1 PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAF SARANG LEBAH Riskawati 1*), Nurdin 2), Hasmawati 3) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos 90245 THE TOTAL VERTEH IRREGURARY STRENGTH OF HONEYCOMB GRAPH Riskawati 1*), Nurdin 2), Hasmawati 3) 1 Departement of Mathematic, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Hasanuddin University Perintis Kemerdekaan Street, Makassar, Indonesia, Post Code 90245 ABSTRAK Misalkan sebuah graf adalah graf sederhana. Untuk sebuah pelabelan disebut pelabelantotal tidak teratur titik pada jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada berlaku dimana Bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga mempunyai suatu pelabelan- total tidak teratur titik disebut nilai total ketidakteraturan titik pada graf, dinotasikan dengan. Skripsi ini membahas mengenai penentuan nilai total ketidakteraturan titik pada graf sarang lebah,. Hasil penelitian dalam skripsi ini sebagai berikut : Kata Kunci : Graf Sarang Lebah, Pelabelan Total Ketidakteraturan Titik, Nilai Total Ketidakteraturan titik. ABSTRACT For a simple graph with the vertex set and the edge set. A labeling is called a vertex irregular total -labeling of if for any two different vertices and in we have where. The smallest positive integer such that has a vertex irregular total -labeling is called the total vertex irregularity strength of, denoted by. In this paper, we determined the total vertex irregularity strength of Honeycomb graph,. The result in this paper as follows : Keywords : Honeycomb Graph, Total Vertex Irregular Labeling, Total Vertex Irregularity Strength.
1. Pendahuluan Teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Saat itu dia memikirkan kemungkinan untuk menyeberangi semua jembatan di kota Kaliningrad, Rusia, tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Publikasi atas permasalahan ini dan solusi yang ditawarkan saat ini dikenal dengan teori graf. Penelitian mengenai teori graf terus mengalami perkembangan. Salah satu pembahasan yang terus berkembang adalah pelabelan pada graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan asli yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan oleh Sadlack (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig, dan Rosa (1970). 2 2. Tinjauan Pustaka 2.1 Jenis-Jenis Graf Definisi 2.1.1 Graf siklus untuk dinotasikan adalah suatu graf yang memiliki order dan ukuran dimana setiap titiknya berderajat dua dapat dinotasikan dan sisi dan untuk. Definisi 2.1.2 Graf sarang lebah dibangun dari beberapa graf siklus dinotasikan dengan dimana merupakan lapisan ke-n dari graf sarang lebah. Graf sarang lebah diperoleh dengan menambahkan sebanyak graf siklus pada lintasan terluar. Gambar 2.1(a) Graf Gambar 2.1(b) Graf 2.2 Pelabelan Total Ketidakteraturan Titik Definisi 2.2.1 Misalkan adalah graf sederhana. Untuk sebuah pelabelan disebut pelabelan total tidak teratur titik (total vertex irregularity k-labeling) pada graf jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada berlaku dimana. Definisi 2.2.2 Nilai total ketidakteraturan titik (total vertex irregularity strength) dari adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga mempunyai suatu pelabelan- total tidak teratur titik, yang dinotasikan dengan 3. Hasil dan Pembahasan Pada bagian ini akan diuraikan nilai total ketidakteraturan titik pada graf sarang lebah Teorema 3.2.1 Untuk, maka nilai total ketidakteraturan titik dari graf adalah Bukti: Untuk membuktikan maka digunakan Teorema 2.5.1. Karena maka derajat minimum dari adalah, misal dengan Maka terdapat dua sisi yang terkait dengan. Misalkan diberi label maka bobot titik adalah, yang merupakan bobot terkecil pada. Bobot
3 titik pada graf dapat ditulis secara berurutan sebagai berikut Bobot merupakan bobot titik terbesar yang merupakan bobot titik yang berderajat 3, sebut titik dengan dan Karena maka terdapat 3 sisi yang terkait dengan, sebut Misalkan fungsi pelabelan pada sedemikian sehingga adalah, maka Maka sedikitnya terdapat satu diantara dengan nilai lebih besar atau sama dengan misalkan Ini menunjukkan bahwa Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa total tidak teratur titik pada sebagai berikut. Untuk tujuan tersebut, akan dikonstruksi suatu pelabelan Misalkan. Untuk konstruksi pelabelan yang dimaksud akan dibagi kedalam 2 kasus yaitu Kasus I untuk genap Maka didefinisikan sebagai berikut Untuk genap
4 Untuk ganjil
5, Kasus II untuk ganjil Maka didefinisikan sebagai berikut Untuk genap
6,, Untuk ganjil
7, Berdasarkan definisi bobot titik, diperoleh
Sehingga dapat disimpulkan bahwa bobot setiap titik pada berbeda. Maka yang dikonstruksikan tersebut merupakan suatu pelabelan total tidak teratur titik pada. Karena memiliki suatu pelabelan-t total tidak teratur titik, dimana. Dengan demikian, diperoleh 8 Karena dan maka 4. PENUTUP 4.1 Kesimpulan Dengan menggunakan pelabelan total tidak teratur titik pada graf ketidakteraturan titik graf adalah maka diperoleh nilai total 4.2 Saran Pembahasan mengenai pelabelan total tidak teratur titik masih terbuka bagi peneliti lain untuk melanjutkan penelitian ini dan bisa juga melakukan penelitian yang sejenis dengan jenis-jenis graf yang berbeda.
9 DAFTAR PUSTAKA [1] Ahmad A., Ahtsham S., Hasni R., Slamin, Total Vertex Irregularity Strength of Ladder Related Graphs, International Referred Research Journal, (2014) 26(1) : 1-5 [2] Anholcer M., Palmer C., Irregular Labelings of Circulant Graph. 2011. [3] B ca M., Jendrol S., Miller M., Ryan J., On Irregular Total Tabllings, Discrete Mathematics, (2007) 307: 1378-1388. [4] Chartard G., Lesniak L., Ping Z.,Graph and Digraph (5 th ed.), Boca Raton: CRC Press, 2011. [5] Fitria W., Nilai Total Tidak Teratur Sisi dari Graf Sarang Lebah, Institut Teknologi Bandung, 2009. [6] Hartsfield N., Ringel G.,Pearls in Graph Theory, Dover, New York, 2003. [7] Hungund N. S., Akka D. G., Total Irregularity Strength of Triangular Snake and Double Triangular Snake, International Referred Research Journal, (2011) 3 : 67-69. [8] Irawati N., Pelabelan Total Titik Ajaib pada Complit Graph, FMIPA Universitas Diponegoro Semarang, 2010. [9] Kotzig A., and Rosa A., Magic Valuations of Finite Graphs, Canadian Mathematical Bulleting, (1970) 13 : 451 323. [10] Manuel P., Rajan B., Rajaningsih I., Monoca C., On Minimum Metric Dimension of Honeycomb Networks, Journal of Discrete Algorithms, (2008) 6 : 20-27. [11] Rajasingh I., Rajan B., Annamma V., On the Total Vertex Irregularity Strength of Cycle Related Graphs and H Graphs, International Journal of Computer Applications, (2012) 52 : 32-37. [12] Stewart B.M., Magic Graphs, Canadian Journal of Mathematics,(1966) 18: 1031-1059 [13] Stojmenovic I., Honeycomb networks: Topological Properties and Communication Algoritms, IEEE Transactions on Parallel and Dis Systems (1997) 8: 1036-1042 [14] Wallis W. D., Magic Graphs, Birkh user Boston, New Work, 2011. [15] Wijaya K., Slamin, Miller M., On Total Vertex Irregularity Strength of Cocktail Party Graph, Jurnal ILMU DASAR, (2011) 12: 148-151.