Jurnal Matematika UNAND Vol 1 No 2 Hal 52 59 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN SISTEM DESKRIPTOR LINIER DISKRIT BEBAS WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI KANONIK USWATUN HASANAH Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, hasanuswatunhasanah@gmailcom Abstract The linear discrete descriptor systems are used in many applications, especially in mathematical modeling for biology, economics and electrical engineering In this paper, the solving of invariant time linear discrete descriptor systems using the canonical decomposition method was studied The canonical decomposition method reduces the systems under consideration into two simple subsystems The solution is obtained from two simple subsystems An example is given to illustrate this method Kata Kunci: Linear discrete descriptor systems, canonical decomposition method 1 Pendahuluan Diberikan sistem deskriptor linier diskrit berikut: Ex(k + 1 Ax(k + Bu(k, x(0 x 0, (11 di mana E, A R n n, B R n m, dan k Z + Dalam sistem deskriptor linier (11, x(k R n menyatakan vektor keadaan (state, u(k R m menyatakan vektor input (kontrol, dan k menyatakan waktu Hal yang menarik untuk dikaji dari sistem deskriptor linier diskrit bebas waktu adalah penentuan solusi dari sistem (11 apabila E adalah matriks singular Sistem (11 dikatakan regular apabila det(γe A 0 untuk suatu γ R Sistem regular (11 dapat diselesaikan dengan banyak metode Dalam [2], sistem regular (11 diselesaikan dengan menggunakan invers Drazin dan dengan mengambil transformasi z terhadap sistem (11 tersebut Dalam tulisan ini akan dikaji tentang penyelesaian sistem deskriptor linier diskrit regular (11 dengan E adalah singular dengan menggunakan metode dekomposisi kanonik, yang diturunkan dari penyelesaian sistem deskriptor linier kontinu regular sebagaimana yang telah dikaji oleh Yip and Sincovec [3] 52
Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu 53 2 Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu dengan Menggunakan Metode Dekomposisi Kanonik Teorema 21 [1] Sistem (11 dikatakan regular jika dan hanya jika terdapat matriks nonsingular Q, P R n n sedemikian sehingga In A QEP dan QAP, (21 0 N 0 I n2 di mana A 1 R n1 n1, N R n2 n2, n 1 + n 2 n, dan matriks N adalah nilpotent dengan indeks nilpotensi h Bukti ( Misalkan sistem (11 regular Maka det(γe A 0 untuk suatu γ R, sehingga (γe A ada Misalkan Maka Ê (γe A E dan  (γe A A  (γe A (γe + A γe (γe A ( (γe A + γe I + γ(γe A E γê I Karena E singular, maka Ê juga singular Akibatnya, terdapat matriks nonsingular T R sedemikian sehingga T E ÊT, 0 E 2 di mana E 1 R n1 n1 adalah nonsingular dan E 2 R n2 n2 adalah nilpotent Akibatnya, (γe 2 I adalah nonsingular Perhatikan kesamaan berikut (αe A (α γe + (γe A (22 untuk suatu α R Kalikan kedua ruas kesamaan (22 dengan (γe A Maka diperoleh (γe A (αe A (α γ(γe A E + I (α γê ( + I E (α γt T + I (23 0 E 2 Dapat dilihat bahwa (23 ekivalen dengan T (γe A E (αe AT (α γ + I 0 E 2 (α γe1 + I n 0 (α γe 2 + I n2 (α γe1 + I n (24 0 (γe 2 I n2 + αe 2
54 Uswatun Hasanah Selanjutnya kalikan kedua ruas (24 dengan ( E 0 (γe 2 I n2, sehingga diperoleh ( E 0 (γe 2 I n2 ( E T (γe A (αe AT (α γe1 + I n 0 (γe 2 I n2 0 (γe 2 I n2 + αe 2 ( (α γin1 + E 0 α(γe 2 I n2 E 2 I n2 ( In γin1 E α 0 (γe 2 I n2 E 2 0 I n2 Tuliskan ( E 0 (γe 2 I n2 T (γe A Q dan T P (25 Dari (25 diperoleh In A Q(αE AP α, 0 N 0 I n2 di mana N (γe 2 I n2 E 2 dan A 1 γi n1 E1 Jadi, diperoleh Q dan P, sehingga (21 berlaku ( Misalkan terdapat matriks nonsingular Q, P R sedemikian sehingga (21 berlaku untuk suatu A 1 R n1 n1, N R n2 n2, n 1 +n 2 n, dan matriks N adalah nilpotent dengan indeks nilpotensi h Misalkan γ σ(a 1 Tanpa mengurangi keumuman, misalkan γ R Maka det(γi n1 A 1 0 Tuliskan Selanjutnya det(γn I n2 ( n2 (26 det(γe A det(γq QEP P Q QAP P det(q det(γqep QAP det(p ( det(q In A det γ 0 N 0 I n2 det(p (27 Karena (26, maka (27 dapat ditulis sebagai berikut det(γe A det(q det(γi n1 A 1 ( n2 det(p ( n2 det(q det(γi n1 A 1 det(p 0 Akibatnya, sistem (11 adalah regular
Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu 55 Perhatikan kembali ( sistem deskriptor regular (11 Selanjutnya misalkan x(k B1 P y(k dan QB untuk suatu Q, P adalah nonsingular, dan y R n Maka B 2 sistem (11 dapat ditulis menjadi QEP y(k + 1 QAP y(k + ( B1 B 2 u(k Dengan menggunakan Teorema 1, maka sistem (11 dapat ditulis menjadi In A B1 y(k + 1 y(k + u(k, (28 0 N 0 I n2 dengan syarat awal y(0 P x(0 Hubungan (28 memperlihatkan bahwa sistem (11 dapat direduksi menjadi dua subsistem, yaitu dan di mana y 1 R n1 dan y 2 R n2 y 1 (k + 1 A 1 y 1 (k + B 1 u(k, y 1 (0 y 10 (29 Ny 2 (k + 1 y 2 (k + B 2 u(k, y 2 (0 y 20, (210 B 2 Teorema 22 [1] Untuk sebarang vektor input u(k, solusi subsistem (29 adalah tunggal dan solusinya diberikan oleh k y 1 (k A k 1y 1 (0 + A k j 1 B 1 u(j (211 j0 Selanjutnya dengan mengambil transformasi z dari persamaan (29 diperoleh Y 1 (z (zi A 1 zy 1 (0 + (zi A 1 B 1 U(z (212 Dengan mengambil transformasi z invers dari persamaan (212 diperoleh y 1 (k Z [(zi A 1 z]y 1 (0 + Z [(zi A 1 B 1 U(z] (213 Dengan membandingkan persamaan (211 dengan (213 diperoleh A k 1 Z [(zi A 1 z] dan k A k j 1 B 1 u(j Z [(zi A 1 B 1 U(z] j0 Teorema 23 [1] Untuk sebarang vektor input u(k, solusi subsistem (210 adalah tunggal, yaitu h y 2 (k N j B 2 u(k + j, k Z + (214 j0
56 Uswatun Hasanah Dari (211 dan (214, diperoleh solusi dari sistem (11, yaitu ( A k x(k P 1y 1 (0 + k j0 Ak j 1 B 1 u(j h j0 N j B 2 u(k + j Berdasarkan Teorema 1, 2, 3, maka dapat diuraikan prosedur untuk menentukan penyelesaian sistem (11, yaitu sebagai berikut: (1 Periksa kekonsistenan kondisi awal x(0 x 0 terhadap sistem (11 (2 Periksa keregularan sistem (11 dengan memisalkan γ R sebagai suatu konstanta riil sebarang yang memenuhi det(γe A 0 (3 Tentukan Ê (γe A E (4 Tentukan matriks T ÊT untuk memperoleh E 1, E 2, dan T sedemikian sehingga Ê dan T ÊT similar (5 Tentukan Q dan P dengan menggunakan (25 dan selanjutnya tentukan QEP, QAP, dan QB untuk memperoleh A 1, N, B 1, dan B 2 (6 Misalkan didefinisikan sistem baru x(k P y(k dengan kondisi awal y(0 P x(0 Reduksi sistem baru tersebut menjadi dua subsistem, yaitu (29 dan (210, kemudian tentukan kondisi awal y 1 (0 dan y 2 (0 berturut-turut dari subsistem (29 dan (210 (7 Tentukan penyelesaian dari subsistem (29 dan (210 tersebut berturut-turut dengan menggunakan (211 dan (214 (8 Dari poin 7 yang telah diperoleh, tentukan sistem x(k P y(k Sistem x(k yang diperoleh merupakan solusi akhir dari sistem (11 3 Contoh Contoh berikut mengilustrasikan bagaimana proses penyelesaian sistem deskriptor linier diskrit bebas waktu, di mana contoh yang diberikan merupakan sistem yang regular, kondisi awal x(0 x 0 yang konsisten, dan vektor input berupa polinomial Diberikan sistem deskriptor linier diskrit dengan Ex(k + 1 Ax(k + Bu(k, (31 0 0 E 0 0 0, A 0 1, B 1 2 0, 0 x(0 k 2, dan u(k k + 3 k 2 + 1 4 untuk k 0, 1, 2, 3, Akan ditentukan solusi dari sistem (31 ini Misalkan γ 1 Maka det(γe A 1 0
Selanjutnya misalkan Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu 57 Ê (γe A E 1 0 0 Karena setiap matriks bujursangkar similar dengan suatu matriks Jordan, maka terdapat matriks nonsingular T R n n sedemikian sehingga 1 0 T E ÊT 0 0 0 E 2 0 Dalam hal ini E 1 1 1, E 2 0 1 0 1, dan T 0 0 0 0 0 Dengan menggunakan (25 diperoleh 0 0 0 0 Q 0 0 dan P 0 0 0 0 Selanjutnya 0 0 1 2 QEP 0 0 0, QAP 0, dan QB 0 0, 0 sehingga diperoleh ( 0 1 A 1 Misalkan dengan, N 0 1 2, B 1, dan B 2 x(k P y(k, y(k y1 (k y 2 (k 0 0 Maka sistem (31 dapat ditulis menjadi k 2 0 1 1 2 y 1 (k + 1 y (k + k + 3 (32 k 2 + 1
58 Uswatun Hasanah dan dengan kondisi awal 0 y 2 (k + 1 y 2 (k + y 1 (0 0 0 5 dan y 2 (0 k 2 k + 3 k 2 + 1 Dengan menggunakan (211, maka solusi sistem (32 adalah k k 0 1 y 1 (k + ( Z z 0 1 j0 k j 0 1 1 2 0 0 1 z 3k 2 7k + 2 3δ 0 (k + Dengan menggunakan (214, maka solusi sistem (33 adalah h y 2 (k j0 ( 0 ( k 2 + 3k + 5 k 2 1 Jadi, solusi sistem (31 adalah x(k P y(k j 0 0, (33 (k + j 2 k + j + 3 (k + j 2 + 1 z 2 +z (z 1 2 3 3z 2 2z (z 2 z 3 z 2 +2z (z 3 (k + j 2 k + j + 3 (k + j 2 + 1 3k 2 7k + 2 3δ 0 (k k 2 1 4k 2 + 4k 7 + 3δ 0 (k 4 Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr Muhafzan, Dr Admi Nazra, Dr Lyra Yulianti, Dr Dodi Devianto, dan Bapak Efendi, MSi yang telah memberikan masukan dan saran, sehingga tulisan ini dapat diselesaikan dengan baik Daftar Pustaka [1] Duan, GR 2010 Analysis and Design of Descriptor Linear Systems Springer, New York [2] Kaczorek, T 1992 Linear Control Systems Volume 1 Research Studies Press LTD, England
Penyelesaian Sistem Deskriptor Linier Diskrit Bebas Waktu 59 [3] Yip, EL, and RF Sincovec 1981 Solvability, controllability, and observabillity of continuous descriptor systems IEEE Trans Automat Control 26 (3 : 702-706