Design and Analysis of Algorithm

Design and Analysis of Algorithm Week 5: Kompleksitas waktu algoritma rekursif part 2 Dr. Putu Harry Gunawan 1 1 Department of Computational Science School of Computing Telkom University Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 1 / 34

Outline 1 Review 2 Metode Karakteristik:Solusi Umum Metode Karakteristik:Solusi Umum 3 Menyelesaikan relasi rekursi HOMOGEN Menyelesaikan relasi rekursi HOMOGEN 4 Menyelesaikan relasi rekursi NON-HOMOGEN Menyelesaikan relasi rekursi NON-HOMOGEN 5 Teorema Master Teorema Master 6 References References 7 Exercise Exercise Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 2 / 34

Exercise 1 Tentukan kompleksitas waktu Big-Oh untuk relasi rekursi berikut: { 1, n = 1 T (n) = T (n 1) + 1, n 2 (1.1) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 3 / 34

Exercise 2 Tentukan kompleksitas waktu Big-Oh untuk relasi rekursi berikut: { 2, n = 0 T (n) = T (n 1) + T (n 2), n 1 (1.2) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 4 / 34

Metode Karakteristik:Solusi Umum Relasi rekursi dibedakan menjadi dua, yakni relasi rekursi non homogen dan homogen. Penyelesaian menggunakan metode karakteristik, dibedakan berdasarkan tipe dari relasi rekursi. Berikut adalah diberikan tahapan penyelesaian secara umum bentuk relasi rekursif: Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 6 / 34

Rekursif Diberikan bentuk rekursif: T (n) = α 1 T (n 1) + α 2 T (n 2) + + α k T (n k) + f (n) (2.1) dengan: f (n) = t n P d (n) (2.2) P d (n) = b 0 n d + b 1 n d 1 + + b k (2.3) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 7 / 34

Rekursif Langkah pertama dalam menyelesaikan relasi rekursi menggunakan metode karakteristik adalah mengasumsikan bahwa relasi rekursi dalam tipe homogen yakni f (n) = 0, sehingga relasinya: T (n) = α 1 T (n 1) + α 2 T (n 2) + + α k T (n k). (2.4) Selanjutnya dengan memisalkan T (n) = x n, sehingga didapat: x n = α 1 x n 1 + α 2 x n 2 + + α k x n k, (2.5) x n α 1 x n 1 α 2 x n 2 α k x n k = 0. (2.6) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 8 / 34

Rekursif Selanjutnya dengan memisalkan T (n) = x n, sehingga didapat: x n = α 1 x n 1 + α 2 x n 2 + + α k x n k, (2.7) x n α 1 x n 1 α 2 x n 2 α k x n k = 0. (2.8) Kemudian, jika x n k merupakan suku dengan orde terkecil, maka Persamaan (2.8) dibagi dengan x n k menjadi x k α 1 x k 1 α 2 x k 2 α k = 0 (2.9) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 9 / 34

Rekursif Sehingga diperoleh persamaan karakteristik: (x k α 1 x k 1 α 2 x k 2 α k ) (x t) d+1 = 0 (2.10) dengan t dan d didapatkna dari langkah 1 (INGAT suku (x t) d+1 hanya berlaku untuk kasus relasi rekursi NON HOMOGEN, JIka HOMOGEN maka bernilai 1). Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 10 / 34

Rekursif Cari solusi dari Persamaan (2.10). Secara umum, solusi dari persamaan karakteristik ada dua macam kasus: Kasus solusi berbeda: Jika semua akar persamaan karakteristik berbeda {x 1, x 2, x 3, }, maka solusi umumnya adalah: T (n) = c 1 x n 1 + c 2 x n 2 + c 3 x n 3 + (2.11) dengan c 1, c 2, c 3, merupakan konstanta yang harus dicari. Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 11 / 34

Rekursif Kasus solusi sama: Jika semua akar persamaan karakteristik sama {x 1 = x 2 = x 3 = = x}, maka solusi umumnya adalah: T (n) = (c 1 + c 2 n + c 3 n 2 + )x n (2.12) dengan c 1, c 2, c 3, merupakan konstanta yang harus dicari. Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 12 / 34

Algoritma Berikut Algoritma untuk menggunakan Metode Karakteristik: 1 Start. 2 Tentukan bentuk persamaan rekursif. 3 Selesaikan bentuk rekursif dalam bentuk HOMOGEN dan misalkan T (n) = x m, kemudian bagi dengan suku orde terkecil. 4 Bentuk persamaan Karakteristik. 5 Bentuk solusi umum berdasarkan akar-akar persamaan Karakteristik. 6 Temukan koefisien-koefisien dari solusi umum. 7 End. Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 13 / 34

Homogen Berikut akan diberikan contoh-contoh untuk menyelesaikan relasi rekursi bentuk Homogen: Diberikan relasi berikut 0, n = 0 T (n) = 1, n = 1 (3.1) 3T (n 1) 2T (n 2), n 2 Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 15 / 34

Homogen Exercise: diberikan relasi rekursi dari masalah Barisan Fibonacci berikut 0, n = 0 T (n) = 1, n = 1 (3.2) T (n 1) + T (n 2), n 2 Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 16 / 34

Homogen Exercise: diberikan relasi rekursi berikut 0, n = 0 1, n = 1 T (n) = 2, n = 2 7T (n 1) 15T (n 2) + 9T (n 3), n 3 (3.3) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 17 / 34

Non-Homogen Berikut akan diberikan contoh-contoh untuk menyelesaikan relasi rekursi bentuk Non-Homogen: Diberikan relasi rekursi untuk masalah faktorial { 0, n = 0 T (n) = (4.1) T (n 1) + 1, n > 1 Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 19 / 34

Non-Homogen Diberikan relasi rekursi untuk masalah Menara Hanoi { 1, n = 1 T (n) = 2T (n 1) + 1, n > 1 (4.2) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 20 / 34

Non-Homogen Diberikan relasi rekursi untuk masalah Minimum dan Maksimum 0, n = 1 T (n) = 1, n = 2 2T ( (4.3) ) n 2 + 2, n > 2 Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 21 / 34

Teorema Master Pembahasan menggunakan metode karakteristik untuk algoritma rekursif pada bab sebelumnya hanya berlaku untuk kasus umum. Kasus khusus yakni untuk strategi Divide & Conquer, Kompleksitas waktu asimtotik dapat dicari menggunakan teorema Master Theorem (Master) Untuk suatu general Divide and Conquer recurrence: ( n ) T (n) = at + f (n) (5.1) b Jika f (n) O(n d ) dengan d 0, dalam persamaan general Divide and Conquer recurrence di atas, maka O(n d ) a < b d T (n) O(n d log n) a = b d (5.2) O(n b log a ) a > b d Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 23 / 34

Teorema Master Exercise Gunakan Teorema Master untuk mencari kompleksitas waktu asimtotik pada relasi rekursi untuk masalah Minimum dan Maksimum di bawah ini: 0, n = 1 T (n) = 1, n = 2 2T ( (5.3) ) n 2 + 2, n > 2 Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 24 / 34

References References 1 Anany, L. (2003). Introduction to the design and analysis of algorithms. Villanova University. Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 26 / 34

Exercise 1 Selesaikan relasi rekurensi berikut: { 0, n = 1 T (n) = T (n 1) + 5, n 2 (7.1) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 28 / 34

Exercise 2 Selesaikan relasi rekurensi berikut: { 4, n = 1 T (n) = 3T (n 1), n 2 (7.2) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 29 / 34

Exercise 3 Selesaikan relasi rekurensi berikut: { 0, n = 0 T (n) = T (n 1) + n, n > 0 (7.3) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 30 / 34

Exercise 4 Selesaikan relasi rekurensi berikut: { 1, n = 1 T (n) = T (n/2) + n, n > 1 (7.4) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 31 / 34

Exercise 5 Selesaikan relasi rekurensi berikut: { 1, n = 1 T (n) = T (n/3) + 1, n > 1 (7.5) Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 32 / 34

Exercise 6 Diberikan algoritma untuk menghitung jumlah pangkat 3 dari deret, S(n) = n 3 + (n 1) 3 + + 2 3 + 1 3. ALGORITHM S(n) //Input: A positive integer n //Output: The sum of the first n cubes if n = 1 return 1 else return S(n - 1) + n * n * n 1 Tentukan relasi rekursi dari algoritma di atas dan selesaikan. 2 Bandingkan dengan algoritma yang tidak ditulis dengan rekursif. Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 33 / 34

The end of week 4 Thank you for your attention! Dr. Putu Harry Gunawan (Telkom University) Design and Analysis of Algorithm 34 / 34