DERET PANGKAT TAK HINGGA

DERET PANGKAT TAK HINGGA

TEOREMA-TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKAT

TEOREMA-TEOREMA PENTING. Itegrsi d diferesisi deret pgkt dpt dilkuk per suku, yitu: ( ) d p q d d ( ) q p d d ( ) ( ) d, d p, q Selg kovergesi sergm deret pgkt yg dihsilk, sm seperti yg semul. Utuk kedu titik ujugy, perlu diselidiki.. Du deret pgkt dpt di-jumlh/kurg-k, d diperklik; deret yg dihsilk memiliki selg kovergesi msigmsig deret. Jdi, mislk I d I selg kovergesi msigmsig deret, mk selg kovergesi deret yg dihsilk dlh ( lmbg teori himpu bgi iris). I I r

. Du deret pgkt dpt pul dibgi slk peyebuty tk-ol di, tu ol di, tetpi tercoretk (seperti l( ) pd.). Selg kovergesiy hrus dicri kembli. 4. Sutu deret pgkt dpt disisipk ke dlm deret pgkt liy, slk selg kovergesi deret yg disisipk terkdug dlm deret liy. Jdi, mislk I selg kovergesiy I, mk I I ( lmbg teori himpu bgi himpu bgi).

5. Peryt sutu fugsi f() dlm deret pgkt koverge, dlh tuggl. Artiy d stu peryt deret pgkt utuk stu fugsi, sejuh vribel berd dlm selg kovergesi deret.

URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI Sutu fugsi S() yg dikethui, dpt pul diytk dlm sutu deret pgkt. Keyt ii megutugk, kre deret pgkt sgt mudh ditgi secr litis, ketimbg fugsi S() sediri. Misly, dlm perhitug itegrl dri fugsi S(), bil sediy S() dlh sutu fugsi rumit yg itegrly tk terdpt dlm tbel itegrl.

Sebgi cotoh, itegrl tetu berikut: si d Mucul dlm prktik, yitu pd persol difrksi Fresel gelombg chy oleh sebuh celh. Itegrl jeis ii tk terdftrk dlm tbel itegrl, kre hsily tk dpt diugkpk dlm peryt sutu fugsi primitif tertetu. Dlm psl ii k dibhs bgim itegrl jeis ii d perhitug umerik (secr gk) liy deg megguk metode deret pgkt.

Megurik sebuh fugsi f() yg dikethui ts deret pgkt. Secr umum, kit tulis L L f ) ( ) ( ) ( ) ( Tetp dpt pul berili ol. L L f ) ( ) ( ) ( ) (

Mslh seljuty dlh:. Meetuk ili-ili koefisie, sebgi fugsi dri, sehigg peulis di ts berup sutu idetits (berlku bgi semu ili ). b. Meetuk selg kovergesi deret pgkty dlm idetits () berlku.

Deg meerpk teorem diferesisi deret pgkt pd (.), kit peroleh: f f () () ) '( () () () ) ( L L L L f f f!! ) (...! () ) (. ) "( () () ) '( L L L L ) (! ) ( f Jdi:

Deg demiki, f f f f ) )( "(! ) )( '( ) ( ) ( L f f f ) )( (! ) ( ) )( (! L

Peryt deret dri fugsi Selg kovergesi. Si! 5 5! 7 7!..., Semu ili. os! 4 4! 6 6!..., Semu ili 4. e...,!! 4! Semu ili 4. 5. 4 ( )..., l ( ) 4 ( p ) p( p )( p ) - < p p p..., <!! Disebut deret Biomil, deg p dlh bilg rel positif tu egtif

Tekik-tekik utuk medptk peryt deret sutu fugsi A. Perkli sutu deret deg sutu poliomil tu perkli deret deg deret otoh ( ) Utuk mecri peryt deret dri : si ( ) Mk kit lkuk perkli si Deg deret Sbb : ( ) si ( ) 5 L! 5!! 4! ( ) si L

otoh Utuk mecri peryt deret dri : Mk kit lkuk perkli deret e e cos cos Deg deret Sbb :

B. Pembgi sutu deret deg deret liy tu deg sutu poliomil otoh Utuk mecri peryt deret dri : l ( ) Mk kit lkuk pembgi l( ) Deg deret Sbb :

otoh Utuk mecri peryt deret dri : Mk kit lkuk pembgi Deg ( ) Sbb :

otoh Utuk mecri peryt deret dri : t Mk kit lkuk pembgi deret si cos deg deret Sbb :

. Megguk deret Biomil otoh Utuk mecri peryt deret dri : Diguk deret Biomil Sbb : (cotoh B) Hsily sm deg cotoh B

D. Substitusi sutu poliomil tu sutu deret utuk vribel dlm deret li otoh Utuk mecri peryt deret dri : Mk kit lkuk substitusi e pd vribel dlm deret Sbb : e

otoh Utuk mecri peryt deret dri : e t kit lkuk substitusi sbb :

E. Metode Kombisi otoh Utuk mecri peryt deret dri : Diguk metode Sbb : rc t kre Kit tulisk t Sebgi deret Biomil sbb : sehigg

Sol ltih. e. sec. l dt t 4. cosh e e

E. Uri Tylor mellui uri Mc-Luri otoh Utuk mecri peryt deret tylor dri fugsi disekitr, kit tulisk: l Llu guk uri McLuri utuk : 4 ( )..., l Kemudi gti deg (-), didpt : 4 l ( ( ) ) ( ) l ( ) ( ) ( ) 4 4...,

otoh ri uri Tylor dri fugsi cos di sekitr π Kit tulisk: Llu guk uri McLuri utuk : Si! 5 5! 7..., 7! Kemudi gti deg ( - π/), didpt : os Si ( ) ( ) π π ( ) ( ) π π! 5! 5...

Sol Ltih ri uri Tylor dri fugsi-fugsi berikut mellui uri McLuri :. f ( ) disekitr. f ( ) disekitr 5

Beberp peggu deret A. Perhitug secr umerik otoh hituglh di,5

otoh hituglh Lkuk diferesisi empt kli d msuk,, didpt :

B. Pejumlh deret otoh hituglh Muli deg deret : Ambil Jdi... 4,69

Sol ltih.... 5 7... Guk rc t. π! 4 π 5! 6 π 7!...... Guk si. l ( l ) ( l )!!...... Guk e

. Meghitug itegrl tertetu otoh : hituglh Itegrl Fresel, dijumpi pd persol Difrksi Fresel Muli deg deret : si 6! 5!... Jdi

D. Meghitug Limit otoh : hituglh Jwb :

Sol ltih., t te dt. d e d di,. lim l ( )

E. Meetuk ili e Guk peryt deret pgkt utuk e deg e!! 4 4!..., e 4...,!! 4! e,5,7,......,78..

F. Meetuk kr sutu bilg Tetuklh ili 9 deg deret Biomil Deret Biomil : ( ) p p p ( p ) p( p )( p )! Kit tidk bis meulis 9 deg 8 Kre kovergesi deret Biomil dlh < Utuk meyelesik ii guk resep berikut :!..., tu ( 8 ) / ( ) / b c c b / Deg b >> c

Jdi ili 9 ( 9) / 9 6 / / 64 ( 9) / 5 5 5(,64) / / ( 9) / 5,5(,64) ( ),64 8... Itulh hsily

Apliksi Deret Pgkt pd Persol Fisik otoh Selesik deg megguk metode deret pgkt yg cocok! Sebuh keret lucur bermss m berd pd sebuh jlur tjk deg sudut kemirig θ terhdp horizotl. Di dekt bgi bwh jlur terdpt sebuh tig bermut listrik positif. Mut yg positif yg sm ditemptk pul di ts keret. Jik gesek keret lucur deg lits dibik d disumsik percept grvitsi g, berpkh besr gy tolk oulomb (F) yg diperluk gr keret lucur tersebut tetp dim di tempty. Petujuk tulisk F dlm deret pgkt dri θ. θ

Apliksi Deret Pgkt pd Persol Fisik Solusi : Agr keret tetp di tempty, mk : F F F wsiθ θ F mg siθ F 5 θ θ mg θ...! 5!

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt ri solusi PDB berikut : y' y Deg metode pemish vribel dy dy y d d y dy y d l y l c y e

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt Mecri solusi deg metode deret pgkt, dimuli deg : y 4 4 PDB yg dicri solusiy berorde stu (y ), mk perlu dicri y : y' 44...... PDB : y' y y' y y' 44... y..................

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt But mtriks seperti berikut : y' y 4 4 didpt : ( ) ( ) ( ) ( 4 )... 4 4 4 4 4

Solusi Persm Diferesil Bis (PDB) deg Metode Deret Pgkt Deg demiki :... 4 4 y... 6 5 4 y... 6 4 y... 6 4 y e y Sm deg hsil sebelumy

Sol Ltih ri solusi PDB Berikut deg metode deret pgkt. y' y. y ' y. y'' y 4si

SELESAI TERIMA KASIH