BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Opsi merupakan salah satu produk finansial turunan. Opsi memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual suatu aset acuan (underlying asset) saat jatuh tempo atau sebelumnya, pada harga yang telah disepakati. Pada umumnya, aset acuan yang digunakan berupa saham umum (common stock). Ada dua tipe dasar opsi yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call memberikan hak untuk membeli, sedangkan opsi put memberikan hak untuk menjual. Berdasarkan fleksibilitas waktu pelaksanaan opsi, terdapat tiga tipe yang berbeda yaitu opsi Eropa, opsi Amerika, dan opsi Bermuda. Opsi tipe Eropa dapat dijalankan hanya saat jatuh tempo, sedangkan opsi tipe Amerika dapat dijalankan pada saat jatuh tempo atau sebelum jatuh tempo. Opsi Bermuda merupakan gabungan dari opsi tipe Eropa dan Amerika yaitu dijalankan pada saat jatuh tempo dan waktu-waktu tertentu sebelum jatuh tempo. Salah satu hal yang menarik dari opsi adalah cara menentukan harga wajarnya. Beberapa penelitian telah dilakukan untuk memperoleh suatu rumusan untuk menentukan harga opsi. Opsi tipe Eropa lebih mudah untuk ditentukan harganya karena hanya dilaksanakan pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi tipe Amerika lebih sulit karena dapat dilaksanakan pada beberapa waktu. Harga opsi tipe Eropa ditentukan cukup dengan mendiskontokan harapan keuntungan opsi pada saat jatuh tempo, sedangkan tipe Amerika perlu diketahui waktu terbaik untuk menjalankan opsi tersebut sebelum menentukan harganya. Opsi Amerika yang sederhana yaitu opsi call Amerika, yang memiliki waktu terbaik untuk dijalankan pada saat jatuh tempo. Penentuan harga opsi tipe Amerika menjadi sangat penting karena opsi yang beredar di pasar kebanyakan adalah tipe tersebut. Model untuk menentukan harga opsi call maupun put tipe Eropa yang digunakan oleh sebagian besar praktisi di pasar adalah model yang ditemukan oleh 1
2 Black dan Scholes (1973). Model Black-Scholes merupakan model dengan waktu kontinu yang mengasumsikan harga aset mengikuti distribusi lognormal. Harga wajar opsi pada waktu nol dapat ditentukan menggunakan harga aset awal (S 0 ), harga kontrak (K), volatilitas asset (σ), bunga bebas resiko (r), dan umur opsi (τ). Penentuan harga opsi tipe Amerika lebih sulit dibandingkan dengan opsi tipe Eropa karena memungkinkan pelaksanaan opsi di awal (early exercise). Tidak ada formula analitik untuk menentukan harga opsi tipe ini karena model Black-Scholes sekali pun tidak bisa mengakomodasi early exercise. Pada tahun 1979, Cox, Ross, dan Rubinstein mengusulkan model binomial sebagai metode untuk menilai harga opsi tipe ini. Selanjutnya, model tersebut disebut dengan model binomial CRR. Model binomial merupakan model untuk menentukan harga opsi waktu diskrit. Model ini konvergen ke model Black-Scholes dalam limit waktu kontinu. Dalam penentuan harga opsi sering kali digunakan metode iterasi atau prosedur komputasi berdasarkan pada beberapa parameter. Akan tetapi kekonvergenan pada beberapa skema numerik yang lambat menjadi suatu masalah serius dalam situasi praktis. Salah satu kasus yang laju kekonvergenannya lambat adalah model binomial. Oleh karena itu, teknik untuk mempercepat konvergensi seperti ekstrapolasi Richardson perlu dikaji. Interpolasi dan ekstrapolasi adalah proses mengestimasi suatu nilai dari interval observasi. Sebagai contoh, diketahui nilai f ( x) pada himpunan titik-titik x 1, x 2,..., xn dimana x1 x2... xn, namun ekspresi analitik dari f ( x) tidak diketahui. Dari masalah tersebut, kita ingin mengestimasi f ( x) menggunakan sebarang x dengan menggambar kurva yang melalui (mungkin juga melampaui) x i. Jika nilai x yang ingin kita tentukan berada di antara xi terbesar dan terkecil, maka proses ini disebut interpolasi. Jika nilai x yang kita inginkan melampaui dari interval tersebut, maka inilah yang disebut proses ekstrapolasi.
3 Seorang ilmuwan, Lewis Fry Richardson (1891 1953), mengembangkan teknik ekstrapolasi yang kemudian dikenal sebagai ekstrapolasi Richardson. Ekstrapolasi Richardson merupakan teknik yang dapat diaplikasikan untuk mempercepat laju kekonvergenan suatu barisan. Gagasan dari Richardson adalah melakukan eliminasi pada beberapa bagian awal dari ekspansi asimtotis fungsi pendekatan yang bergantung pada stepsize. Teknik eksptrapolasi Richardson dapat diulang untuk menghasilkan pendekatan yang lebih baik. Meski demikian, teknik ekstrapolasi Richardson berulang atau Repeated Richardson Extrapolation (REE) belum banyak dimanfaatkan dalam aplikasi finansial. Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Barzanti, Corradi, dan Nardon (2008), sayangnya ekstrapolasi Richardson tidak dapat diterapkan pada model binomial CRR. Hal ini dikarenakan kekonvergenan nilai opsi yang diperoleh dari model binomial CRR tidak monoton. Dengan kata lain, semakin banyak langkah yang kita gunakan dalam model ini tidak menjamin akan mendekati harga sesungguhnya. Tian (1999) mengembangkan model binomial dengan menambahkan suatu parameter kemiringan yang mengubah bentuk pohon binomialnya. Model ini disebut dengan model binomial fleksibel. Parameter kemiringan positif akan mengubah pohon binomial ke atas, sedangkan parameter kemiringan negatif sebaliknya. Model binomial CRR dianggap memiliki parameter kemiringan nol karena harga asset setelah bergerak naik (atau turun) kemudian bergerak turun (atau naik) tetap tidak berubah dari sebelumnya. Dengan kata lain, titik pusat pohon binomial 1 membentuk garis horisontal melewati harga asset awal. Dibandingkan dengan model binomial CRR, model binomial fleksibel memiliki kekonvergenan yang lebih monoton. 1 Titik pusat pohon binomial didefinisikan sebagai titik tengah dalam sebuah periode waktu sehingga jumlah titik-titik di atas atau bawahnya sama. Harga asset awal adalah titik pusat.
4 Berdasarkan hal yang telah dikemukakan sebelumnya, dalam penulisan tesis ini, teknik ektrapolasi Richardson berulang akan digunakan pada model binomial fleksibel yang diusulkan oleh Tian untuk menentukan harga opsi put Amerika. REE digunakan sebagai alat untuk mempercepat laju kekonvergenan pada model binomial fleksibel dengan memanfaatkan barisan Romberg sebagai stepsize. 1.2. Tujuan Penelitian Tujuan dalam penelitian ini adalah: 1. Memanfaatkan teknik ekstrapolasi Richardson berulang sebagai cara untuk mempercepat konvergensi perhitungan harga opsi put Amerika menggunakan model binomial fleksibel. 1.3. Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Secara umum, penelitian diharapkan dapat menambah wawasan mengenai bidang matematika keuangan. 2. Secara khusus, memberikan gambaran penentuan harga opsi jual Amerika menggunakan model binomial fleksibel dengan memanfaatkan teknik ekstrapolasi Richardson berulang untuk mempercepat konvergensinya. 1.4. Tinjauan Pustaka Geske-Johnson (1984) mengembangkan sebuah metode menggunakan ekstrapolasi Richardson untuk menyelesaikan penentuan harga opsi. Kontribusi dari Geske-Johnson (1984) menunjukkan bahwa harga opsi tipe Amerika dapat dinilai dengan menggunakan barisan opsi yang dilaksanakan pada sejumlah titik pelaksanaan dari opsi Bermuda.
5 Berdasarkan Omberg (Chang, dkk, 2001) metode Geske-Johnson memungkinan kekonvergenan tidak seragam pada beberapa kasus. Andaikan P( n) adalah harga opsi Bermuda yang dapat dilaksanakan pada satu atau n interval pelaksanaan yang sama. Sebagai contoh, kita menggunakan P (1), P (2), dan P(3) untuk melakukan pendekatan terhadap harga opsi Amerika. Menggunakan metode Geske-Johnson dapat terjadi kondisi dimana P(1) P(2) P(3). Chang, dkk (2001) mengkaji ulang formula Geske-Johnson, kemudian memodifikasinya untuk mengatasi masalah kemungkinan kekonvegenan tidak seragam. Chang, dkk memodifikasi formula Geske-Johnson dengan cara mengganti barisan stepsize yang semula adalah barisan aritmatika menjadi barisan geometri. Jika Geske-Johnson menggunakan P (1), P (2), dan P (3), maka Chang, dkk menggantinya dengan P (1), P (2), dan P (4). Penggunaan barisan geometri dapat menjamin kondisi P(4) P(2) P(1). Hal tersebut dikarenakan titik pelaksanaan pada P(4) mengandung semua titik pelaksanaan P (2), sedangkan titik pelaksanaan P(2) mengandung semua titik pelaksanaan P (1). Dalam bekerja dengan menggunakan ekstrapolasi, pertama, kita dapat mengaplikasikan ekstrapolasi Richardson pada sejumlah tahapan waktu pada pohon binomial untuk menentukan harga opsi. Sebagai contoh, Tian (1999) mengaplikasikan dua titik ekstrapolasi Richardson pada model binomial. Kedua, metode ekstrapolasi Richardson digunakan untuk memperkirakan harga opsi Amerika menggunakan sejumlah opsi dengan meningkatkan jumlah titik-titik pelaksanaan. Senada dengan Chang, dkk; Barzanti, Corradi, dan Nardon (2008) menerapkan teknik ekstrapolasi Richardson berulang pada beberapa pendekatan untuk menentukan harga opsi. Penelitian mereka memberikan suatu kesimpulan bahwa ketika suatu model memiliki konvergensi monoton, maka teknik REE dapat digunakan sebagai alat yang efektif untuk meningkatkan keakuratan dari suatu pendekatan. Selain itu, dari penelitian tersebut dapat diperoleh bahwa penggunaan barisan Romberg sebagai stepsize memberikan keakuratan yang tinggi. Barzanti, dkk
6 juga memberikan prosedur ekstrapolasi Richardson berulang untuk menentukan harga opsi dengan menggunakan algoritma Aitken-Neville. Metode ekstrapolasi lebih lanjut dijelaskan dalam Sidi (2003) dan Shapiro (2008). Cox, Ross, dan Rubinstein (1979) memberikan model untuk menentukan harga opsi dengan waktu diskrit. Model ini memiliki masalah dengan kekonvergenannya yang tidak monoton. Tian (1999) mengambangkan model binomial fleksibel dengan parameter kemiringan yang memiliki kekonvergenan lebih monoton. Model binomial fleksibel menambahkan parameter kemiringan untuk mengubah bentuk pohon binomial harga aset. 1.5. Metode Penelitian Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah bimbingan dan diskusi dengan dosen pembimbing, studi literatur, dan pengolahan data. Sumber literatur diperoleh dari buku, artikel, dan jurnal yang terkait dengan tema penelitian. Analisis mengenai ekstrapolasi Richardson berulang diperoleh dari jurnal On The Efficient Application of The Repeated Richardson Extrapolation Technique to Option Pricing (2008). Model binomial fleksibel diperoleh dari referensi A flexible Binomial Option Pricing Model (1999). Pada proses pengolahan data, data mengenai harga saham historis, harga saham sekarang (S 0 ), umur opsi (τ), harga kontrak (K), dan bunga bebas resiko (r) akan diambil dari salah satu website keuangan. Langkah pertama adalah mengambil harga historis saham dalam waktu satu tahun, kemudian menghitung log return-nya untuk menentukan volatilitas (σ) saham tersebut. Selain itu juga mengumpulkan informasi seperti harga saham sekarang (S 0 ), umur opsi (τ), harga kontrak (K), dan bunga bebas resiko (r). Langkah kedua, menentukan barisan stepsize (h i ) yang akan digunakan dalam ekstrapolasi. Barisan stepsize ini digunakan untuk menentukan banyak langkah (N) yang akan digunakan untuk menghitung nilai opsi dengan model binomial fleksibel. Langkah ketiga adalah menentukan barisan nilai opsi menggunakan model
7 binomial fleksibel. Langkah terakhir adalah mengekstrapolasi barisan nilai opsi untuk mempercepat kekonvergenan. Software yang digunakan untuk melakukan perhitungan adalah MATLAB 2009A. 1.6. Sistematika Penulisan Tesis ini terdiri atas 5 (lima) bab. Pertama adalah BAB I PENDAHULUAN yang memuat Latar Belakang, Tujuan Penelitian, Manfaat Penelitian, Tinjauan Pustaka, Metode Penelitian, dan Sistematika Penulisan. Kedua yaitu BAB II LANDASAN TEORI yang mengandung Return, Volatilitas, Saham, Opsi, Formula Black-Scholes Merton, Distribusi Binomial, Model Binomial untuk Opsi Tipe Amerika, Model Binomial Fleksibel, dan Ekstrapolasi Richardson. Ketiga adalah BAB III PEMBAHASAN yang berisi Model Binomial Fleksibel, Ekstrapolasi Richardson, dan Ekstrapolasi Richardson Berulang pada Model Binomial Fleksibel. Keempat adalah BAB IV STUDI KASUS yang berisi contoh penerapan teknik ekstrapolasi Richardson berulang pada opsi suatu perusahaan tertentu. Terakhir adalah BAB V PENUTUP yang meliputi Kesimpulan dan Saran yang memuat rangkuman hasil penelitian dan saran bagi penelitian selanjutnya.