Persmn Gris Singgung SMA Snt Angel Bndung P g e
P g e
Persmn Gris Singgung pd Ellips Seperti hln pd lingkrn, terdpt du mcm gris singgung ng kn diicrkn, itu gris singgung ng mellui slh stu titik pd ellips dn gris singgung ng mempuni kemiringn tertentu. A. Persmn Gris Singgung ng mellui titik di Ellips. Mislkn P(x, ) titik pd ellips x = () mk titik P kn memenuhi persmn () itu x = () Persmn gris singgung ellips di titik P merupkn nggot kelurg gris ng mellui P(x, ) dn erentuk: = m(x x ) (3) Jik persmn (3) disustitusikn ke persmn () mk kn diperoleh persmn kudrt dlm x itu: x ( m( x x ) ) = ( )x (m x m )x (m x mx ) = 0 (4) 3 P g e
Kren gris (3) meninggung kurv () mk dri pengethun ljr hruslh persmn (4) mempuni kr ng sm. Hl ini errti nili diskriminn persmn kudrt di ts ernili nol, itu [ (m x m )] 4( ) (m x mx ) = 0 ( x )m x m ( ) = 0 x ( )m x m ( ) = 0 Sustitusi persmn () ke persmn terkhir kn memerikn persmn kudrt dlm m itu m x m x = 0 (5) Dri persmn (5) diperoleh selesin untuk m itu x m = (6) Jik persmn (6) disustitusikn ke persmn (3) diperoleh persmn gris singgung ellips di titik P itu x x x = (7) Dengn persmn () persmn gris singgung direduksi menjdi x x = (8) 4 P g e
Apil titik P(x, ) tidk terletk pd lingkrn, mk persmn (8) diseut persmn polr terhdp titik P dn titik P diseut titik polr. Jik ellips dlm entuk ku ng erpust di (h, k), itu ( x h) ( k) = (9) mk persmn gris singgung ellips dengn persmn erentuk (9) di titik P(x, ) ng terletk di ellips terseut dpt diperoleh dri persmn (8) dengn mentrnslsikn sumu koordint sedemikin hingg pust sumu O(0, 0) ergeser ke titik O ( h, k). Mislkn sumu ru hsil trnslsi dlh X dn Y, dn koordint ru dlh x dn, mk huungn koordint ru dn koordint lm dlh: x = x h dn = k (0) Koordint titik P(x, ) jug menglmi peruhn terhdp sistem koordint ru itu x = x h dn = k () Selnjutn dengn mensustitusikn persmn (0) dn () ke persmn (8) kn diperoleh ( x ' ' h)( x h) ' ' ( k)( k) = () Jik tnd ksen( ) dihilngkn mk diperoleh persmn gris singgung ellips (9) di titik P(x, ) ng terletk pd ellips terseut dlh 5 P g e
( x h)( x h) ( k)( k) = () Dengn cr ng sm dpt ditentukn persmn gris singgung ellips dengn persmn ( k) ( x h) = (3) di titik P(x, ) ng terletk pd ellips terseut dierikn oleh persmn ( k)( k) ( x h)( x h) = (4) Persmn () jik dijrkn leih lnjut kn menghsilkn x x h(x x) k( ) ( h k ) = 0 (5) Sedngkn penjrn persmn (9) dlm entuk umum dlh x hx k ( h k ) = 0 (6) Dengn memperhtikn persmn (5) dn (6) mk secr umum dpt disimpulkn hw persmn gris singgung ellips dlm entuk umum Ax C Dx E F = 0 di titik (x, ) ng terletk pd ellips terseut dierikn oleh: Ax x C ½ D(x x) ½ E( ) F = 0 (7) 6 P g e
Untuk memudhkn mengingt, hw persmn gris singgung ellips dlm entuk umum di semrng titik (x, ) pd ellips dpt ditemukn dengn cr menggnti suku-suku pd persmn segi erikut: x dignti dengn x x dignti dengn x dignti dengn ½(x x) dignti dengn ½( ) Hrus diingt hw cr di ts dpt dilkukn hn jik titik (x, ) erd pd ellips. Akn tetpi metod di ts jug dpt digunkn segi metod lterntif untuk mencri persmn gris singgung ellips ng mellui seuh titik di lur ellips terseut. Ex : Jw: Tentukn persmn gris singgung ellips x 4 = 40 di titik (, 3). x 4 = 40 x 40 0 = Dengn persmn (8) diperoleh persmn gris singgung ng dicri, itu x 3 40 0 = x 6 0 = 0 7 P g e
Grfik persmn ellips dn gris singgungn dpt diliht di gmr erikut Ex : Jw: Gmr 5.8: Tentukn persmn gris singgung ellips 9x 4 8x 30 = 0 di titik (, 3). Dpt diperlihtkn hw titik (, 3) terletk pd ellips terseut. Selnjutn dengn menggunkn persmn (7), persmn gris singgung ng dicri dlh 9 x 4 ( 3) ½ 8( x) ½ ( 3 ) 30 = 0 9x 5 = 0 Ex 3: Tentukn persmn gris singgung ellips 9x 8x 4 7 = 0 ng mellui titik (0, ). Jw: 8 P g e
Jels hw titik (0, ) tidk terletk pd ellips terseut. Dlm hl ini kit tidk is menggunkn persmn (7) secr lngsung. Mislkn (x, ) dlh titik singgung dri gris singgung ellips ng mellui (0, ). Mk persmn gris singgung ng dicri dlm entuk 9x x 4 ½ 8(x x) ½ ( ) 7 = 0 9x x 4 9x 9x 7 = 0 (8) Kren gris singgung mellui titik (0, ), mk persmn di ts hrus memenuhi koordint (0, ), sehingg 9x 0 4 9x 9 0 7 = 0 = x 5/9 (9) Tetpi titik (x, ) erd pd ellips, kitn erlku huungn 9x 4 8x 7 = 0 (0) Sustitusi persmn (9) ke (0) diperoleh persmn kudrt dlm x, 053x 936x 377 = 0 ng memerikn penelesin untuk x = 9 4 35. Dengn demikin 5 jug diperoleh nili =. Jdi koordint titik-titik singgungn 3 4 5 5 pd ellips dlh, 9 3 4 5 5 dn, 3 9 3. 3 Selnjutn dengn persmn (7) dpt diterpkn pd ksus ini 9 P g e
untuk mendptkn persmn gris singgung ng dicri tu mensustitusikn nili-nili (x, ) ke persmn (8). Terdpt du gris singgung ng dicri. 4 5 5 Pertm ng mellui titik, 9 3 3 dlh 4 5 9 9 x 4 5 4 5 3 9 3 9 3 9x 5 7=0 3 (3 3 5 )x (5 3 4 5 ) (0 3 8 5 ) = 0 4 5 5 Dn kedu ng mellui titik, 9 3 3 dlh 4 5 9 9 x 4 5 4 5 3 9 3 9 3 9x 5 7= 0 3 (3 3 5 )x (5 3 4 5 ) (0 3 8 5 ) = 0 B. Persmn Gris Singgung ng mempuni Kemiringn Tertentu. Sekrng kit icrkn gris singgung sutu ellips ng mempuni kemiringn tertentu. Pertm mislkn kn dicri persmn gris singgung ellips 0 P g e
x = () dn mempuni kemiringn m (liht gmr 5.9). l : Y l : O X Gmr 5.9: Kren kemiringn gris singgung l sudh dikethui mk gris l merupkn nggot erks gris ng erentuk = mx c () dengn c prmeter konstnt ng elum dikethui. Jik persmn gris () disustitusikn ke persmn ellips () kn diperoleh huungn x ( mx c) = ( m )x mc x ( c ) = 0 Oleh kren gris meninggung ellips mk hruslh memotong pd stu titik sj, dengn kt lin persmn kudrt di ts hruslh mempuni penelesin ng kemr. Hl itu errti nili diskriminnn hruslh nol, itu P g e
(mc ) 4( m )( c ) = 0 dn memerikn penelesin untuk nili c c = ( m ) c = m Jdi persmn gris singgung ng dicri dlh = mx m (3) Sedngkn persmn gris singgung pd ellips dengn persmn ku umum ( x h) ( k) = ng mempuni kemiringn m dierikn oleh: k = m(x h) m (4) Ex 4: Tentukn persmn gris singgung ellips ng tegk lurus gris x 3 = 0. Jw: ( x ) 5 ( 3) 6 = Mislkn m dlh kemiringn gris singgung ng dicri. P g e
Gris x 3 = 0 mempuni kemiringn /3, sedngkn gris singgung ng dimint tegk lurus dengn di ts, ng errti perklin ntr kemiringn gris =. Jdi 3 m.( ) = tu m =. 3 Berdsrkn rumus (4) mk persmn gris singgung ng dicri dlh : 3 3 = (x ) 3 5 4 3 3 = x 3 89 3 = 3 x 3.7 6 = 3x 6 7 3x 7 = 0 Jdi persmn gris singgung ng dicri dlh C. Terpn Ellips 3x 5 = 0 dn 3x 9 = 0 Ellips mempuni nk terpn di dlm ilmu pengethun mupun seni. Pegs pd sistem suspensi moil sering erentuk elliptik tu semi elliptik. 3 P g e
Dlm stronomi, lintsn edr plnet dn stelit erup ellips, di mn mthri erd pd slh stu fokusn. Hl ini seperti dijelskn pd hukum Keppler tentng gerk edr plnet. Dlm idng konstruksi dn rsitektur, lengkungn jemtn kdngkdng erentuk ellips, sutu entuk ng mempuni efek kekutn dn nili seni. Ad stu sift pliktif pd ellips erkenn dengn pntuln ellips. Perhtikn gmr 5.0. erikut. T F P Gmr 5.0: F PT dlh semrng gris singgung ellips ng dengn fokus di F dn F'. Mislkn ukurn sudut ntr FP dengn PT dlh, dn ukurn sudut ntr F P dengn PT dlh, mk dpt ditunjukkn hw = (liht ltihn 5 C no. ). Oleh kren itu sinr ch ng memncr dri sumer di slh stu fokus cermin 4 P g e
elliptik ng mengeni cermin kn dipntulkn sepnjng gris ng mellui fokus linn. Sift ellips ini digunkn dlm sermi isikn dengn lngit-lngit ng mempuni penmpng erup lengkungn ellips dengn fokus ng sm. Seseorng ng erdiri di slh stu fokus F dpt mendengn isikn orng lin pd fokus F ng lin se gelomng sur ng ersl dri pemisik di F mengeni lngit-lngit dn oleh lngit-lngit dipntulkn ke pendengn di F. Contoh termshur sermi isikn d di wh kuh gedung Cpitol di Wshington, D.C. Yng lin d di Mormon Terncle di Slt Lke Cit. Ltihn Sol. Pd gmr 5.0. uktikn hw =. ( x ) ( ). Tentukn persmn gris singgung ellips = pd 5 6 titik potong dengn sumu-. Berp kemiringn gris singgung terseut? 3. Tentukn persmn gris singgung ellips 4x 8x 6 9 = 0 di titik ( 3 ; ). 4. Tentukn persmn gris singgung ellips 6x 5 400 = 0 ng mempuni kemiringn. 5. Tentukn persmn gris singgung ellips 6x 5 50x 64 = 3 ng mempuni kemiringn /3. 5 P g e
6. Tentukn persmn gris singgung ellips 4x 8x 6 9 = 0 ng mellui titik (0, 0). 7. Tentukn persmn gris singgung ellips 9x 6 36x 3 9 = 0 ng mempuni kemiringn. 8. Du gris ng sling tegk lurus meninggung ellips x 3 4x 36 = 0. Jik slh stu gris mempuni kemiringn 3, tentukn titik potong kedu gris singgung. 9. Tentukn esr sudut ntr du gris singgung ellips 6x 9 4x 54 5 = 0 ng mellui titik pust koordint. 0. Tentukn persmn gris singgung ellips 4x 4x 6 84 = 0 di titik potong ellips dengn sumu-sumu koordint. Tentukn pul esr sudut ntr gris-gris singgung terseut.. Tentukn lus segiempt ng dientuk oleh gris-gris singgung ellips 5x 6 50x 8 9 = 0 di titik-titik ujung ltus rektum (lkter rekt). 6 P g e