BAB II TINJAUAN PUSTAKA

1.4. Hipotesis 1. Model penampang hamburan Galster dan Miller memiliki perbedaan mulai kisaran energi 0.3 sampai 1.0. 2. Model penampang hamburan Galster dan Miller memiliki kesamaan pada kisaran energi 1.0 sampai 3.5. BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Satuan-satuan dan Notasi Vektor- Empat Dua konstanta dasar pada mekanika kuantum relativistik adalah konstanta Planck ħ, dan kelajuan cahaya c. Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus dengan satuan alamiah : c = ħ =1 (2.1) Penyederhanaan yang dilakukan menyebabkan satuan massa dan energi dapat disetarakan, dalam hal ini dipilih, dan satuan untuk panjang dan waktu. Faktor konversi, satuan, dan dimensi aktual dari dimensi massa, panjang, dan waktu dapat dilihat pada Tabel 2.1. Konstanta struktur halus dapat dinyatakan sebagai : α = e 4πħc = 1 (2.2) 137 Kemudian muatan proton dapat dinyatakan sebagai : e = 4πα 0.303 (2.3) Vektor-empat merupakan hal yang sangat penting dalam bidang fisika, salah satunya dalam relativitas umum dan elektrodinamika. Penggunaan notasi vektor-empat untuk menyederhanakan perumusan. Perkalian skalar dari dua vektor-empat A dan B atau A (A, A) dan B (B, B) dapat didefinisikan sebagai : A B = A B A B (2.4) serta invarian di bawah transformasi Lorentz. Agar memudahkan didefinisikan satu jenis vektor-empat yang lain : A (A, A) (2.5) Perkalian skalarnya dituliskan sebagai : A B = A B = A B = g A B = g A B dengan definisi tensor g sebagai : g = 1, g = g = g = 1 dan g = 0, i j (2.6) (2.7) dan perlu diperhatikan g serupa dengan g. Selain itu energi total E dan momentum p dapat juga dinyatakan dalam vektor-empat : (E, p) (p, p, p, p ) p (2.8) Operator yang digunakan dalam vektorempat : =, dan = (2.9), 2.2. Persamaan Elektromagnetik Maxwell Persamaan Maxwell adalah satu kumpulan persamaan diferensial yang merupakan inti dari elektrodinamika klasik. Empat buah persamaan Maxwell dalam bentuk diferensial dituliskan pada persamaan (2.10), (2.11), (2.12), dan (2.13). Tabel 2.1 Faktor konversi, satuan, dan dimensi aktual dari besaran-besaran massa, panjang, dan waktu. Nama besaran Faktor konversi Satuan c = ħ =1 Massa 1 kg = 5.61 10 Panjang Waktu 1 m = 5.07 10 1 sekon = 1.52 10 Dimensi aktual c ħc ħ 2

. E = ρ ε (2.10). B = 0 (2.11) E = B (2.12) E B = μ J + μ ε (2.13) Keempat persamaan Maxwell tersebut dapat digantikan dengan dua buah persamaan gelombang: 1 A c A = 4π (2.14) c 1 Φ c Φ = 4πρ (2.15) Dalam vektor-empat persamaan Maxwell dapat disederhanakan menjadi: J = 0 (2.16) A = 0 (2.17) Persaman ini sesuai dengan kontinuitas listrik yang dituliskan sebagai: ρ +. J = 0 (2.18) Persamaan kontinuitas sendiri didefinisikan sebagai laju pertambahan muatan di suatu daerah digantikan dengan oleh rapat arus yang masuk ke daerah tersebut. 2.3. Persamaan Schroedinger Operator energi total dan momentum pada mekanika kuantum dapat dituliskan sebagai : E = i dan p = i (2.19) Penjelasan persamaan Schroedinger secara umum: ψ(x, t) iħ = ħ ψ(x, t) 2m x (2.20) + V(x)ψ(x, t) ψ(x, t) tergantung terhadap posisi dan waktu. Laju perubahan peluang : P(x, t) = x ħ ψ ψ 2im x (2.21) ψ x ψ sehingga didefinisikan rapat arus peluang: j(x, t) = ħ ψ ψ 2im x ψ ψ (2.22) x maka dapat dituliskan persamaan ini persis sama dengan persamaan kontinuitas untuk muatan listrik dalam satu dimensi: P(x, t) + x j(x, t) = 0 (2.23) Dengan analogi yang sama dengan persamaan kontinuitas listrik, persamaan ini menyatakan laju pertambahan rapat peluang di suatu daerah digantikan dengan arus peluang total yang masuk ke daerah tersebut. 2.4. Teori Kuantum Relativistik Persamaan Schroedinger sebagai teori kuantum non-relativistik, belum dapat menjelaskan kemunculan struktur halus, spektra atom berelektron banyak, dan lain-lain. Pada tahun 1929 Dirac mengembangkan persamaan diferensial untuk mengatasi hal ini dengan menggunakan persamaan energi relativistik. Einstein merumuskan hubungan massa dan energi dari postulat relativitas khususnya. Pada partikel bebas hubungan massa dan energi dapat dituliskan sebagai: 2 2 2 E p c 2 4 2 m c m (2.24) dengan m merupakan massa diam. 2.4.1. Persamaan Dirac Persamaan yang memerikan partikel secara lengkap dikembangkan oleh Dirac. Persamaan ini memiliki sifat yang linear dalam ( /) serta harus kovarian dan memiliki sifat linear dalam, sehingga didapatkan bentuk persamaan: Hψ = (α. p + βm)ψ (2.25) Hubungan energi relativistik untuk partikel bebas dapat digunakan untuk menentukan koesien α dan β: H ψ = p 2 + m ψ (2.26) kemudian didapatkan persyaratan sebagai α α + α α = 0; i = 1,2,3; j = 1,2,3; i j (2.27) α β + βα = 0; i = 1,2,3 α = β = 1; i = 1,2,3 Matriks 4 4 diambil sebagai matriks yang memenuhi persyaratan dengan dimensi terendah. Pilihan yang 3

digunakan salah satunya representasi Dirac-Pauli yang sering dipakai yaitu: α = 0 σ 0, β = I (2.28) σ 0 0 I I merupakan matriks satuan 2 2 dan σ merupakan matriks Pauli: σ = 0 1 1 0, σ = 0 i i 0, (2.29) σ = 1 0 0 1 Dengan penggunaan matriks γ Dirac: γ (β, βα ) (2.30) sehingga persamaan Dirac, dapat dituliskan sebagai: iγ mψ = 0 (2.31) Persamaan tersebut dinamakan persamaan Dirac dalam bentuk kovarian. Kemudian diperkenalkan spinor sekutu yang merupakan matriks baris: ψ ψ γ (2.32) sehingga didapatkan persamaan, yaitu: i ψγ + mψ = 0 (2.33) Berikutnya, sesuai usulan Pauli- Weisskopf, dapat didefinisikan rapat arus muatan: j (ρ, j) = (Ze)ψγ ψ (2.34) Dengan definisi (Ze) merupakan muatan partikel tersebut. Pada partikel yang dibahas adalah elektron, maka rapat arus muatan ini dapat dituliskan sebagai: j = eψγ ψ (2.35) serta memenuhi persamaan kontinuitas: j = 0 (2.36) 2.4.2. Solusi persamaan Dirac untuk partikel bebas Persamaan Dirac memiliki solusi eigen dalam bentuk umum: ip. x u ( p) e (2.37) dengan u(p) merupakan spinor bentuk empat yang tidak tergantung terhadap x. Dengan mensubsitusikan persamaan ini ke persamaan (2.31) akan didapatkan bentuk lain: m u( p) (2.38) 0 p Dalam bentuk asal persamaan (2.25) persamaan ini dapat dituliskan sebagai Hu(p) = (α. p + βm)u(p) (2.39) = Eu(p) Pada partikel bebas solusinya terbagi menjadi dua bagian yaitu sipinor-empat energi positif berdasarkan nilai eigen energinya : s s u N. p, 0 E (2.40) s E m dan solusi spinor-empat negatif :. p s 2 s u N E m, E 0 (2.41 s ) dengan s =1,2 dan N adalah harga normalisasi yang dapat dituliskan sebagai N E m (2.42) Persamaan (2.40) dan (2.41) menunjukkan helisitas positif dan helisitas negatif. 2.5. Penampang Hamburan Pada fisika partikel, interaksi dan sifat-sifat partikel dapat diketahui dari eksperimen melalui hamburan dan peluruhan partikel. Proses hamburan, yang diukur adalah penampang hamburan pada reaksi tertentu. Berbeda dengan proses peluruhan, yang diukur adalah waktu hidup dari suatu partikel untuk meluruh menjadi dua, tiga, atau lebih. Penampang hamburan didefinisikan sebagai peluang partikel penembak berinteraksi dengan partikel target. Partikel target dimisalkan memiliki suatu bidang dengan luas tertentu yang disebut sebagai penampang terhadap partikel datang. Setiap partikel datang yang masuk akan berinteraksi dengan partikel target. Besarnya peluang interaksinya ditentukan oleh luas penampang. 2.6. Perumusan Hamburan Elastik Neutron Hamburan elekton merupakan teknik dalam kategori yang sudah teruji dengan baik untuk memeriksa distribusi muatan yang terjadi pada suatu awan 4

muatan. Cara kerjanya adalah dengan menembakkan berkas elektron pada awan muatan, distribusi angular elektron yang dihamburkan diukur dan dibandingkan dengan penampang lintang hamburan elektron dari suatu muatan titik, Ze. 2.6.1. Hamburan elastik elektronneutron Interaksi elektromagnetik terjadi pada hamburan elektron oleh neutron seperti yang diperlihatkan pada Gambar 2.1. Pada interaksi ini, medan elektromagnetik A dihasilkan dari arus transisi neutron: A = 1 q J (2.43) serta digunakan pertukaran momentum: q = p p (2.44) Gambar 2.1. Diagram Feynman pada hamburan elastik elektron-netron 8 Interaksi elektromagnetik terjadi meskipun muatan total neutron adalah nol karena struktur internal neutron terdiri dari tiga buah quark (uud), dengan quark-u bermuatan + e, quark-d bermuatan e serta masing-masing quark berspin, maka bentuk formulasi arus transisi netron, J, harus dapat memasukkan struktur internal tersebut. Sehingga arus transisi neutron dapat dirumuskan pada persamaan (2.45). Dengan faktor bentuk F dan F, momen magnetik anomalus (μ ), dan massa neutron (M ). Pada q 0, yaitu dalam pertukaran foton dengan panjang gelombang besar, neutron akan terlihat mempunyai momen magnetik e. Sehingga pada limit ini dapat dipilih: F (0) = 0 dan F (0) = 1 (2.46) Pada percobaan Galster dan Miller didapatkan nilai μ yang berbeda, untuk Galster μ = 1.913043 dan Miller μ = 1.73. 3,6 Pada interaksi elektromagnetik penampang hamburan diferensial dapat dihitung denga menggunakan formula Rosenbluth pada persamaan (2.47). Persaman (2.47) dapat disederhanakan dengan memperkenalkan sepasang faktor bentuk lain yang merupakan kombinasi linear dari F dan F pada persamaan (2.48). Sehingga persamaan (2.47) dapat dituliskan kembali pada persamaan (2.49). Dengan didefinisikan sebagai: τ q 4M (2.50) J = eμ p F (q )γ + μ F 2M (q )iσ q u(p )e (2.45) dσ α = dω 4E sin θ E 2 E F μ q 4M F cos θ q 2 2M (F + μ F ) sin θ (2.47) 2 dσ dω G F μ τf dan G F + μ F (2.48) α = 4E sin θ E 2 E (G ) + τ(g ) cos θ 4M 2 + 2τ(G ) sin θ (2.49) 2 5

G dan G berturut-turut memiliki hubungan dengan distribusi muatan dan momen magnetik neutron. Nilai numerik G dan G dapat ditentukan dari berbagai eksperimen yang dinyatakan dalam parametrisasi Galster dan Miller: G (q ) 1 = τμ 1 + 5.6τ G (q (2.51) ) G (q ) = μ G (q ) (2.52) G (q ) = 1 q M (2.53) dengan M adalah massa dipole vektor yang bernilai 0.84 dari hasil hamburan elektron-proton. BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1. Tempat dan Waktu Penelitian Penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor sejak bulan Agustus 2010 sampai dengan Mei 2011. 3.2. Alat Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah perangkat lunak MS. Office 2007 dan Plato IDE. 3.3. Prosedur Penelitian Penelitian ini memiliki tahapantahapan sebagai landasan untuk mempermudah merumuskan hasil penelitian dari tema yang diambil. Tahapan-tahapan tersebut dijelaskan sebagai berikut : 1. Tahap perumusan tema dan permasalahan Tahapan ini merupakan suatu awal bagi perumusan keseluruhan proses penelitian ini. 2. Tahap pengumpulan landasan teori dan data Tahap pengumpulan teori merupakan tahap lanjutan dari penjabaran permasalahan. Tahap ini secara makro memiliki tujuan mencari berbagai literatur yang memiliki relevansi dari tema yang diangkat penulis. Penelitian ini dimulai dengan telaah pustaka dari teori dasar Kuark dan Lepton dari sumber pustaka khususnya J.D. Bjorken and S.D. Drell dan F. Halzen and A.D. Martin serta hasil penelitian para peneliti mengenai hamburan elektron-neutron. 1,6 3. Tahap pengolahan data Tahapan ini diperlukan untuk memastikan bahwa cara penurunan rumus dan teknik perhitungan yang digunakan penulis memberikan hasil yang sama dari yang sudah dilakukan peneliti lain. Setelah itu didapatkan cara penurunan rumus dan teknik perhitungan yang sesuai. Kemudian diterapkan pada persoalan yang diteliti. Berikutnya dilakukan perhitungan: - Perumusan kinematika hamburan en en dengan menggunakan aturan Feymann. - Penghitungan penampang lintang hamburan en en untuk model Galster dan Miller. - Membandingkan kedua penampang hamburan Galster dan Miller. - Menguji faktor bentuk model Galster dan Miller dengan data BLAST 7. 4. Tahap kesimpulan dan rekomendasi Tahap ini bertujuan untuk menyimpulkan keseluruhan hasil penelitian menjadi suatu pemahaman yang utuh dan bersifat komprehensif. Serta membandingkan hasil yang diperoleh dari hipotesis yang diangkat. BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Batasan-batasan Perhitungan Penampang hamburan differensial (en en) pada Ω persamaan (2.49) merupakan pendekatan dengan asumsi ( q ) 0. Dengan demikian perlu diperhatikan nilai-nilai E dan θ yang sesuai dengan kriteria ini. 6