Introduction to Management Science: Pengantar Program Linear: Formulasi Model dan Solusi Grafik
Program Linear Banyak keputusan yang harus diambil oleh manajer untuk mencapai tujuan perusahaan Tujuan umum: memaksimalkan laba, meminimalkan biaya Batasan waktu, tenaga kerja, bahan baku, uang Digunakan teknik sains manajemen berupa program linear
Tahapan Teknik Program Linear Identifikasi masalah Masalah dirumuskan dalam model matematika Model diselesaikan dengan teknik matematika
Komponen Model Program Linear Variabel keputusan (Decision Variables) Simbol matematika yang menggambarkan tingkatan aktifitas perusahaan Fungsi tujuan (Objective Function) Hubungan matematika linear yang menjelaskan tujuan dalam terminologi bariabel keputusan Memiliki target memaksimalkan/meminimalkan suatu nilai Batasan model (Constraints) Keterbatasan perusahaan karena lingkungan operasi
Contoh Beaver Creek Pottery Company memproduksi mangkok dan cangkir Ketersediaan sumber daya: tanah liat (120 pon) dan tenaga kerja (40 jam) Tujuan: memaksimalkan laba Masalah: kombinasi jumlah masing-masing produk? Kebutuhan sumber daya per produk: Produk Tenaga (jam/unit) Tanah Liat (pon/unit) Laba ($/unit) Mangkok 1 4 40 Cangkir 2 3 50
Contoh Produk Tenaga (jam/unit) Tanah Liat (pon/unit) Laba ($/unit) Mangkok 1 4 40 Cangkir 2 3 50 Variabel keputusan Batasan model : jumlah mangkok yang Batasan tenaga: diproduksi X 2 : jumlah cangkir yang diproduksi Fungsi tujuan Memaksimalkan + 2X 2 <= 40 Batasan tanah liat 4 + 3X 2 <= 120 Nilai & X 2 harus positif Z = 40 + 50X 2, X 2 >= 0
Contoh Hipotesis: = 5 mangkok, X 2 = 10 cangkir Memasukkan pemecahan hipotesis ke setiap batasan (memastikan tidak melebihi batasan sumber daya) 1(5) + 2(10) <= 40 25 <= 40 (benar) dan 4(5) + 3(10) <= 120 50 <= 120 (benar)
Contoh Karena tidak ada batasan yang dilanggar oleh pemecahan hipotesis, maka solusi disebut layak (feasible) Memasukkan nilai pemecahan ke dalam fungsi tujuan Z = $40(5) + $50(10) Z = $200 + $500 Z = $700
Contoh Ganti pemecahan menjadi = 10 dan X 2 = 20 Laba yang dihasilkan Z = $40(10) + $50(20) Z = $1400 Meskipun laba lebih banyak, tapi menyalahi batasan 1(10) + 2(20) <= 40 50 <= 40 (salah)
Solusi Grafik Model Program Linear Jika hubungannya linear, beberapa model pemecahan dapat diilustrasikan secara grafik Terbatas untuk model yang hanya memiliki 2 variabel (2 dimensi grafik)
Solusi Grafik Model Maksimisasi Beaver Creek Pottery Company ingin memutuskan jumlah mangkok & cangkir yang diproduksi setiap hari sesuai dengan batasan tenaga kerja dan tanah liat Dimodelkan dengan: Memaksimalkan Z = $40 + $50X 2 Batasan + 2X 2 <= 40 4 + 3X 2 <= 120, X 2 >= 0 Di mana : jumlah mangkok yang diproduksi X 2 : jumlah cangkir yang diproduksi
Solusi Grafik Model Maksimisasi Batasan tenaga + 2X 2 = 40 0 + 2X 2 = 40 2X 2 = 40 X 2 = 20 (0,20) + 2(0) = 40 = 40 (40,0) Ambil salah satu titik 10 + 2(10) <= 40 30 <= 40 (benar)
Solusi Grafik Model Maksimisasi Batasan tanah liat 4 + 3X 2 = 120 4(0) + 3X 2 = 120 3X 2 = 120 X 2 = 40 (0,40) 4 + 3(0) = 120 4 = 120 X1 = 30 (30,0) Ambil salah satu titik 4(10) + 3(10) <= 120 70 <= 120 (benar)
Solusi Grafik Model Maksimisasi
Solusi Grafik Model Maksimisasi Membuat garis fungsi tujuan Laba = 800 800 = 40 + 50X 2 Laba = 1200 1200 = 40 + 50X 2 Laba = 1600 1600 = 40 + 50X 2
Solusi Grafik Model Maksimisasi Mencari nilai dan X 2 ketika solusi optimal diperoleh
Solusi Grafik Model Maksimisasi Merubah kedua persamaan menjadi fungsi dari X1 + 2X 2 = 40 = 40 2X 2 4 + 3X 2 = 120 4 = 120-3X 2 = 30 (3X 2 /4) 40 2X 2 = 30 (3X 2 /4) 160 8X 2 = 120 3X 2 40 = 5X 2 8 = X 2 Memasukkan X 2 = 8 ke salah satu persamaan + 2X 2 = 40 + 2(8) = 40 = 24 Memasukkan dan X 2 ke fungsi tujuan Z = $40 + $50X 2 Z = $40(24) + $50(8) Z = $960 + $400 Z = $1360
Latihan 1 Selesaikan masalah berikut secara grafik: Memaksimalkan Z = 4X1 + 5X2 Batasan X1 + X2 <= 10 6X1 + 6X2 <= 36 X1 <= 4 X1, X2 >= 0
Latihan 2 Suatu perusahaan memproduksi 2 produk melalui 2 proses perakitan. Proses perakitan 1 memiliki kapasitas 100 jam, dan proses perakitan 2 memiliki kapasitas 42 jam. Pada proses perakitan 1, tiap produk memerlukan 10 jam. Pada proses perakitan 2, produk 1 membutuhkan 7 jam dan produk 2 membutuhkan 3 jam. Laba untuk produk 1 adalah $6 per unit, dan laba untuk produk 2 adalah $4 per unit. Formulasikan model program linear untuk masalah ini Selesaikan model ini dengan analisis grafik
Variabel Pengurang (Slack) Prosedur standar untuk mentransformasikan batasan pertidaksamaan menjadi persamaan Menambah suatu variabel pengurang (slack variable) pada tiap batasan + 2X 2 + S 1 = 40 4 + 3X 2 + S 2 = 120 S1: jumlah tenaga kerja tidak terpakai S2: jumlah tanah liat tidak terpakai