suatu graf terhubung dengan n banyaknya titik, κ(g) = 1 dan δ(g) 3 maka rc (G) 3n 10. Batas 3n 10 tidak dapat dikurangkan karena terdapat graf terhubung 3 regular dengan rc(g) = rc (G) = diam(g) = 3n 10.

Graf terhubung 3-regular G dengan rc (G) = 3n 10 Suatu graf terhubung 3 regular dapat dikonstruksi dengan langkah-langkah berikut : 1 Ambil dua vertex disjoint pada graf hasil penggandaan graf K 5 (P 3 P 2 ) dan beri label dua titik berderajat 2 dengan w 1 dan w 2k+2 dengan k 1, k bilangan bulat. 2 Hubungkan w 1 dan w 2k+2 melalui suatu lintasan dengan panjang 2k + 1 dan beri label titik-titik pada lintasan tersebut dengan w 1, w 2,..., w 2k+2. 3 Untuk 1 i k, setiap sisi w 2i w 2i+1 diganti dengan suatu graf K e dan tandai dua titik yang berderajat 2 di K e dengan w 2i dan w 2i+1. Graf yang diperoleh dari proses di atas adalah graf G k+10 yang merupakan graf terhubung 3 regular dengan n = k + 10 dan rc (G k+10 ) = rc(g k+10 ) = diam(g k+10 ) = 3k+5 = 3n 10

Graf terhubung 3-regular contoh : untuk k = 1, diperolah G 1 yang merupakan graf terhubung 3 regular : rc (G 1 ) = rc(g 1 ) = diam(g 1 ) = 3(1) 10 = 8

Teorema 3.3.1 Sebelum membuktikan teorema 3.3.1 diatas, terlebih dulu dibuktikan proposisi 3.3.1 dan akibat 3.3.1 berikut : Proposisi 3.3.1 Misalkan G suatu graf 2-connected dengan n banyak titik dan barisan derajatnya 2 d 1 d 2... d n. Jika d 3 3 maka rc(g) 2n 2 3 untuk n 7 dan rc(g) 2n 1 3 untuk n 8. Akibat 3.3.1 Misalkan G suatu graf 2-connected dengan n banyaknya titik dan barisan derajat 2 d 1 d 2... d n. Jika d 3 3, maka rc(g) 3n.

Proposisi 3.3.1 Bukti Proposisi 3.3.1 Misalkan H suatu subgraf terhubung maksimal dari G dan rc(h) 2h 3 1 dengan h adalah banyak titik di H. Klaim H tersebut ada. Karena G suatu graf 2-connected dan d 3 3, maka n. Berdasarkan teorema Dirac [6], circumference c(g) pada G memenuhi c(g) min{n, 2δ(G)}. Selanjutnya, pandang beberapa kasus: Circumference G, dinotasikan dengan c(g), merupakan panjang dari lingkaran terpanjang di G.

Bukti Proposisi 3.3.1 (2) Kasus 1. Jika n=, maka rc(g) 2 2. 2 3. Jika c(g) = maka G = K 2,n 2, yang kontradiksi dengan d 3 3 untuk n 5. Jadi dapat diasumsikan bahwa c(g) 5 Kasus 2. Jika n = 5 = c(g) maka G memuat C 5 + e sebagai subgraf dan rc(g) 2 2.5 2 3.

Bukti Proposisi 3.3.1 (2) Kasus 3. Jika n = 6. Subkasus 1 Jika c(g) = 5, maka dengan menjadikan H sebagai C 5 dengan satu sisi yang ditambahkan, diperoleh rc(g) = 3 = 2.6 3 1. Subkasus 2 Jika c(g) = 6, maka dengan menjadikan C 6 sebagai H, didapat rc(c 6 ) = 3 [2]. look, it is possbl to K6 to be frmed

Bukti Proposisi 3.3.1 (2) Kasus. Jika n > 5 Subkasus 1 Jika c(g) {6, 8} maka rc(c k ) = k 2 2k 3 1 untuk k = 6, 8. Subkasus 2 Jika c(g) = 7 = n maka rc(c 7 ) = = 2.7 2 3. Subkasus 3 Jika c(g) = 7 < n maka dengan menjadikan H sebagai suatu C 7 dengan suatu sisi yang ditambahkan, didapat rc(h) = < 2.8 3 1. Subkasus Jika c(g) = k 9 maka rc(c k ) = k 2 k+1 2 2k 3 1.

Bukti Proposisi 3.3.1 () Kemudian, klaim h n 2. Bukti Klaim Asumsikan bahwa h < n 2, ini berarti terdapat tiga titik berbeda yang terletak diluar H,yaitu w 1, w 2, w 3 yang masing-masing memiliki dua tetangga yang berada di dalam H (tetangga-tetangga dari titik w i tidak perlu berbeda dengan tetangga-tetangga dari titik w j ). Titik-titik w 1, w 2, w 3 dapat ditambahkan ke graf H sehinggaa terbentuk suatu subgraf yang lebih besar, H, dengan h + 3 titik.

Bukti Proposisi 3.3.1 () Kemudian, klaim h n 2. Bukti Klaim Anggap e i, f i adalah dua sisi yang menghubungkan w i dengan H. Dua warna dapat digunakan untuk mewarnai keenam sisi, yaitu e 1, e 2, e 3 diwarnai dengan warna yang sama dan f 1, f 2, f 3 memiliki warna lain yang sama pula.

Bukti Proposisi 3.3.1 (5) Sehingga diperoleh: rc(h ) rc(h) + 2 2h 3 1 + 2 = 2(h+3) 3 1 kontradiksi dengan pernyataan bahwa H merupakan subgraf maksimal

Bukti Proposisi 3.3.1 (6) Ini berarti bahwa, jika terdapat tiga titik diluar H maka sekurang-kurangnya salah satu dari titik-titik tersebut, katakanlah w, memiliki sifat bahwa untuk suatu lintasan terpendek dari H ke H yang melewati w, memiliki panjang tidak kurang dari 3 ( perhatikan bahwa pasti terdapat suatu path karena G adalah graf 2-connected ). Misalkan uw 1 w 2...w t v suatu lintasan dengan u, vɛv (H), w 1,..., w t / V (H) dan t 2. Titik-titik w 1,..., w t ditambahkan ke H sehingga membentuk suatu subgraf H yang lebih besar dengan h + t banyaknya titik.

Bukti Proposisi 3.3.1 (6) Misalkan uw 1 w 2...w t v suatu lintasan dengan u, vɛv (H), w 1,..., w t / V (H) dan t 2. Titik-titik w 1,..., w t ditambahkan ke H sehingga membentuk suatu subgraf H yang lebih besar dengan h + t banyaknya titik.

Bukti Proposisi 3.3.1 (7) Jika t ganjil maka t + 1 sisi lintasan diberi t+1 2 warna baru. Paruh pertama beri warna berbeda pada sisi-sisi nya, dan urutan warna yang sama diwarnakan pada paruh kedua. Hal ini menunjukkan bahwa H bersifat rainbow connected

Bukti Proposisi 3.3.1 (7) t genap, maka t + 1 sisi lintasan diwarnai dengan t 2 warna. Sisi tengah, w t/2 w t/2+1, diberi warna yang sudah muncul di t H. 2 sisi pertama pada lint diberi warna menggunakan warna baru yang berbeda dan pada t 2 sisi terakhir, warna-warna tersebut diulang dengan urutan sama.

Bukti Proposisi 3.3.1 (8) Proses ini menunjukkan bahwa H bersifat rainbow connected dan diperoleh : rc(h ) rc(h) + t 2 2h 3 1 + t 2 2(h+t) 3 1 kontradiksi dengan pernyataan bahwa H subgraf maksimal. Jadi, haruslah h n 2

Setelah membuktikan bahwa h n 2, jelaslah bahwa rc(g) 2(n 2) 3 1 + 2 = 2n 1 3 Bukti Proposisi 3.3.1 selesai }{{}

Proposisi 3.3.1 dan Akibat 3.3.1 Proposisi 3.3.1 Misalkan G suatu graf 2-connected dengan n banyak titik dan barisan derajatnya 2 d 1 d 2... d n. Jika d 3 3 maka rc(g) 2n 2 3 untuk n 7 dan rc(g) 2n 1 3 untuk n 8. Akibat 3.3.1 Misalkan G suatu graf 2-connected dengan n banyaknya titik dan barisan derajat 2 d 1 d 2... d n. Jika d 3 3, maka rc(g) 3n.

Endblock Berikut akan ditentukan struktur endblocks. Endblock adalah block yang mempunyai tepat satu cut vertex. Misalkan B={K, K 5, K 5 e, K 5 P 3, K 5 2P 2, K 5 (P 3 P 2 )}. Diperoleh: rc(k ) = rc(k 5 ) = 1 dan rc(k 5 e) = rc(k 5 P 3 ) = rc(k 5 2P 2 ) = rc(k 5 (P 2 P 3 )) = 2.

Endblock Figure: rc(g)=1

Endblock Figure: rc(g)=2

Endblock Untuk BɛB, misalkan B K 2 suatu endblock dengan penambahan K 2. Jika Bɛ{K, K 5, K 5 e, K 5 2P 2 } maka K 2 dapat ditambahkan ke sebarang titik di B. Figure:

Endblock Jika Bɛ{K 5 P 3, K 5 (P 3 P 2 )} maka K 2 dapat ditambahkan pada titik berderajat 2 dalam K 5 P 3 atau K 5 (P 3 P 2 ). Figure:

Endblock Sekarang, klaim berikut dapat dibuktikan. Klaim 1. Misalkan G suatu graf terhubung dengan δ(g) 3. Jika G = G 1 G 2 dengan V (G 1 ) V (G 2 ) = w untuk w suatu cut vertex dan V (G 1 ) 6 maka G 1 = B atau G1 = B K2 untuk beberapa BɛB Klaim 2. Jika BɛB suatu endblock maka rc(b) 3n 7 dan rc(b K 2 ) 3n 6.

Teorema 3.3.1 Klaim 3. Misalkan G suatu graf terhubung dengan suatu cut vertex w. Jika G = G 1 G 2 dan V (G 1 ) (V (G 2 )) = w, d G1 (w) 2, d G2 (w) 1, V (G 1 ) 6 dan V (G 2 ) 7. Maka dengan induksi didapat rc (G) 3n 10. Bukti Klaim 3. Konstruksi dua graf, yaitu H 1 dan H 2 : H 1 = (K 5 P 3 ) G 2. Identifikasi titik berderajat 2 dalam K 5 P 3 dengan w dari G 2. H 2 = G 1 K 2 (K 5 P 3 ), identifikasi satu titik di K 2 dengan w di G 1 dan titik lain dari K 2 dengan titik berderajat 2 dalam K 5 P 3.

Teorema 3.3.1 Diperoleh :...(bukti klaim) V (H 1 ) = V (K 5 P 3 ) + V (G 2 ) 1 < V (G 1 ) + V (G 2 ) 1 = V (G) dan V (H 2 ) = V (K 5 P 3 ) K 2 ) + V (G 1 ) 1 < V (G 2 ) + V (G 1 ) 1 = V (G).

Figure:

Teorema 3.3.1...(bukti klaim) dengan induksi didapat rc (H 1 ) 3n(H 1) 10 dan rc (H 2 ) 3n(H 2) 10 yang mengakibatkan rc (G 2 ) 3(n(G 2)+) 10 2 = 3n(G 2) 6 dan rc (G 1 ) 3(n(G 1)+5) 10 3 = 3n(G 1) 7. Hasil ini memberi persamaan rc (G) = rc (G 1 ) + rc (G 2 ) 3n(G 1) 7 + 3n(G 2) 6 = 3(n(G 1)+n(G 2 ) 1) 10 = 3n 10.

block graf pohon T dari G. Misalkan V (T ) = {w 1, w 2,..., b 1, b 2,...}, dimana w i adalah suatu cut vertex pada G dan b i merupakan blok B i dari G. w i b j ɛe(t ) jika dan hanya jika w i insiden dengan B j di dalam G. Amati pengamatan berikut : 1 Jika B i suatu endblock dari G (b i merupakan daun dari (T )) maka V (B i, karena δ 3. 2 Jika d T (w) untuk suatu cut vertex w dari G maka G = G 1 G 2 dengan G 1 G 2 = w serta kedua graf G 1 dan G 2 memuat paling sedikit dua block nontrivial. Kemudian V (G i ) 2. 1 = 7 untuk i = 1, 2 Jadi dapat diasumsikan bahwa 2 d T (w) 3 untuk setiap cut vertex w.

block graf pohon T dari G. 3 Jika suatu cut vertex w berderajat 3, maka G = G 1 G 2 G 3. Dari argumen pada observasi kedua di atas, masing-masing G i memuat tepat satu block nontrivial yang merupakan endblock. V (G i ) 6 untuk 1 i 3, untuk nilai i yang lain dapatkan dengan induksi. Dari V (G) = V (G 1 ) + V (G 2 ) + V (G 3 ) 2 didapatkan rc (G) 3n(G 1) 6 + 3n(G 2) 6 + 3n(G 3) 6 = 3n 12 3n 10. Jika suatu titik b berderajat p 3 maka B berinsiden dengan p cut vertices w 1, w 2,..., w p. Sehingga G = B G 1 G 2... G p. Maka rc (G) 2n(B) 3 + Σ p i=1 3n(G i) 6 3n(B) 1 + 3(n+p n(b)) 6p = 3n 1 3p 3n 10.

graf pohon blok T dari G. Jadi dapat diasumsikan bahwa (T ) = 2 dan dengan demikian T adalah suatu path. G memuat paling banyak satu inner block nontrivial B. Jadi untuk path T, struktur-struktur block berikut dapat terbentuk : 1 B 1, B 2. Sehingga rc (G) 3n(B 1) 7 2 B 1, K 2, B 2. Sehingga rc 3n(B 1 K 2 ) 6 3 B 1, B, B 2. Sehingga rc (G) 3n(B 1) 7 B 1, K 2, B, B 2. Sehingga rc 3n(B 1 K 2 ) + 3n(B 2 7) = 3n 11 < 3n 10. + 3n(B 2) 7 = 3n 10. + 3n(B) + 3n(B 2) 7 = 3n 12 < 3n 10. + 3n(B) 6 + 3n(B 2) 7 = 3n 11 < 3n 10. 5 B 1, K 2, B, K 2, B 2. Sehingga rc (G) 3n(B 1 K 2 ) 6 + 3n(B) + 3n(B 2 K 2 ) 6 = 3n 10.

List of Contents 1 Pendahuluan 2 3

Kesimpulan Jika graf terhubung G dengan κ(g) = 1 dan δ(g) 3, maka pada pembahasan skripsi ini telah diperoleh bahwa rc (G) 3n 10 < 3n, dengan n adalah banyak titik di G. Dengan rc(g) adalah rainbow connection number pada graf terhubung tak trivial G dan rc (G) adalah rainbow connection number pada graf 1-connected tak trivial..

Terima Kasih