DIKTAT PENDUKUNG MATEMATIKA DISKRIT. Ir. Hasanuddin Sirait, MT.

DIKTAT PENDUKUNG MATEMATIKA DISKRIT Ir. Hsuddi Sirit MT. Displi Ilmu Tei STMIK PARNA RAYA MANADO MANADO

PERTEMUAN : LOGIKA PROPOSISI Pedhulu Dlm logi mtemti yg dibicr hylh proposisi tu peryt tu limt delrtif yg rtiy limt yg berili ber tu slh d tid seligus edu-duy. Yg tid termsu peryt misly limt hrp limt perith limt seru d sebgiy. Beberp peryt merup susu tu gbug dri peryt-peryt bgiy yg dihubug oleh beberp mcm oetif (t hubug logi) misly d tu dll. d disebut peryt gbug. Cotoh. Cotoh peryt:. New Yor ot besr b. Pris ibuot egr Iggris c. 0.. Cotoh bu peryt:. Semog mu les sembuh b. Cept lri! c. Ke m di pergi? d. Algh ctiy gdis itu. e. Pedudu ot Jrt y (tid dilegpi utor/pembts pedudu) f. x 5 00. (utu x 95 ber utu x 95 slh disebut limt terbu) Tbel eber Sutu defiisi yg berbetu tbel yg meuju hubug tr ili eber dri setip peryt bgi yg meyusu peryt gbug deg ili eber peryt gbug tersebut. Negsi (igr) ojugsi d disjugsi p q p q p q p q p q B B S S B B S B S S B S B B S B B S S B B S S B B S S S p q : peryt bgi. B: ber S: slh

p tu ~ p : igr dri p q tu ~ q: igr dri q. p q : ojugsi dri p d q dibc p d q (peryt gbug). p q : disjugsi dri p d q dibc p tu q (peryt gbug). p q : berili ber hy utu eduy ber. p q : berili slh hy utu eduy slh. p q : exclusive or dri p d q dibc p exclusive or q Implisi p q p q B B B B S S S B B S S B p : hipotesis q : olusi. : implisi. p q : bil p m q. p q : berili slh hy utu p ber d q slh. p q : p disebut syrt cuup bgi q. q disebut syrt perlu bgi p. Kovers ivers d otrpositif dri implisi p q : implisi mul mul. q p : overs dri p q p q : ivers dri p q. q p : otrpositif dri p q. p q p q q p p q q p p q B B B B B B S S B S S B B S S B S B B S S B B S S S B B B B B B sm sm 3

Biimplisi p q : p bil d hy bil q. p q p q p q q p ( p q) ( q p) B B B B B B B S S B S S S B B S S S S S B B B B sm p q : berili ber utu eduy berili eber yg sm berili slh utu eduy berili eber yg berli. 4

PERTEMUAN : ALJABAR PROPOSISI Proposisi mempuyi sift fudmetl yg disebut huum tu formul. Beberp huum yg petig it elompo di bwh ii. ) Idempote p p p p p p ) Asositif (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) 3) Komuttif p q q p p q q p 4) Distributif p (q r) ( p q) ( p r) p (q r) (p q) (p r) 5) DeMorg p q p q p q p q 6) Idetits p F p p F F p T T p T p T : Tutologi F : Kotrdisi 7) Kompleme p p T F F T p p T p p F 8) Absorpsi p (p q) p p (p q) p Cotoh. Bu peryt:. Kem mu mudi? b. Semog di les sdr. c. Cept elur! d. Algh yy sudgr itu. e. Pedudu ot Med y. f. x 0.. Termsu peryt:. Jrt ot ecil. b. < d New Yor ot besr. c. 0. d. New Mexico egr bgi dri Ameri Serit. 5

3. p : Ali pdi q : Bdu mls.. p q : Ali pdi d Bdu mls. b. p q : Ali pdi tu Bdu mls. c. p q p q : Ali tid pdi tu Bdu tid mls. d. p q p q : Ali tid pdi d Bdu tid mls. 4. Buti bhw p q p q deg membut tbel eber utu p q d p q. 6

Solusi p p q p q p q B S B B B B S S S S S B B B B S B S B B 5. Buti huum bsorpsi yitu p (p q) p p (p q) p deg membut tbel eber. Solusi p q p q p q p (p q) p (p q) B B B B B B B S S B B B S B S B S S S S S S S S 6. Tulislh igr dri peryt : ) Ali pdi d mls. b) Bdu y tu mls. c) Bil Amir beljr m di lulus. d) Mwr berwr merh bil d hy bil violet berwr biru. Solusi ) Ali tid pdi tu tid mls. b) Bdu tid y d tid mls. c) Amir beljr d tid lulus. d) Mwr berwr merh d violet tid berwr biru tu violet berwr biru d mwr tid berwr merh. 7. Tulislh overs ivers d otrpositif dri implisi : Bil A pdi d rji m di lulus. Solusi Kovers : Bil A lulus m di pdi d rji. Ivers : Bil A tid pdi tu tid rji m di tid lulus. Kotrpositif : Bil A tid lulus m di tid pdi tu tid rji. 7

8. Sederhlh : ) ( p q) p Solusi b) ( p q) ( p q) ) ( p q) p p ( p q) ( p p) ( p q) F ( p p q. ( p q) ( p q) ( p q) ( p q) p ( q q) b) p T p. Sol Tetu tbel eber dri : ) p ( p q ) b) ( p q ) ( p q ) c) ( p q ) ( q r ) d) ( p q ) ( q r).. Tetu ili eber dri : ) Bil 5 < 3 m -3 < -5. b) ( 7 9 ) ( 5 5 5 8 ).. Tulislh overs ivers d otrpositif dri implisi : Bil pdi d seht m y tu tid sit-sit. 3. Sederh: ) ( p ( p q ) q b) ( p r) ( q r) c) ( p q) p. 8

PERTEMUAN 3: PERNYATAAN Proposisi (peryt limt delrtif) Proposisi dpt berrti limt yg berili ber tu slh d tid seligus edu-duy.bergtug deg otesy proposisi dpt berrti sutu peryt yg telh dibuti ebery yg tigty lebih redh dri teorem. Peryt gbug disusu oleh peryt-peryt bgiy yg dihubug deg oetif tu t hubug logi. Dlm logi sehri-hri tu logi di msyrt bisy d hubug tr peryt-bgi yg meyusu peryt gbug. Tetpi dlm logi mtemti tr peryt-peryt bgi tersebut boleh d hubug tu tid.pd tbel eber sudh didefiisi egsi ojugsi disjugsi implisi dll. sehigg pd umumy sutu peryt yg ber dlm logi sehri-hri jug ber dlm logi mtemti d sutu peryt yg slh dlm logi sehri-hri jug slh dlm logi mtemti. Dlm hl ii boleh dit logi mtemti lebih lus dri logi sehri-hri. Tutologi d otrdisi Tutologi : peryt yg sellu berili ber. Kotrdisi : peryt yg sellu berili slh. Eivle logis (logicl equivlece) Du peryt disebut eivle logis tu eivle bil tbel-tbel eber dri eduy sm. Defiisi Sutu peryt yg disetujui bersm oleh semu pih yg terlibt. Cotoh. Bilg bult disebut pembgi dri bilg bult m bil m utu sutu bilg bult.. Bilg bult positif p > disebut prim bil pembgi positif dri p hylh d p. 3. Sutu segitig disebut smi bil du sisiy pjgy sm. dlh sm deg psg berurut dri bilg yt ( x y ) bil x x d y y. 5. Bilg bult disebut gep bil dlh pembgi dri. 6. Bilg bult disebut gjil bil utu sutu bilg bult. m 7. Bilg yt r disebut rsiol (teruur) bil r deg m d bilg bult d 0. 8. Sutu segitig disebut siu- siu bil du sisiy slig teglurus. 4. Psg berurut dri bilg yt (rel) ( x y ) Termiologi (istilh) mtemti. Proposisi Sutu peryt yg telh dibuti ebery. 9

. Teorem Sutu peryt yg sifty lebih umum d lebih petig dri proposisi yg telh dibuti ebery. 3. Corollry Sutu peryt yg butiy deg mudh dpt dituru dri sutu teorem tu sigty sutu ibt. 4. Lemm Sutu peryt yg telh dibuti ebery d digu utu membuti teorem. 5. Asiom Sutu peryt yg dpt diterim ebery tp buti. Cotoh. Proposisi o ) Jumlh sudut- sudut dlm segitig sembrg dlh 80 b) Ar-r persm udrt x bx c 0 sm d berili rel bil b 4c 0.. Teorem ) Teorem Biomil : ( x y) x y di m bilg 0! ( )! bult positif. b) Teorem Fudmetl Aritmti : Setip bilg bult yg lebih besr dri dlh prim tu sebgi hsil li dri bilg-bilg prim. Tp memerhti urut peyji hsil li tersebut dlh tuggl (uique). 3. Corollry ) ( y)! Misly 60 3 5 5 3. 3 3 3 3 3 x x y x 3x y 3xy y. b) ( ) 0! 3!!!! ( 3 ) ( ) 0! 4. Lemm ) Utu membuti Teorem Biomil diperlu lemm : ( )!!!! ( )! ( )! ( )!! ( )!. b) Utu membuti Teorem Fudmetl Aritmti diperlu lemm: 0

Bil p dlh bilg prim d p dlh pembgi dri hsil li b clt m p dlh pembgi dri seurg-urgy stu dri bilg- bilg b c L t 5. Asiom ) Gris lurus ditetu oleh titi. b) Bidg dtr ditetu oleh 3 titi. Sol. Beri defiisi dri segitig smi yg eivle deg defiisi di mu.. Beri du defiisi yg eivle dri segitig smsisi. 3. Beri defiisi-defiisi dri fugsi gep d fugsi gjil. 4. Beri cotoh-cotoh yg li dri proposisi teorem corollry lemm d siom.

PERTEMUAN 4: ARGUMENTASI DAN KUANTOR ARGUMENTASI Argumetsi dlh peri esimpul dri seelompo peryt S S K S yg disebut premis yg meghsil peryt li S yg disebut olusi. Argumetsi sedemii ditulis deg otsi/simbol S S M S S. Perlu dictt bhw rgumetsi jug merup peryt sehigg mempuyi stu ili eber. Bil sutu rgumetsi ber disebut vlid d bil slh disebut fllcy tu tid vlid. Huum Silogisme Argumetsi ii vlid: p q q r p r. Huum modus poes Argumetsi ii vlid: p q p q Huum modus toles: Argumetsi ii vlid: p q ~ q ~ p

Cotoh. Tetu vlidits dri rgumetsi ii p q ~ p ~ q Solusi Bil p m q tu (~ p tu q) ber deg ~ p ber m dpt disimpul q bis ber tu slh. Jdi ~ q bis ber tu slh. Jdi rgumetsi tersebut tid vlid.. Tetu vlidits dri rgumetsi ii p q q p Solusi p q ber bil edu p d q ber tu slh. Kre q ber m p jug ber. Jdi rgumetsi tersebut vlid. Sol. Buti bhw rgumetsi di bwh ii vlid. p ~ q r q r ~ p. Tetu vlidits dri rgumetsi di bwh ii. p q r ~ q r ~ p 3. Tetu vlidits dri rgumetsi di bwh ii. p ~ q ~ r ~ q p ~ r 3

4. Utu premis-premis yg diberi trilh sutu esimpul supy rgumetsiy vlid. p ~ q q 5. Utu premis-premis yg diberi trilh sutu esimpul supy rgumetsiy vlid.. p ~ q r q 6. Utu premis-premis yg diberi trilh sutu esimpul supy rgumetsiy vlid.. p ~ q ~ p r 7. Utu premis-premis yg diberi trilh sutu esimpul supy rgumetsiy vlid.. p ~ q ~ r p q KUANTOR Kutor dlh otsi yg digu utu meyt utits sutu obye dlm logi mtemti. Cotoh ) Kutor uiversl : dibc semu tu setip. ) Kutor esistesil : dibc beberp tu terdpt plig sediit stu tu lebih sigt terdpt.! dibc terdpt tept stu. Cotoh peggu Misl X sutu himpu yg tid osog. Bil x X puy sift/predit P ditulis P ( x). ) x X P( x) dibc Utu setip x X x bersift P tu semu x X bersift P. ) x X P( x) dibc Beberp x X bersift P tu Terdpt plig sediit stu x X yg bersift P. 3)! digu pd ) :! x X P( x) dibc Terdpt tept stu x X yg bersift P. 4

Cotoh dlm egsi x XP x x X P ) ( ) ( x) Teorem DeMorg. ) x XP( x) x X P( x) Teorem DeMorg. 3) ~ ( x y P( x y) ) x y~ P( x y) 4) ~ ( x y P( x y) ) x y~ P( x y). 5) ~ ( x y P( x y) ) x y~ P( x y). 6) ~ ( x y P( x y) ) x y~ P( x y). di m ~. Cotoh dlm defiisi ) Bilg bult dlh bilg udrt bil terdpt bilg bult sedemii sehigg. ) Himpu A tid osog bil terdpt eleme sedemii sehigg A.. 3) Himpu S dit himpu bgi dri T bil x x S x T. 4) Fugsi f : R R disebut gep bil x R f ( x) f ( x). 5) Fugsi f : R R disebut gjil bil x R f ( x) f ( x). 6) Diethui himpu-himpu A φ B φ d A B. Himpu A disebut himpu bgi sejti dri himpu B bil b B d b A. Idusi mtemti Serigli it meetu bhw sutu proposisi tertetu P ( ) dlh N ( tu 0 tu NN N Kdeg N N) ber utu setip K. Misly ( ) : 3 ( )( ) 6 Mtemti. ( )( ) P K tu 6. Utu membutiy digu Prisip Idusi Prisip idusi mtemti Utu membuti bhw ( ) ) Buti P ( ) ber. ) Asumsi ( ) Cotoh P ber buti ( ). Buti ( ) Solusi ( ) jdi ( ) P ber utu N : P ber. P ber tu utu rus iri rus. 5

6 Asumsi ( ) P ber yitu ( ) ber. Dibuti ( ) P ber yitu ( )( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ber Jdi 3 P Ctt: ( ) P ber: pgl ( ) P ber : olusi idusi Asumsi ( ) P ber : hipotesis idusi.. Buti ( )( ) 6. Solusi ( )( ) 6 jdi ( ) P ber. Asumsi ( ) P ber. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )ber. jdi 6 3 3 6 6 7 6 6 6 6 6 6 6 P 3. Buti ( ) ( ) < r r r r 0 R Solusi ( ) ( ) ( )ber. 0 jdi 0 0 0 P r r r r Asumsi ( ) P ber. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ber. jdi 0 0 P r r r r r r r r r r r r r 4. Buti Rumus DeMoivre : ( ) ( ) ( ) N i i si cos si cos α α α α

Solusi Sol ( cosα i siα ) cos( α ) i si( α ) jdi P( ) ber. Asumsi P ( ) ber. M ( cosα i siα ) ( cosα i siα ) ( cosα i siα ) ( cos( α ) i si( α ))( cosα isiα ) ( cos( α ) cosα isi( α ) siα ) i( cos( α ) siα si( α ) cosα ) ( cos( α ) cosα si( α ) siα ) i( si( α ) cosα cos( α ) siα ) cos( α α ) i si( α α ) cos( ( ) α ) isi( ( ) α ) jdi P( )ber. 3 ) Buti ( ) 4 N. ) Buti L 34K ( )! 3 3 4 K 3 N 3) Buti ( ) ( )( ).! 4) Buti Rumus Biomil : ( x y) xy N. 0! ( )! Sesui pd Teorem Biomil buti dulu lemm: ( )!!!! ( )! ( )! ( )!! ( )!. 5) Diethui fugsi : N N x y N f xy f x f y f deg sift ( ) ( ) ( ). N Buti bhw f ( ) f ( ). 6) Diethui fugsi : N N N f deg sift x y N f ( x y) f ( x) f ( y). Buti bhw f ( ) ( f ( )) N. 7) Buti bhw N x 4 x ( x)( x )( x ) L ( x ). x 8) Buti bhw N x y R : x y dlh pembgi dri x y 9) Buti bhw N 6 dlh pembgi dri 3 0) Buti bhw N 3 3 3 9 dlh pembgi dri ( ) ( ). ) Buti bhw utu 5 67 K : > 0. ) Buti bhw N 4 : ( )( 6 9 ). 30. 7

PERTEMUAN 5: HIMPUNAN Sutu himpu dlh sutu umpul dri obye-obye. Obye-obye tersebut dim ggot-ggot tu eleme-eleme dri himpu. Bil A dlh sutu himpu d x dlh sutu eleme dri A ditulis x A. Bil x bu eleme dri A ditulis A b c. x. Himpu yg eleme-elemey hy b c ditulis { } Himpu dri semu x yg puy sift P ditulis { x x sift P} puy. Du himpu A d B sm ditulis A B bil : x x A x B. Himpu A disebut himpu bgi dri B ditulis A B bil setip ggot dri A dlh jug ggot dri B. Himpu yg tid puy ggot ditulis φ tu { } dlh himpu bgi dri himpu sebrg. φ disebut jug himpu osog. Defiisi ) Produ (rtesius) dri A d B ditulis A B dlh : {( b) A b B} A B d ) Gbug tu uio dri A d B ditulis A B dlh : A B { x x A tu x B}. 3) Iris tu itersectio dri A d B ditulis A B dlh : A B { x x A d x B}. 4) Selisih dri A d B ditulis A \ B dlh : A \ B { x x Ad x B}. 5) Himpu us dri A ditulis P ( A) dlh : P ( A) { x dlh himpu bgi dri A}. Cotoh Misl A { } B { 3} m : A B 3 3 {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} A B {( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 3) }; ) A A {( ) ( ) ( ) ( ) }; A φ φ φ A φ; B A {( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3) }; B B {( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3) ( 33) } ) A B { 3 } A B { } A φ A B φ φ. 3) A B φ B A { 3} A φ A φ B φ. 4) P ( A) { φ { } { } { } P( φ) { φ}. 8

Aljbr dri himpu dulits Utu U dlh himpu semest φ dlh himpu osog A B C dlh himpu sembrg berlulh huu-huum di bwh ii. Huum Idempote. A A A b. A A A Huum Asositif. ( A B) C A ( B C) b. ( A B) C A ( B C) Huum Komuttif 3. A B B A 3b. A B B A Huum Distributif 4. A ( B C) ( A B) ( A C) 4b. A ( B C) ( A B) ( A C) Huum Idetits 5. A φ A 5b. A U A 6. A U U 6b. A φ φ Huum Ivolusi 7. ( A c ) c A Huum Kompleme 8. A A c U 8b. A A c φ c 9. U φ 9b. φ c U 0. Huum DeMorg c c c ( A B) A B 0b. ( A B) c A c B c Buti Sebgicotoh t buti Huum DeMorg x ( A B) c bhb x A B d x B) bhb ( c c c ( A B) A B : ( bhb tid ber bhw ( x A tu x B )bhb ( x A c x A d c c c x B )bhb x ( A B ). Sol. Buti. A B B ( A \ B) b. B ( A \ B) φ.. Buti. A ( A \ B) ( A B) b. ( A \ B) ( A B) φ. 3. Buti. A B bhb A B c φ b. A B bhb A c B U. 4. Buti. A B bhb c c B A b. B A bhb A \ B φ. 9

c 5. Formul A \ B A B memberi defiisi opersi bed diyt deg opersi itersesi d ompleme. Crilh formul yg memberi defiisi A B diyt deg opersi itersesi d ompleme. 6. Sutu survei dri 00 mhsisw diperoleh dt sttisti sebgi beriut: beljr mtemti 0 beljr fisi 45 beljr biologi 5 beljr mtemti d biologi 7 beljr mtemti d fisi 0 beljr fisi d biologi 40 tid beljr p-p.. Tetu byy mhsisw yg beljr etig peljr tersebut. b. Tetu byy mhsisw yg hy beljr stu peljr sj. 7. Yg dimsud deg bed simetri dri himpu-himpu A d B dlh himpu A B ( A B) \ ( A B).. Buti sift sositif dri bed simetri yitu A ( B C) ( A B) C. b. Buti sift selsi dri bed simetri yitu bil A φ d A B A C m B C. c. Buti sift distributif dri bed simetri yitu A ( B C) ( A B) ( A C). 8. Buti bhw A ( B \ C) ( A B) \ ( A C) 9. Crilh cotoh yg meuju bhw A ( B \ C) ( A B) \ ( A C). 0. Dri 60 mhsisw yg beljr bhs Iggris diethui bhw: 30 mhsisw perh beljr bhs Percis 48 mhsisw perh beljr bhs Jerm 0 mhsisw perh beljr bhs Lti mhsisw perh beljr bhs Percis d bhs Jerm 8 mhsisw perh beljr bhs Jerm d bhs Lti 0 mhsisw perh beljr etig bhs tersebut d 6 mhsisw t perh beljr stu pu dri etig bhs tersebut. Tuju bhw terdpt eslh pd dt di ts. 0

PERTEMUAN 6: RELASI Relsi Bil A d B dlh himpu yg dimsud relsi dri A e B dlh sutu himpu bgi dri A B. Fugsi Fugsi A e B dlh sutu relsi dri A e B sedemii sehigg utu setip A terdpt stu d hy stu b B dim ( b) f. Bil utu setip A terdpt plig by stu b B dim ( b) f f disebut fugsi prsil. Himpu A disebut domi dri fugsi f d himpu B disebut rge dri fugsi f. Bil ( b) f b f() yitu ili dri f di. Defiisi ) Fugsi f : A B disebut surjetif tu oto bil : b B A f ( ) b. ) Fugsi f : A B disebut ijetif tu stu-e-stu bil : ' ' ' ' ' ' A[ f ( ) f ( )] tu A[ f ( ) f ( ) ].. 3) Fugsi f : A B disebut bijetif bil : f surjetif d seligus ijetif. 4) Imge dri fugsi f : A B dlh : f ( A) { f ( x) : x A}. Cotoh Misl A { b c} d B { b c d} m : ) f {( b) ( b b) ( c d )} A B dlh fugsi dri A e B deg f ( ) b f ( b) b f ( c) α.. f ( A) imge dri fugsi f { b d} B. ) f {( b) ( b b) ( c d )} B B hylh relsi dri B e B d bu fugsi dri B e B. Relsi f ii merup fugsi prsil dri B e B. P : A B S disebut predit pd himpu A. Misly ω (omeg) { 0 K} dpt didefiisi fugsi P : ω { B S} sebgi predit pd ω deg BENAR bil gjil P ( ) SALAH bil gep. 3) Fugsi { } Sol ) Diethui A { } B { 34} V { b c} W { b c d}. ) Crilh : A B A V A V B W A φ P( V ). A B B A A A V W P B A P V φ b) Crilh : ( ) ( )

) Yg mh relsi-relsi dri A e B di bwh ii merup fugsi? A { } B { 34}. ) {( 3) ( 4) } b) {( 3) ( 4 )} 3 3 4 c) {( ) ( )} {( ) ( )} 3) Aph {( ) ( 3) } ) dri ( ) e ( 3) merup fugsi : { }? b) dri N e N? c) dri {( )} e N? 3 e 3? d) dri {( )} {( )} Relsi sebgi grph Relsi R dri A e B dlh himpu bgi dri disji deg digrm sebgi beriut : A B. Relsi R dpt Tulis eleme-eleme dri A pd stu gris d tulis jug eleme-eleme dri B pd stu gris li. Utu setip ( b) R gmbr ph dri titi e titi b. Peyji ii disebut biprtite grph represettio dri R deg cotoh sebgi beriut : b c d x y z { b c d} B { x y z} ( x) ( y) ( b y) ( c x) ( c z) ( d z) A R { }. Bil A B dpt digu peyji li dri R yg lebih meri. Peyji ii disebut directed grph represettio. Utu meyji R A A gmbr digrm deg stu titi utu setip eleme dri A; utu setip ( x y) R gmbr ph dri titi x e titi y. Titi-titi disebut odes tu vertices sedg ph-ph disebut edges. Hl ii digmbr sebgi beriut :

3 { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }. d c c b d b c b b R d c b A { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }. d d c b c b R d c b A Bil x sutu ode byy ph yg meuju x disebut i-degree ; sedg byy ph yg berslh dri x disebut out-degree. Defiisi ) Relsi R pd A disebut reflesif bil ( ) R A ) Relsi R pd A disebut simetri bil : ( ) ( ) [ ] R x y R y x A y x 3) Relsi R pd A disebut trsitif bil : ( )( ) ( ) [ ] R z x R z y y x A y x Bil relsi R simetri dpt digmbr peyji e tig dri R yg tid memerlu rh ph disebut udirected grph represettio. b d c d b c

Relsi R reflesif Relsi R tid reflesif Relsi R simetri Relsi R tid simetri Relsi R trsitif 4

Udirected grh represettio dri relsi simetri R dits Relsi R : reflesif simetri d trsitif Misl relsi R pd A dlh trsitif d ( ) ( 3 ) ( 3 4 ) dlh ph-ph dlm R. Deg sift trsitif didpt : ( ) R sehigg jug didpt ( ) R 3 4. Defiisi Misl R A A dlh sutu relsi. Yg dimsud deg pth dri e b dlm R dlh bris 0 K sedemii sehigg (i) (ii) i i A deg i 0 K (iii) b 0 i R i (iv) ( ) deg 0 i i K Bil 0 pth di ts disebut cycle. Bilg disebut pjg dri pth di ts. Sutu grph tp cycles disebut cyclic. Proposisi Relsi R trsitif bhb utu setip pth dri b yg berd di dlm R. edge ( ) e b berd di dlm R m terdpt ) Misl A { b c d e} R ( b) ( c) ( b ) ( c ) ( c d ) ( c e) ( d c) ( e c) d relsi R pd A dlh : { }.. Gmbr biprtite grph represettio dri R. b. Gmbr directed grph represettio dri R. c. Ce ph R reflesif simetri tu trsitif. ) Misl R {( ) } A { } B { b}. Aph R A A reflesif? Aph R B B reflesif? Gmbr edu relsi tersebut sebgi beprtite grphs d directed grphs. 3) Pdg udirected grph ii : 5

Sji grph ii sebgi sutu relsi. 4) Gmbrlh sutu directed grph yg simetri d trsitif tetpi tid reflesif. 5) Sutu relsi yg reflesif simetri d trsitif disebut relsi eivle. Beri desripsi dri directed grph dri relsi eivle. 6) Misl A { } B { b}.. Dftr semu relsi R A A. b. Dftr semu relsi R B B. c. Dri relsi-relsi dlm. d b. m yg reflesif simetri trsitif? Relsi eivle Sutu relsi yg reflesif simetri d trsitif disebut relsi eivle. Defiisi Misl A dlh sutu relsi eivle d misl A. Klseivle dlh R A dri terhdp R ditulis [ ] R ' ' A R disigt [ ] { } [ ] ( ) R. Teorem Bil R dlh relsi eivle pd A d (i) bil ( b) R m [ ] [ b]. (ii) bil ( b) R m [ ] [ b] φ. b tu b. (iii) [ ] [ ] [ ] [ ] φ b A m : Grph dri relsi eivle 6

Defiisi Bil R dlh relsi eivle pd A m yg disebut quotiet set A R dlh A R { R A}. [ ] Defiisi Misl A dlh sutu himpu. Himpu bgi dri P(A) disebut prtisi dri A bil setip S dlh tid osog d utu setip A terdpt tept stu S sedemii sehigg S. 3 4 { } { 4} { 3 } P( A) prtisi dri A dim A { } { } { 3} { 4 } P( A) prtisi dri A. { 3 4} Teorem Himpu bgi dri P(A) merup prtisi pd A bhb sutu relsi eivle R pd A. A R utu 3 A { 3} R { } { } { } { } { 33 } [ ] R { } [ 3] R { 3} [ ] { } A R { } { 3 } R Sol ) Diethui { x x 6} A ω d R sutu relsi dri pd A di m R {( x y) x y elipt dri 3}. Buti bhw R dlh relsi eivle d crilh ) Diethui { x x 8} A R. A ω d R sutu relsi dri pd A di m i i ' ' R {( x y) x d y d gjil}. Buti bhw R dlh relsi eivle d crilh A R. 7

3) Misl A d B dlh himpu d f : A B sutu fugsi. Didefiisi : Ker ( f ) erel dri f {( x y) x y A d f ( x) f ( y) }. Buti bhw utu f sebrg Ker( f ) dlh relsi eivle. 4) Buti : Bil R dlh relsi eivle pd A terdptlh himpu B d fugsi f : A B sedemii sehigg R Ker( f ). Komposisi relsi Misl A B d C dlh himpu-himpu. Misl jug R dlh relsi dri A e B d S dlh relsi dri B e C. Jdi dri defiisi relsi R dlh himpu bgi dri A B d S dlh himpu bgi dri B C. Dibetu relsi omposisi dri R d S yitu ( Ro S ) dri A e C yg didefiisi sebgi R o S ( c) : b B Rb& bsc A C Kdg-dg relsi Ro S dsigt RS. { }. Cotoh. Misl A { 34} B { b c d} d C { x y z}. Misl jug R ( )( d)(3 )(3 b)(3 d) S ( b x)( b z)( c y)( d z) { } { }. M ( Ro S) z & 3( Ro S) x re Rd d dsz sert 3Rb & bsx. Jug didpt 3(R o S) z re 3Rd & dsz. Dpt disimpul R o S {( z)(3 x)(3 z) }. Teorem Misl A B C D dlh himpu-himpu. Misl jug R dlh relsi dri A e B S relsi dri B e C d T relsi dri C e D. M ( Ro S) ot Ro ( So T ). Ivers relsi Misl R dlh relsi dri A e B. Yg dimsud deg ivers relsi dri R ditulis R dlh relsi dri B e A deg R {( b ) : ( b) R}. Cotoh. Misl { 3} A d R dlh relsi pd A di m R {()(3)(3) } m R dlh jug relsi pd A deg {()(3)(3) }.. Ivers dri relsi x dlh sumi y dlh relsi y dlh isteri x. R 8

PERTEMUAN 7 : FUZZY SET Pedhulu Misl X merup himpu semest. Yg dimsud deg himpu bur tu fuzzy set A dlh dirterisir deg fugsi rteristi yg diperumum tu fugsi eggot µ dri X e selg tertutup [ 0]. A Cotoh. Misl X dlh himpu dri semu pbri mobil. Himpu bur A dirterisir deg fugsi eggot µ A : X [0] di m x X µ (x A ) dlh prosetse mobil x digu di Jrt.. Misl himpu semest X dlh himpu dri semu mhsisw yg megmbil mt ulih Mtemti Disrit K044. Himpu bur B dirterisir deg fugsi eggot µ B : X [0] di m x X µ (x A ) dlh IPK x dibgi 4. 3. Misl X dlh himpu semest. Himpu bis tu crisp set C dpt dirterisir deg fugsi eggot fugsi rteristi bis pd C. Igt bhw fugsi rteristi bis pd C tu χ dlh fugsi dri X e selg tertutup [ 0 ] deg χ C x C ( x) 0 x C. Du himpu bur A d B disebut sm ditulis A B bil d hy bil µ A µ B. Bil himpu semest U { u u u3 K u } berhigg himpu bur D misly dpt ditulis sebgi u u u Ku tu sebgi jumlh D : D µ D ( u) / u u U 3 C K tu deg otsi D / u / u 3 / u3l / u 3 Himpu (bur) osog d himpu(bur) semest Misl X dlh himpu semest.himpu bur osog φ dirterisir deg fugsi eggot fugsi ol dri X yitu x X : µ ( x) 0 sedg himpu bur semest dirterisir dg fugsi eggot µ ( x) x X. φ X 9

Support dri himpu bur Misl X dlh himpu semest. Support dri himpu bur A: supp ( A) { x X µ A ( x) > 0}. Utu himpu bur A deg peulis x x x x x x x x A : 0 A) 0 x x 3 0 x 4 04 x x 5 6 06 08 09 x x X m supp { } { }. ( 4 5 6 7 8 x3 α cut dri himpu bur Misl X dlh himpu semest. Utu α [ 0] yg dimsud deg α cut dri himpu bur A dlh Aα { x X µ A ( x) α. } Utu himpu bur A deg peulis x x x x x x x x A : 3 4 0 0 0 04 06 08 09 m 0 4 cut dri himpu bur A dlh { x x x x }. 5 6 7 7 8 8 4 5 6 7 x8 Ilusi utu himpu bur Diberi du himpu bur A d B dri himpu semest X. Himpu A disebut himpu bgi dri himpu B ditulis A B bil µ ( x) µ ( x) x X. Opersi himpu bur Diberi du himpu bur A d B dri himpu semest X. Gbug A B dri himpu-himpu bur A d B dirterisir deg fugsi eggot µ A B ( x) ms{ µ A ( x) µ B ( x) } x X sedg iris A B dri himpu-himpu bur A d B dirterisir deg fugsi c eggot µ A B ( x) mi{ µ A ( x) µ B ( x) } x X. Utu ompleme A dri himpu bur A dirterisir deg fugsi eggot µ ( x) µ ( x) x X. Sol Misl himpu semest dlh X [ 0] { x R 0 x. } Himpu-himpu bur A B d C berturut-turut dirterisir oleh fugsi-fugsi eggot µ ( x) x x X µ ( x) x 05 x X µ ( x) x 05 x X. A B Deg meggmbr urv fugsi eggoty. Tetu himpu bur A B.. Tetu himpu bur A B. c 3. Tetu himpu bur A. 4. Tetu himpu bur A C. B A c A A B 30

5. Tetu himpu bur B C. c 6. Tetu himpu bur B. 7. Tetu himpu bur B C. c 8. Tetu himpu bur C. 3

PERTEMUAN : POSET (PARTIALLY ORDERED SET) Defiisi Poset Relsi R pd himpu S disebut prtil order tu urut prsil pd S bil R dlh: () reflesif yitu: R utu setip di dlm S. () Atisimetri yitu: b S bil Rb d br m b. (3) Trsitif yitu: b c S bil Rb d brc m Rc. Sutu himpu S bersm prtil order tu urut prsil disebut sutu prtilly ordered set (himpu terurut prsil) tu poset. Bisy it meggu relsi urut prsil deg simbol d b dibc medhului b tu b melmpui. Cotoh. Misl S dlh himpu dri himpu-himpu tu elurg dri himpuhimpu. Did relsi ilusi (termut) pd S.. Jels bhw A A utu setip ggot dri S sehigg relsi ilusi merup relsi reflesif pd S..Bil A B & B A m. A B sehigg relsi ilusi merup relsi ti simetri pd S. 3. Bil A B & B C m. A C sehigg relsi ilusi merup relsi trsitif pd S. Jdi berdsr defiisi poset di ts S bersm relsi ilusi tu ditulis ( S ) merup poset. b. Pdg himpu N yitu himpu dri semu bilg-bilg bult positif. Pd N did relsi hbis membgi tu membgi. Bil b N d membgi b m Rb ditulis b. Igt bhw bil b N deg b rtiy c N c b.. Jels bhw utu setip ggot dri N sehigg relsi membgi merup relsi reflesif..bil b& b m. b sehigg relsi membgi merup relsi ti simetri. 3. Bil b & b c m. c sehigg relsi membgi merup relsi trsitif pd N. Jdi berdsr defiisi poset di ts N bersm relsi membgi tu ( N ) merup poset. Supremum d ifimum Misl A merup himpu bgi dri poset S. Sutu eleme M di dlm S disebut bts ts dri A bil M melmpui setip eleme x di dlm A tu x A berlu x M. Bil sutu bts ts dri A medhului semu bts ts yg li dri A m eleme tersebut disebut supremum dri A d ditulis sup(a) tu bts ts terecil dri A d ditulis lub (A). 3

Secr log sutu eleme m di dlm S disebut bts bwh dri A bil m medhului setip eleme x di dlm A tu x A berlu m x. Bil sutu bts bwh dri A melmpui semu bts bwh yg li dri A m eleme tersebut disebut ifimum dri A d ditulis if(a) tu bts bwh terbesr dri A d ditulis glb (A). Cotoh. Himpu N diurut secr prsil deg relsi membgi. Misl b N. Pembgi perseutu terbesr dri d b ditulis deg gcd( b) dlh bilg bult positif terbesr yg membgi edu d b. Kelipt perseutu terecil dri d b ditulis deg lcm( b) dlh bilg bult positif terecil yg dpt dibgi oleh edu d b. Dri teori bilg diperoleh sift bhw setip pembgi perseutu dri d b jug membgi gcd( b) sert lcm( b) membgi setip elipt perseutu dri d b. Jdi gcd( b) if( b) glb( b) lcm ( b) sup( b) lub( b). b. Utu setip bilg bult positif m misl D m meuju himpu dri semu pembgi-pembgi dri m terurut deg relsi hbis membgi. M D {3469836}. 36 Terliht bhw gcd( b) if( b) glb( b) d lcm ( b) sup( b) lub( b) esis utu semu d b di dlm D 36. Sol. Relsi R dlh relsi hbis membgi yg didefiisi ts himpu A {34689684736485478084466344364896}. Gmbr poset ( A R) di ts dlm digrm Hess. Crilh ub lub lb d glb dri himpu{6367}. 33

PERTEMUAN 3: ALJABAR BOOLE Defiisi dsr Bi himpu-himpu mupu peryt-peryt eduy mempuyi siftsift yg mirip yg disebut huum-huum idetil. Huum-huum ii digu utu medefiisi strutur mtemti yg bstr yg disebut ljbr Boole.Nm tersebut dimbil dri mtemtiw Iggris Geoge Boole (85-864). Misl B dlh himpu tid osog deg du opersi bier d stu opersi uri d du eleme yg berbed 0 d. Himpu B disebut ljbr Boole bil siom-siom di bwh ii dipeuhi di m b c dlh leme-eleme sembrg dlm B. (B) Huum-huum omuttif: ( ) b b (b ) b b (B) Huum-huum distributif: ( ) ( b c) ( b) ( c) (b) ( b c) b ( c) (B3) Huum-huum idetiti: ( 3 ) 0 (3b) (B4) Huum-huum ompleme: ( 4 ) ' (4b) ' 0. Kdg-dg ljbr Boole ditulis deg otsi ( B '0). di m 0 disebut eleme ol disebut eleme stu d ' disebut ompleme dri. Sebgim pd hsilli bis pd bilg-bilg rel td tid ditulis. Misly b rtiy b. Opersi-opersi d berturut-turut disebut jumlh hsilli d ompleme.kit megiuti tur b c yg berrti ( b c) b' yg berrti (b'). Cotoh. Misl B { 0} 0 0 0 0 0 0 0 0 deg du opersi bier d yg didefiisi sebgi d opersi uri didefiisi sebgi 0 ' d ' 0. M B merup ljbr Boole. 34

. Misl C olesi dri himpu yg tertutup terhdp uio itersesi d ompleme. M C merup ljbr Boole deg himpu osog φ sebgi eleme ol d himpu semest U sebgi eleme. 3. Misl D 70 dlh himpu dri pembgi-pembgi 70 yitu D 70 { 57043570 }. Didefiisi d pd D70 sebgi b elipt perseutu terecil dri d b b pembgi perseutu terbesr dri ' 70 /. M D 70 merup ljbr Boole deg sebgi eleme ol d 70 sebgi eleme stu. Dulits Dul dri peryt sembrg dlm sutu ljbr Boole B dlh peryt yg diperoleh deg meur opersi-opersi d d meur eleme-eleme 0 d dlm peryt semul. Sebgi cotoh dul dri ( ) ( b 0) b dlh ( 0 ) ( b ) b. Perhti sift simetri dlm siom-siom dri ljbr Boole B.Yitu dul dri siom jug siom dlm ljbr Boole B. Berdsr hl tersebut diperoleh hsil Prisip Dulits yg petig yg diyt sebgi Teorem (Prisip Dulits): Dul dri teorem sembrg dlm dlm ljbr Boole jug merup sutu teorem. Meggu siom-siom (B) smpi deg (B4) dlm ljbr Boole B diperoleh Teorem Misl b c dlh eleme-eleme sembrg dlm ljbr Boole B. M berlu (i) Huum-huum idempote: (ii) Huum-huum eterbts: 0 0 (iii) Huum-huum bsorpsi: ( b) ( b) (iv) Huum-huum sositif: ( b) c ( b c) b) c ( b c). Teorem 3 Misl dlh eleme sembrg dlm ljbr Boole B.M berlu (i) Huum Ketuggl Kompleme: Bil x & x 0 m x '. (ii) Huum Ivolusi: ( ')' 0 0 (iii) 0 ' ' 0 Teorem 4 (Huum-huum DeMorg) Misl b dlh eleme-eleme sembrg dlm ljbr Boole B.M berlu (i) ( b)' ' b' ( b)' ' b'. 35

Disi rgi selr listri (rgi logi) Misl A B K merup selr listri d misl utu selr A A meuju selr listri bil A hidup A mti d bil A mti A hidup. A d B dpt dihubug seri ditulis A B tu prlel ditulis A B. Disi rgi selr listri Boole dlh susu dri wt d selr yg disusu deg peggu berulg-ulg dri ombisi seri d prlel. Jdi rgi tersebut dpt dpt ditulis deg otsi d. Teorem 5 Aljbr dri rgi selr listri Boole merup ljbr Boole. Sol. Gmbr ugp (espresi) Boole ( A B') [( A' C) B]. Sederh ugp (espresi) Boole ( A B') [( A' C) B] d emudi gmbr hsily.. Gmbr ugp (espresi) Boole [ A ( B B')] ( A' B' ) Sederh ugp (espresi) Boole A [( B B' )] ( A' B' ) d emudi gmbr hsily. 36

PERTEMUAN 5: DNF (Disjuctio Norml Form) Pdg himpu dri peubh-peubh (huruf tu simbol) misl x x K x. Yg dimsud deg espresi Boole E dlm peubh-peubh ii bisy ditulis sebgi E( x x K x ) dlh peubh sembrg tu espresi sembrg yg dibgu oleh peubh-peubh tersebut meggu opersi-opersi Boole d. Sebgi cotoh E ( x y' z)' ( xyz' x' y)' d F (( xy' z' y)' x' z)' merup espresi Boole dlm peubh x y z. Yg dimsud deg literl dlh peubh tu ompleme dri peubh misly x x' y y' dsb. Produ Fudmetl Yg dimsud deg produ fudmetl dlh literl tu produ dri du tu lebih literl di m tid d du literl yg megdug peubh yg sm. Misly xz ' xy' z x y' yz' x' yz semuy merup produ fudmetl. Tetpi produ fudmetl. xyx' z d xyzy eduy bu Produ fudmetl P dit termut dlm produfudmetl li P bil literlliterl dri P jug iterl-literl dri P. Sebgi cotoh x' z termut dlm x' y z tetpi tid dlm xy ' z re x bu literl dri produ fudmetl edu. Bil produ fudmetl P termut dlm produ fudmetl P m deg huum bsorpsi P P P. Misly c ' termut dlm c' b diperoleh c ' ( c' b) c'. DNF & Metody Espresi Boole E merup disjuctive orml form (df) bil E dlh produ fudmetl tu jumlh dri du tu lebih produ fudmetl di m t d produ fudmetl yg termut dlm produ fudmetl yg li. Sebgi cotoh E x z' y' z x y ' d E x z' x' y z' x y' '. z z Yg pertm bu df re x z' termut dlm x y z' sedg yg edu jug bu df re xz ' termut dlm xy ' z'. Meggu huum-huum ljbr Boole it dpt megostrusi lgoritm utu megubh espresi Boole sembrg E e betu df deg cr sbb. () Meggu huum-huum de Morg d ivolusi it dpt mejl opersi ompleme e dlm urug sembrg smpi hiry hy terdpt 37

ompleme dri peubh-peubh. Kemudi E hy megdug jumlh d produ dri literl sj. () Meggu huum distributif it dpt terus megubh E e dlm jumlh dri produ-produ llu meggu huum-huum omuttif idempote d bsorpsi it hiry dpt megubh E dlm df. Sebgi cotoh deg () E (( b)' c)'(( ' c)( b' c'))' (( b)'' c')(( ' c)' ( b' c')') ( b c')( c' bc). Kemudi deg () E bc' bbc c' c' bcc' bc' bc c' 0 c' bc yg berbetu df. Full DNF Espresi Boole E( x x K x ) disebut full disjuctive orml form bil E( x x K x ) merup df d setip produ fudmetl megdug semu peubh. Kit deg mudh dpt megubh df e dlm full df deg megli setip produ fudmetl P dri E deg x i x i ' bil P tid megdug xi. Sebgi cotoh it dpt megubh E E( b c) di ts e dlm full df deg E c' bc c'( b b') bc bc' b' c' bc. Perlu dictt bhw x x ' sehigg megli P deg x ' diboleh. i i i x i Teorem Setip espresi Boole E( x x K x ) yg tid sm deg ol dpt ditulis dlm full df deg tuggl. Cotoh. Nyt espresi Boole beriut dlm df d dlm full df E E x y z) x( y' )'. ( z Solusi E x( y' z)' x( y z') xy xz' dlm df. Jug E xy xz' xy( z z') x( y y') z' xyz xyz' xyz' xy' z' xyz xyz' xy' z' dlm full df.. Nyt espresi Boole beriut dlm df d dlm full df E E ( x y z) z( x' y) '. y Solusi 38

E z( x' y) y' x' z yz y' dlm df. Jug E z( x' y) y' x' z( y y') yz( x x') y'( x x')( z z') x' yz x' y' z xyz x' yz xy' z xy' z' x' y' z x' y' z' xyz xy' z xy' z' x' yz x' y' z x' y' z' dlm full df. 3. Nyt espresi Boole beriut dlm df d dlm full df E ( 3 E3 x y z) ( x' y)' x' y. Solusi E 3 ( x' y)' x' y xy' x' y dlm df. Betu terhir ii bis dipdg sebgi dlm betu full df bil peubh-peubhy hy x d y. Tetpi dlm sol jels bhw peubh-peubhy diethui dlm x y z. Jdi E ( x' y)' x' y xy' x' y xy'( z z') x' y( z z') 3 xy' z xy' z' x' yz x' yz' dlm full df. 39

PERTEMUAN 6: TEORI GRAPH Pegerti d osep dsr Grph G terdiri dri du bgi: (i) Himpu V yg eleme-elemey disebut titi-titi tu odes. (ii) Himpu E dri psg-psg t berurut dri titi-titi yg berli yg disebut rusu-rusu tu edges. Kit meulis grph sedemii deg G( V E) utu mee du bgi dri grph G tersebut. Titi-titi u d v disebut bersebelh tu djcet bil terdpt rusu { u v}. Kit meggmbr grph deg digrm secr lmi. Dlm hl ii setip titi v dlm V disji deg ligr ecil tu dot d setip rusu e { v v } disji deg urv yg meghubug titi-titi ujug v d v. Pd grph G( V E) bisy tid diboleh dy rusu gd tu multiple edges yitu dy lebih dri stu rusu yg meghubug du titi pd grph tersebut. Pd grph G ( V E) jug tid diboleh dy loop yitu rusu yg titi-titi ujugy sm. Grph G( V E) deg du sift ii disebut multigrph. Yg dimsud deg wl dlh multigrph yg terdiri dri bris yg bergti dri titi d rusu deg betu v e v e v K e v e v. 0 Sedg pth dlh wl di m semu titi-titiy berli. Misl G ( V E) dlh grph. Misl jug V himpu bgi dri V d E dlh himpu bgi dri E yg memut semu rusu dri E yg titi-titi ujugy merup eleme dri V. Dlm hl ii G( V ' E' ) merup subgrph dri grph G ( V E). Kompoe dri grph Grph G( V E) disebut terhubug tu coected bil tr du titi sembrg terdpt sutu pth yg meghubug du titi tersebut. Subgrph terhubug dri grph G( V E) disebut ompoe terhubug dri G( V E) bil di tid termut dlm subgrph terhubug sembrg yg lebih besr. Secr ituitif jels bhw setip grph dpt diprtisi e dlm ompoe-ompoe terhubugy. Jr tr du titi d dimeter Jr tr du titi u d v dri grph terhubug G ditulis d ( u v) dlh pjg dri pth terpede tr u d v. Dimeter dri grph terhubug G dlh jr msimum dri du titi sembrg dri G. Misl v dlh titi dri grph G. Yg dimsud deg G v dlh dlh grph yg diperoleh dri G deg meghilg v d semu rusu-rusu yg beriside deg v. Titi v dlm grph terhubug G disebut titi potog tu cut poit bil G v mejdi t terhubug. 40

PERTEMUAN 0: PEWARNAAN GRAPH Pewr titi Pewr titi dri grph G dlh peetu wr pd titi-titi G sedemii sehigg titi-titi yg bersebelh mempuyi wr-wr berli. Byy wr miimum yg diperlu utu mewri G disebut bilg romti tu chromtic umber dri G d ditulis deg simbol κ(g). Kit beri lgoritm Welch d Powell utu mewri grph G. Lgh pertm dlh megurut titi-titi dri G berdsr degreey yg meuru (urut ii tid tuggl re d titi-titi yg puy degree sm). Lgh edu dlh memberi wr pertm utu titi pertm. Utu mewri seljuty dlh secr bris wri setip titi yg tid bersebelh deg titi yg diwri sebelumy deg wr yg sm. Ulgi proses yg sm meggu wr edu d bris bgi dri titi-titi yg belum diwri. Ljut prosesy deg wr etig dst. smpi semu titi-titi terwri. Kit memi lgoritm Welch-Powell utu mewri grph G pd Gmbr 6-5. Megurut titi-titi meurut degreey yg meuru diperoleh bris A A A A A A A. 5 3 7 4 6 A8 Wr pertm digu utu mewri titi-titi A5 d A. Wr edu dipi utu mewri titi-titi A A. Wr etig dipi utu mewri titi-titi 3 4 A8 A A d 7 A 6 sehigg κ ( G) 3. Perlu dictt bhw κ( G) > re A A d A 3 hrus diwri berli. Jdi κ ( G) 3. Jug grph omplit tu legp K deg titi simpul memerlu wr dlm pewr sembrg re setip titi simpul bersebelh deg setip titi simpul liy. Cotoh. Perhti Gmbr 6-8. Gu lgoritm Welch-Powell utu mewri (pewr titi) grph pd gmbr tersebut. Solusi Dierj secr bris it pi wr pertm utu mewri titi-titi simpul H B d llu G.( Kit tid dpt mewri A D tu F deg wr pertm re msig-msig terhubug deg H. Kerj terus secr bris deg titi-titi simpul yg belum diwri it pi wr edu utu titi-titi simpul A d D. Titi-titi simpul sisy F C d E dpt diwri deg wr etig. Jdi bilg romti tid dpt melebihi 3. Pd setip pewr H D d E hrus diwri berli re mere terhubug stu sm li. Jdi 3. Pewr rusu Pewr rusu dri grph G dlh peetu wr pd rusu-rusu G sedemii sehigg rusu-rusu yg bersebelh mempuyi wr-wr berli. Byy wr yg diperlu dibut miimum. 4

Cotoh. Perhti grph pd hlm 49. Pewr rusu grph tersebut dierj sebgi beriut: ) e it beri wr pertm. b) e4 d e9 it beri wr pertm jug re e e d 4 e9 tid slig terhubug lgsug oleh sebuh titi. c) e it beri wr edu. d) e 5 d e7 dpt diberi wr edu jug re e e d 5 e7 jug tid slig terhubug mellui sebuh titi. e) e 3 d e 8 dpt diberi wr etig. f) Terhir e 6 it beri wr eempt. Jdi bilg romti (pewr rusu) dri grph di ts dlh empt tu κ ( G) 4.. Pd pewr rusu utu grph legp κ bilg romti dri κ memeuhi rumus: bil gjil κ ( κ ) bil gep. Pewr derh Pdg sutu mp M yitu represetsi plr dri multigrph plr yg berhigg. Du derh dri M dit bersebelh bil mere mempuyi sutu rusu berserit. Yg dimsud deg pewr derh dri M dlh peetu wr pd setip derh dri M sedemii sehigg derh-derh yg bersebelh mempuyi wr yg berli. HAL 49 Cotoh. Sebgi cotoh pd Gmbr 6-6 () derh-derh r d r 5 bersebelh sedg r 3 d r 5 tid. Mp pd Gmbr 6-6 () mempuyi bilg romti tig 4

yitu byy wr miimum utu pewr derh dri mp tersebut. Hl ii megigt: r diberi wr merh r putih r 3 merh r4 putih r 5 merh d r 6 biru.. Gmbr 6-7 memperliht mp yg sgt sederh yg memerlu empt wr pd pewr (derh) sembrg. Sol. Crilh bilg romti utu pewr derh pd setip mp pd Gmbr 6-30. 43

PERTEMUAN : TREE GRAPH Sutu grph terhubug tp cycle disebut tree tu poho. Pd Gmbr 5- diperliht em poho msig-msig deg em titi simpul. Subgrph T dri grph G disebut spig tree dri G bil T merup tree d memut semu titi simpul dri G. Gmbr 6-8 memperliht grph G deg spig trees T T d T 3 dri G. Bil G dlh sutu grph yg rusu-rusuy mempuyi pjg m yg dimsud deg miiml spig tree dri G dlh spig tree dri G di m jumlh pjg dri rusu-rusuy miiml di tr semu spig tree dri G. Pdg grph G yg merup grph terhubug berlbel berhigg deg m titititi simpul. Di bwh ii it beri du lgoritm utu medpt miiml spig tree dri G. Algoritm I. Pertm urut rusu-rusu dri G sesui deg pjgy secr meuru. Kerj secr bris hilg setip rusu yg tid memutus (membut tid terhubug) grph G smpi tiggl m rusu. Rusu-rusu ii membetu miiml spig tree dri G. Algoritm ii bergtug pd diethuiy grphy terhubug yg pd umumy tid mudh dibut progrmy. Algoritm II. Dimuli deg megurut rusu-rusu dri G sesui deg pjgy secr mei. Kemudi dimuli deg hy titi-titi simpul dri G it tmbh rusu stu perstu di m setip rusu puy pjg miiml d tid membetu cycle mpu. Setelh membh m rusu it dpt miiml spig tree dri G. Gmbr 6-9 memberi grph terhubug berlbel G d miiml spig tree M. Cotoh. Tetu semu spig trees dri grph G pd Gmbr 6-0. Solusi Terdpt delp spig trees dri grph G sebgim diperliht pd Gmbr 6-. Setip spig tree mempuyi tig rusu. Jdi setip spig tree dpt diperoleh deg meghilg du dri lim rusu G. Ii dpt dierj dlm sepuluh cr eculi du di try mejdi grph t terhubug. Jdi delp spig trees di ts merup semu spig trees dri G.. Crilh miimum spig tree utu grph deg rusu-rusu berlbel pd Gmbr 6-. Solusi Terus hilg rusu-rusu deg pjg msimum tp membut grph mejdi tid terhubug. Cr li muli deg sembil titi simpul terus tmbh 44

rusucrusu deg pjg miimum tp membut cycle mpu. Kedu cr meghsil miimum spig tree sebgim dituju pd Gmbr 6-3. 45

PERTEMUAN 3: FINITE AUTOMATA Kit bis memdg sutu omputer digitl sebgi sutu mesi yg berd di dlm iterl stte tertetu pd wtu yg diberi sembrg. Komputer tersebut membc iput symbol d emudi mecet output symbol d megubh stte y. Output symbol bergtug hy pd iput symbol d iterl stte dri mesi d iterl stte dri mesi bergtug hy pd stte sebelumy d iput symbol sebelumy. Ggs ii diformlissi pd defiisi beriut. Defiisi Sutu fiite stte mchie M terdiri dri lim bgi: () Himpu berhigg A dri iput symbols. () Himpu berhigg S dri iterl sttes. (3) Himpu berhigg Z dri output symbols. (4) Next-stte fuctio f dri S A e S. (5) Output fuctio g dri S A e Z. Mesi M ii ditulis deg M A S Z f. g sewtu it igi mee lim bgiy. Kdg-dg diberi jug iitil stte tu stte wl q0 di dlm S d mesi M ditulis deg M A S Z q0 f. g. Cotoh Di bwh iidiberi fiite stte mchie M deg du iput symbols tig iterl sttes d tig output symbols: () A { b} () S { q0 q q} (3) Z { x y z} (4) Next-stte fuctio f dri S A e S didefiisi deg f ( q ) q f ( q ) q f q q 0 ( ) f ( q0 b) q f ( q b) q f ( q b) q. (5) Output fuctio g dri S A e Z didefiisi deg g( q ) x g( q ) x g q z 0 ( ) g( q0 b) y g( q b) z g( q b) y. Meurut trdisi utu meuju sttes digu simbol q d utu meuju iitil stte digu simbol q 0. Fiite Automt Fiite utomto dlh mirip fiite stte mchie eculi bhw utomto mempuyi cceptig d rejectig sttes. Secr spesifi fiite utomto M terdiri dri lim bgi yitu: () Himpu berhigg A dri iput symbols. () Himpu berhigg S dri iterl sttes. (3) Himpu bgi T dri S ( yg eleme-elemey disebut cceptig sttes) 0 46

(4) Iitil stte q0 di dlm S. (5) Next-stte fuctio f dri S A e S. Automto M ii ditulis deg M A S T q. f sewtu it igi mee lim bgiy. 0 Cotoh. Di bwh ii medefiisi sutu fiite utomto deg du iput symbols d tig sttes: () A { b} iput symbols () S q q q } sttes { 0 { q q 0 (3) T } cceptig sttes (4) q 0 iitil stte. (5) Next-stte fuctio f dri S A e S didefiisi deg f ( q ) q f ( q ) q f q q f ( q 0 0 b) q 0 f ( q b) q 0 ( ) f ( q b) q Kit deg rigs dpt medisripsi fiite utomto M deg stte digrmy sebgim dierj deg fiite stte mchie eculi bhw di sii it meggu ligr dobel utu cceptig sttes d setip rusu dilbel hy deg iput symbol. Secr spesifi stte digrm D dri M dlh grph berrh yg dilbel yg titi-titiy dlh sttes dri S di m cceptig sttes dilbel meggu ligr dobel; d bil f ( q j i) q m terdpt busur dri q j e q yg dilbel deg i. Jug iitil stte q0 dituju deg ph meuju titi q. 0 Sebgi cotoh stte digrm dri utomto M dri cotoh di ts diberi dlm Gmbr 7-9. Diberi strig berhigg W L dri iput symbols dri utomto M it peroleh bris dri sttes s 0 s s Ls di m s0 dlh iitil stte d s f s ) utu i > 0. Kit t bhw M megel tu meerim strig W bil i ( i i fil stte s dlh cceptig stte yitu bil s T. Kit gu L(M ) utu meuju himpu semu strig yg diel oleh M. Sebgi cotoh it dpt memperliht bhw utomto M dlm cotoh di ts megel semu strig yg tid mempuyi du b yg berurut. Jdi M meerim bbb bb bbbb d meol bbb bb bbbb bb bbb 3. 47