8. FUNGSI TRANSENDEN
8. Fngsi Invers Mislkn : D R dengn Deinisi 8. Fngsi = disebt st-st jik = v mk = v t jik v mk v v ngsi = st-st ngsi =- st-st ngsi tidk st-st
Secr geometri grik ngsi st-st dn gris ng sejjr dengn smb berpotongn di st titik. Teorem : Jik ngsi st-st mk mempni invers notsi : R D R R Berlk hbngn D R = D R, R D 3
Teorem : jik monoton mrnisell nik/sell trn mk mempni invers = ' 0, R sell nik =- ' 0, R sell trn 0, ' 0, nik ntk >0 trn ntk <0 0 0 v d d tidk d 4
Contoh : Dikethi. Periks pkh mempni invers b. Jik d, tentkn inversn Jwb:. '.. 3 0, D Kren sell nikmonoton mrni mk mempni invers b. Misl 5
St ngsi ng tidk mempni invers pd derh sln dpt dibt mempni invers dengn cr membtsi derh sln. v Untk >0 d Untk R tidk d Untk <0 d 6
Grik ngsi invers Titik, terletk pd grik Titik, terletk pd grik Titik, dn, simetri terhdp gris = Grik dn semetri terhdp gris = 7
Sol Ltihn Tentkn ngsi invers bil d dri.. 3 8
9 8. Fngsi Logritm Asli Fngsi Logritm sli ln dideinisikn sebgi : Dengn Teorem Dsr Klkls II, diperoleh : Secr mm, jik = mk ln, t dt 0 dt t D D ln d d dt t D D ln.
Contoh : Diberikn Jik Jdi, mk ln d Sit-sit Ln :. ln = 0. lnb = ln + ln b Dri sini diperoleh :, ln, 0 ln, 0 d ln d 3. ln/b=ln lnb ln4 ' D 4 4 0, 4. ln r r ln 0. 4 4 ln ' ln ' ln C 0
Contoh: Hitng Jwb: Misl 4 0 d d d d d d d d ln c sehingg ln c 4 0 d ln 0 4 ln8 ln ln 9.
Grik ngsi logritm sli =ln Dikethi. b. dt ln, 0 t ' 0 D sell monoton nik pd D c. '' 0 D Grik sell cekng kebwh d. = 0
8.3 Fngsi Eksponen Asli, Kren ln 0 ntk 0 mk ngsi logritm sli D monoton mrni, sehingg mempni invers. Invers dri ngsi logritm sli disebt ngsi eksponen sli, notsi ep. Jdi berlk hbngn ep Dri sini didpt : = epln dn =lnep Deinisi 8. Bilngn e dlh bilngn Rel positi ng bersit ln e =. Dri sit iv ngsi logritm diperoleh ln e r epln e r ep r ln e ep r ep e MA4 KALKULUS I 3
Trnn dn integrl ngsi eksponen sli Dengn menggnkn trnn ngsi invers Dri hbngn e ln d d d / d e d d Jdi, D e e Secr mm D e e. ' Sehingg e d e C 4
Grik ngsi eksponen sli Kren ngsi ekponen sli merpkn invers dri ngsi logritm sli mk grik ngsi eksponen sli diperoleh dengn cr mencerminkn grik ngsi logritm sli terhdp gris = =ep =ln Contoh: D e e. D 3 3 3 3 6 e. 5
Contoh :Hitng e 4 d Jwb : Mislkn 4 d 4d d d 4 Sehingg e 4 d e d 4 4 e C 4 e 4 C. 6
7 h g Penggnn ngsi logritm dn eksponen sli Menghitng trnn ngsi berpngkt ngsi Dikethi ln ln g h ln ln g h D D ' ln ' ' g g h g h ' ln ' ' g g h g h? ',
Contoh : Tentkn trnn ngsi 4 Jwb: Ubh bentk ngsi pngkt ngsi menjdi perklin ngsi dengn menggnkn ngsi logritm sli D ln ln ' ln Trnkn ked rs ' ' D 4 4ln 4ln 4ln 4 4ln 4 4 4ln 4 8
Sol ltihn A.Tentkn ' dri. e e sin 6. ln 5 6. 3. 4. 5 e 3 tn e e 3 e tn 7. 8. 9. ln cos 3 ln ln sin 5. sin 0. sinln 9
B. Selesikn integrl tk tent berikt. 4 d 6. e 3 d. d 3 7. sin cos d 3. 6 3 e d 8. cos sin d 4. e 3 d 5. cos e sin d 0
C. Selesikn integrl tent berikt 4 3. d. 3 e d 0 3. 0 e 4 d 4. ln 0 3 e d
8.5 Fngsi Eksponen Umm Fngsi, > 0 disebt ngsi eksponen mm Untk > 0 dn R, deinisikn ln e Trnn dn integrl D D e ln e ln ln ln Jik =, mk D D e ln e ln ln. ' ' ln Dri sini diperoleh : : d ln C
Sit sit ngsi eksponen mm Untk > 0, b > 0,, bilngn riil berlk.. 3. 4. b b 5. b b 3
Contoh: Hitng trnn pertm dri 3 sin Jwb : '.3 ln 3. sin cos ln. Hitng 4. d Jwb : Misl d d d d 4. d d 4 4 4 C ln 4 ln 4 C 4
Grik ngsi eksponen mm, Dikethi., 0 D, b. ln 0, 0 ' ln ln 0, monoton nik jik > monoton trn jik 0 < < c. '' ln 0 D,0 Grik sell cekng kets d. 0 = 5
8.6 Fngsi Logritm Umm Kren ngsi eksponen mm monoton mrni mk d Inversn. Invers dri ngsi eksponen mm disebt ngsi Logritm Umm log logritm dengn bilngn pokok, notsi, sehingg berlk : log Dri hbngn ini, didpt ln ln ln ln ln log ln ln Sehingg D Jik =, mk ln log D ln D ln ln log D ln ' ln 6
Contoh: Tentkn trnn pertm dri 3 log Jwb : log ln ln 3 3 ' ln 3 7
Grik ngsi logritm mm Grik ngsi logritm mm diperoleh dengn mencerminkn grik ngsi eksponen mm terhdp gris = Untk > Untk 0 < < log log 8
Sol Ltihn A. Tentkn ' dri.. 3 4 4 0 log 9 9
8.7 Fngsi Invers Trigonometri Fngsi trigonometri dlh ngsi ng periodik sehingg tidk st-st, jik derh sln dibtsi, ngsi trigonometri bis dibt menjdi stst sehingg mempni invers.. Invers ngsi sins Dikethi = sin, Kren pd =sin monoton mrni mk inversn d. Invers dri ngsi sins disebt rcs sins, notsi rcsin,t sin Sehingg berlk sin sin 30
Trnn Dri hbngn sin sin dn rms trnn ngsi invers diperoleh, d d d / d cos sin, t D sin Jik = D sin ' Dri rms trnn diperoleh d sin C 3
b. Invers ngsi cosins Fngsi = cos,0 monoton mrnisell monoton trn, sehingg mempni invers cos Deinisi : Invers ngsi cos disebt rcscos, notsi rc cos t cos Berlk hbngn cos cos Trnn Dri cos cos,, 0 diperoleh d d d / d sin cos, 3
t D cos Jik = D cos ' Dri rms trnn dits diperoleh d cos C Contoh: D sin D 4 33
Contoh: Hitng Jwb : 4 d Gnkn rms d sin C 4 Misl d 4 4 d d d d d d 4 d d sin C sin C 34
c. Invers ngsi tngen Fngsi = tn, Monoton mrni sell nik sehingg mempni invers. =tn Deinisi Invers dri tn disebt ngsi rcs tn, notsi rc tn t tn Berlk hbngn Trnn Dri d d tn tn d / d sec tn tn dn trnn ngsi invers diperoleh, tn 35
t D tn d tn C Jik = D tn ' d. Invers ngsi cotngen Fngsi = cot,0 sell monoton trnmonoton mrni sehingg mempni invers =cot Trnn d d Deinisi Invers dri ngsi cot disebt Arcs cot, notsi rc cot t cot Berlk hbngn d / d cot csc cot cot 36
t D cot Jik = Contoh : D cot ' d cot D tn D C Contoh: Hitng d 4 37
Jwb : 4 d d 4 4 4 d d d d d 4 4 d d tn C Gnkn rms d tn C tn C 38
e. Invers ngsi secn Diberikn = sec 0,, ' sec tn 0,0, = sec monoton mrni Ad inversn Deinisi Invers dri ngsi sec disebt rcs sec, notsi rc sec t sec Sehingg sec sec 39
Trnn Dri sec sec sec cos cos cos Sehingg D sec D cos Jik = D sec ' d sec c 40
e. Invers ngsi cosecn Diberikn = csc, 0, ' csc cot 0,, 0 = sec monoton mrni Ad inversn Deinisi Invers dri ngsi csc disebt rcs csc, notsi rc csc t csc Sehingg csc csc 4
Trnn Dri csc csc csc sin sin sin Sehingg D csc D sin Jik = D sec ' d csc c 4
43 Contoh: A. Hitng trnn pertm dri sec ' 4 D 4 Jwb:
44 B. Hitng d 4 d d 4 4 4 d Jwb: Misl d d d d d d d 4 C C sec sec
Sol Ltihn A. Tentkn trnn pertm ngsi berikt, sederhnkn jik mngkin. sin. tn e 3. tn 45
B. Hitng. d 9 6. 4 d 6 3. / 0 sin d 46