CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK D. S. Wti 1, M. Imr, L. Deswit 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik Dose Jurus Mtemtik Fkults Mtemtik d Ilmu Pegethu Alm Uiversits Riu Kmpus Biwidy Pekbru (93), Idoesi dewi.setyyo@gmil.com ABSTRACT This pper discusses techique to estimte error i umericl itegrtio methods, which is review d expsio, s well s prtil correctio from the rticle Peter R. Mercer [The College Mthemtics Jourl, 36 (005): 7-34]. After obtiig the error estimtes of the umericl itegrtio methods for sigle itervl, composite error estimte forms re developed, which re oly depedet o the first derivtives of the fuctio. By comprig the error estimtes obtied with error estimtes obtied by polyomil iterpoltio error, it is visible tht the error estimtes obtied for the trpezoidl method d the midpoit method re shrper. This fidig does ot pply to the Simpso method. Keywords: error estimtes, trpezoidl rules, the midpoit rules, Simpso s rules. ABSTRAK Mklh ii mediskusik cr li meetuk tksir error utuk metode itegrl umerik, yg merupk review, pegembg sekligus koreksi sebgi dri rtikel Peter R. Mercer [The College Mthemtics Jourl, 36 (005) : 7-34]. Tksir error yg diperoleh, kemudi dikembgk kebetuk tksir error metode itegrl umerik dlm betuk komposit, yg hy bergtug kepd turu pertm dri fugsi yg k diitegrlk. Mellui perbdig tksir error yg didpt deg tksir error yg diperoleh mellui error iterpolsi poliomil, terliht bhw tksir error yg didpt utuk metode trpesium d metode titik tegh lebih tjm. Hl ii tidk berlku utuk metode Simpso. Kt kuci: tksir error, metode trpesium, metode titik tegh, metode Simpso. 1
1. PENDAHULUAN Di dlm klkulus peyelesi itegrl tetu didsrk kepd Teorem Dsr Klkulus, yitu f (x) dx (1) f (x) dx = F (b) F (), deg F (x) tiderivtif dri f (x). Ak tetpi jik tiderivtif dri f (x) rumit tu tidk dpt disjik dlm betuk fugsi-fugsi elemeter, misly f(x) = e x, mk Teorem Dsr Klkulus tidk dpt diguk [1, h.60]. Utuk meyelesik itegrl tetu (1) dlm ksus seperti ii dpt diguk metode itegrl umerik, yitu deg megproksimsi f (x) deg iterpolsi polyomil P (x) sehigg: f (x) dx P (x) dx. Mellui cr ii dihrpk solusi hmpir yg diperoleh tidk juh berbed dri ili eksk. Selisih tr solusi eksk d solusi hmpir ii dimk error (keslh). Error dri proksimsi ii didefiisik deg: E = f (x) dx P (x) dx. Mislk f : [, b] R d f kotiu pd [, b]. Beberp metode umerik yg dpt diguk utuk megproksimsi itegrl tetu (1) dlh metode trpesium [1, h.604] T (f) = b [f () + f (b)], () metode titik tegh [6, h.1] ( ) + b M (f) = (b ) f, (3) d metode Simpso klsik yg didefiisik deg S (f) = 1 3 T (f) + 3 M (f) = b [ ( ) + b f () + 4f 6 ] + f (b). (4) Dibuku-buku yg mediskusik metode umerik dibhs tksir error dri metode trpesium [1, h.604], titik tegh [6, h.1] d Simpso [5, h.17] secr litik yg dituruk deg megguk error iterpolsi poliomil. Pd
mklh ii dibhs cr li meetuk tksir error metode trpesium, metode titik tegh, d metode Simpso, yg hy melibtk turu pertm. Pembhs merupk review sekligus melegkpi d megoreksi sebgi dri rtikel Peter R. Mercer [4], yg judul Error Estimtes For Numericl Itegrtio Rules.. CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK Tksir error dri metode umerik yg didiskusik disii bergkt dri sumsi dy fugsi f(x) yg terbts d fugsi g(x), yg memeuhi g(x)dx = 0, sehigg Lem 1 berlku, yitu Lem 1 [4] Mislk f d g fugsi teritegrlk pd [, b], deg m f M pd [, b] d g (x)dx = 0. Mk f (x) g (x)dx 1 (M m) g (x) dx. (5) Bukti. Kre g (x)dx = 0, deg m f M, mk sehigg m + M g (x)dx = 0, (6) b f (x) g (x)dx = f(x)g(x) b m + M dx g(x)dx = 1 (f(x) (m + M))g(x)dx f (x) g (x)dx = 1 (f (x) M m) g (x)dx. (7) Deg megguk sift itegrl utuk ili mutlk [3, h.3], mk persm (7) mejdi f (x) g (x)dx 1 ( f(x) M + f(x) m ) g(x) dx. () Dikethui m f M, kre m f(x) mk 0 f(x) m, d f(x) M mk f(x) M 0. Jdi, f(x) M = (f(x) M) = f(x) + M d f(x) m = f(x) m. Jdi persm (), mejdi f (x) g (x)dx 1 (M m) g(x) dx. 3
Tksir Error Metode Trpesium Mislk f(x) mempuyi turu pertm yg kotiiu pd [.b] d defiisik ( ) + b g (x) = x, (9) mk g(x)dx = ( x ( + b )) dx = 0. Terliht fugsi g(x) pd (9) memeuhi syrt pd Lem 1. Jik Lem 1 dipliksik utuk g(x) seperti (9), mk diperoleh f (x) g (x)dx 1 (M m ) x + b dx, (10) deg M = mx x [,b] f (x) d m = mi x [,b] f (x). Deg meghitug itegrl di rus k (10) d megigt b + b. (11) diperoleh f (x) g (x)dx 1 (M m ) 1 4 (b ), (1) Sekrg deg mesubstitusik g(x) pd (9) ke (1) d meerpk itegrl sebgi [, h.] diperoleh f (x) g (x)dx = f (b) + f () b (b ) f (x)dx. (13) Dri persm (1) d persm (13), didpt f (b) + f () b (b ) f (x)dx (b ) (M m ). (14) Hsil diskusi di ts dpt diytk dlm betuk Teorem. Teorem (Tksir Error Metode Trpesium) Mislk terdpt f fugsi kotiu yg terdiferesilk pd [, b]. Mk deg f (x)dx f (b) + f () (b ) (b ) (M m ), (15) 4
M = mx x [,b] f (x) d m = mi x [,b] f (x). Seljuty utuk medptk formul tksir error metode trpesium komposit, itervl [, b] diprtisi mejdi sub itervl deg, d h = b, mk f(x)dx = x1 x 0 f(x)dx + = x 0 < x 1 < x < < x = b x x 1 f(x)dx + x3 x f(x)dx + + x Seljuty dri persm (15), utuk semu subitervl diperoleh x1 f (x)dx = f (x 1) + f (x 0 ) (x 1 x 0 ) + (x 1 x 0 ) (M 1 m x 0 1), f (x)dx = f (x ) + f (x 1 ) (x x 1 ) + (x x 1 ) (M m x 1 ), x x. =. f (x)dx = f (x ) + f (x 1) x 1 Sehigg dri persm (16) diperoleh x 1 f(x)dx. (16) (x x 1 ) + (x x 1 ) (M m ). deg E T = E T = (b ) (M m ). (17) ( f (x)dx h 1 f() + f ( + kh) + f (b)), k=1 M = i=1 M i d m = i=1 m i Persm (17) dlh tksir error metode trpesium komposit d merupk koreksi dri kekeliru yg terdpt pd rtikel Peter R. Mercer [4]. Tksir Error Metode Titik Tegh Mislk f mempuyi turu pertm yg kotiiu pd [, b], d defiisik. mk g(x) = g(x)dx = { [ ) x jik x, +b ; x b jik x [ +b, b], +b (x )dx + +b (x b)dx = 0. (1) 5
Jdi g(x) pd (1) memeuhi sumsi Lem 1. Jik Lem 1 dipliksik utuk g(x) pd (1), mk deg megikuti proses pd proses meemuk tksir error metode trpesium d deg megigt sift ili mutlk diperoleh f (x)g(x)dx 1 (M m ) 1 4 (b ). (19) Bil rus kiri (19) deg g(x) seperti (1) dihitug deg megguk itegrl sebgi d megigt sift itegrl c f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx deg c c [, b] diperoleh ( ) f (x)g(x)dx + b b = f (b ) f(x)dx. (0) Dri persm (19) d persm (0) ditujukk ( ) + b b f (b ) f(x)dx (b ) (M m ). (1) Hsil diskusi di ts dpt disjik dlm Teorem 3. Teorem 3 (Tksir Error Metode Titik Tegh) Mislk f fugsi kotiu yg terdiferesilk pd [, b]. Mk f(x)dx (b )f( + b ) (b ) (M m ), () deg M = mx x [,b] f (x) d m = mi x [,b] f (x), Tksir error metode titik tegh komposit dpt diperoleh deg memprtisi itervl [, b] mejdi sub itervl deg, mk deg = x 0 < x 1 < x < < x = b, d h = b 1 ( f(x)dx = hf M k+1 = k=0 ( xk + x k+1 ) + h ( ) ) M k+1 m k+1. mx f (x) d m k+1 = mi f (x). x [x k,x k+1 ] x [x k,x k+1 ] Seljuty deg megikuti prosedur yg sm seperti meuruk tksir error metode trpesium komposit dpt ditujukk E M = (b ) (M m ), (3) 6
deg E M = f (x)dx h ( ) xk + x k+1 f, M = k=0 i=1 M i, m = i=1 m i. Persm (3) dlh tksir error metode titik tegh komposit dri pliksi Lem 1. Tksir Error Metode Titik Tegh Metode Simpso dpt disjik sebgi kombisi lier dri metode trpesium d titik tegh, yitu [5, h.13] S(f) = 1 3 T (f) + M(f). (4) 3 Seljuty deg memperhtik (4) dipilih g(x) deg betuk { 1 g(x) = g 3 T + g 3 M jik x [ ), +b ; 1 g 3 T + g 3 M jik x [ +b, b], (5) deg g T d g M berturut-turut dlh g(x) utuk metode trpesium d titik tegh yg diberik oleh persm (9) d persm (1). Jdi persm (5) dpt ditulis g(x) = { x 5+b jik x [ ), +b 6 ; x +5b jik x [ +b, b], 6 (6) d deg mudh dpt ditujukk bhw persm (6), memeuhi sumsi Lem 1, yitu g(x)dx = 0. Deg megikuti prosedur yg sm seperti dlm meuruk tksir error metode trpesium, d megigt x 5 + b { 5+b 6 = x jik x 5+b ; 6 6 x 5+b jik 5+b x < +b 6 6 d x + 5b { +5b 6 = x jik +b < x +5b 6 x +5b jik +5b < x b, 6 6 mk tksir error metode Simpso dpt ditujukk setelh meytk x 0 =, x 1 = +b, x = b d x x 0 = h sebgim Teorem 4. 6 ; 7
Teorem 4 (Tksir Error Metode Simpso) Terdpt f fugsi kotiu yg terdiferesilk pd [x 0, x ]. Mk x f(x)dx h x 0 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x )] 5 1 (h) (M m ), (7) deg M = mx x [x0,x f (x) d m = mi x [x0,x ] f (x), Jik itervl [, b] diprtisi mejdi sub itervl deg, = x 0 < x 1 < x < < x = b d h = b, mk deg megikuti prosedur yg sm seperti pd tksir error metode trpesium diperoleh f (x)dx = h 3 k=1 [f(x k ) + 4f(x k 1 ) + f(x k )] + 5h 1 (M k m k), () k=1 deg Jdi deg M k = E S = mx f (x) d m k = mi f (x). x [x k,x k ] x [x k,x k ] E S = f(x)dx h 3 5(b ) (M m ). (9) [f(x k ) + 4f(x k 1 ) + f(x k )], k=1 M = k=1 M k d m = k=1 m k Persm (9) dlh tksir error metode Simpso komposit dri pliksi Lem 1.. 3. PERBANDINGAN NUMERIK Pd bgi ii dibhs perbdig umerik tksir error utuk metode trpesium, titik tegh d Simpso yg telh dibhs pd Bgi deg error eksk (error yg didpt deg megurgk itegrl eksk deg peghitug itegrl deg metode yg didiskusik) d tksir error yg dituruk megguk error iterpolsi. Semu komputsi megguk progrm komputer Mtlb 7.0.1. Adpu fugsi-fugsi yg diguk dlm melkuk perbdig tksir error utuk ketig metode yg didiskusik dlh
1. (e x + 1)dx. (x e x 3x)dx, deg [, b] = [1, 4] d = 1, 10, 100, 1000, dim meujukk jumlh prtisi yg dilkuk utuk meerpk rumus komposit. Hsil komputsi utuk metode trpesium diberik pd Tbel 1 d Tbel, yg meujukk bhw ili tksir error metode trpesium yg diperoleh dri pliksi Lem 1 (E T ) lebih kecil dibdigk ili tksir error yg diperoleh deg iterpolsi (E IT ), sebgim diberik [1, h.604]. Tbel 1: Tksir Error Metode Trpesium utuk (e x + 1)dx Error Eksk E IT E T 1.973e-001.773e-001 3.936e-001 10.617e-003.773e-003 3.936e-003 100.617e-005.773e-005 3.936e-005 1000.617e-007.773e-007 3.936e-007 Tbel : Tksir Error Metode Trpesium utuk (x e x 3x)dx Error Eksk E IT E T 1.9595e+001 1.135e+00 5.1615e+001 10 3.435e-001 1.135e+000 5.1615e-001 100 3.4409e-003 1.135e-00 5.1615e-003 1000 3.4410e-005 1.135e-004 5.1615e-005 Kesimpul yg sm jug terliht ketik membdigk tksir error metode titik tegh yg diperoleh dri pliksi Lem 1 (E M ) deg ili tksir error yg diperoleh deg iterpolsi (E IM ) yg terdpt pd [6, h.1], sebgim diberik Tbel 3 d Tbel 4. Tbel 3: Tksir Error Metode Titik Tegh utuk (e x + 1)dx Error Eksk E IM E M 1 1.0331e-001 4.136e-001 3.936e-001 10 1.3074e-003 4.136e-003 3.936e-003 100 1.310e-005 4.136e-005 3.936e-005 1000 1.3109e-007 4.136e-007 3.936e-007 Tbel 4: Tksir Error Metode Titik Tegh utuk (x e x 3x)dx Error Eksk E IM E M 1 1.30e+001 5.9173e+001 5.1615e+001 10 1.7154e-001 5.9173e-001 5.1615e-001 100 1.704e-003 5.9173e-003 5.1615e-003 1000 1.705e-005 5.9173e-005 5.1615e-005 9
Kesimpul yg berbed didpt ketik membdigk hsil komputsi ili tksir error metode Simpso (E S ) yg diperoleh dri pliksi Lem 1 deg ili tksir error yg diperoleh deg iterpolsi (E IS ) yg terdpt pd [5, h.17], seperti terliht pd Tbel 5 d Tbel 6 Tbel 5: Tksir Error Metode Simpso utuk (e x + 1)dx Error Eksk E IS E S 1 7.7037e-003 3.1040e-00.14e-001 10 9.05e-007 3.1040e-006.14e-003 100 9.31e-011 3.1040e-010.14e-005 1000 7.9936e-015 3.1040e-014.14e-007 Tbel 6: Tksir Error Metode Simpso utuk (x e x 3x)dx Error Eksk E IS E S 1 1.1433e+000 4.6067e+000 3.45e+001 10 1.455e-004 4.6067e-004 3.45e-001 100 1.4591e-00 4.6067e-00 3.45e-003 1000 1.4353e-01 4.6067e-01 3.45e-005 Secr keseluruh dpt disimpulk bhw tksir error yg diperoleh deg pliksi Lem 1 utuk metode trpesium d metode titik tegh lebih tjm dibdigk deg tksir error yg diperoleh deg iterpolsi. Sedgk keutug yg didpt deg tksir error yg diperoleh deg pliksi Lem 1 utuk metode Simpso dlh hy memerluk turu pertm dri fugsi yg diitegrlk. DAFTAR PUSTAKA [1] Apostol, T. M. 1967. Clculus d Lier Algebr Vol., Secod Editio. Joh Wiley & Sos Ic., New York. [] Brtle, R. G. 1967. The Elemets of Rel Alysis, Revised First Editio. Joh Wiley & Sos Ic., New York. [3] Lg, S. 1973. A First Course i Clculus, Third Editio. Wesley Publishig Compy Ic., Philippies. [4] Mercer, P. R. 005. Error Estimtes For Numericl Itegrtio Rules. The College Mthemtics Jourl 36: 7-34. [5] Phillips, G. M. 003. Iterpoltio d Approximtio by Polyomils. Spriger-Verlg Ic., New York. [6] Wood, A. 1999. Itroductio to Numericl Alysis. Addiso Wesley Logm Limited, Hrlow. 10