Yohnes Privte Mtemtik 3 081519611185, 08119605588 Irisn keruut: Lingkrn Prol Elis Hierol LINGKARAN Bentuk umum : 2 + 2 = r 2 ust: (0, 0) ; jri-jri = r ( ) 2 + ( ) 2 = r 2 ust: (, ) ; jri-jri = r r r 2 + 2 + A + B + C = 0 ust: (-½A, -½B) jri-jri = ½ A 2 + B 2 4C Gris singgung: 1. Grdien gris singgung dikethui = m r m 2 + 1 = m ( ) r m 2 + 1 2. Titik singgung ( 1, 1) dikethui. 1 +. 1 = r 2 ( ) (1 ) + ( ) (1 ) = r 2 Gris olr:. 1 +. 1 = r 2 ( ) (1 ) + ( ) (1 ) = r 2 Kus, njng gris singgung dn gris kus: Kus dri titik ( 1, 1) terhd lingkrn L 1. K = (1 ) 2 + (1 ) 2 - r 2 2. K = 1 2 + 1 2 + A 1 + B 1 + C (koefisien 2 dn 2 hrus = 1) Pnjng gris singgung dri ( 1, 1) terhd L : d = K ( 1, 1) di lur L Gris kus : g L1 L2 = 0 Titik kus d 3 lingkrn : - ri gris kus ntr L1 dn L2 - ri gris kus ntr L1 dn L3 - Koordint titik kus dlh erotongn kedu gris terseut Titik otong 2 lingkrn 1. Cri gris kus kedu lingkrn (itu g) 2. Sustitusi g d slh stu lingkrn, jdikn entuk ersmn kudrt 3. Periks diskrimnn ersmn kudrt ng terjdi: D > 0 : kedu lingkrn erotongn di 2 titik D = 0 : kedu lingkrn erotongn di 1 titik D < 0 : kedu lingkrn tidk erotongn 1
PARABOLA Prol relsi Prol fungsi Bentuk kurv Definisi Temt kedudukn titik-titik ng erjrk sm terhd seuh titik tet (diseut fous) dn seuh gris tertentu (diseut direktris) Temt kedudukn titik-titik sehingg erndingn jrkn ke titik tertentu (itu fous) dn gris tertentu (itu direktris) sm dengn 1 (eksentrisits = e = 1) Persmn ( ) 2 = 4 ( ) ( ) 2 = 4 ( ) Punk (, ) (, ) Prmeter P + : memuk ke knn : memuk ke kiri P + : memuk ke ts : memuk ke wh okus ( +, ) (, + ) Direktris = = S. simetri = = Eksentrisits e = 1 e = 1 Ltus retum LR = 4 LR = 4 Gris singgung m dikethui = m ( ) + /m = m ( ) m 2 ttk sg. ( )(1 ) = 2 ( + 1 2) dikethui rumus gi dil, (1,1) d rol Gris olr ( )(1 ) = 2 ( + 1 2) rumus gi dil, (1,1) di lur rol Grs. Tengh = 2(/m) sekwn ( )(1 ) = 2 ( + 1 2) rumus gi dil, (1,1) d rol ( )(1 ) = 2 ( + 1 2) rumus gi dil, (1,1) di lur rol = 2m CATATAN : Menentukn rumus gi dil : Bentuk 2 dieh menjdi 1 Bentuk 2 dieh menjdi 1 Bentuk dieh menjdi ½ ( + 1) Bentuk dieh menjdi ½ ( + 1) 2
ELIPS Bngun kurv Elis ( dtr ) Elis ( tegk ) q f f q Definisi Temt kedudukn titik-titik ng jumlh jrkn terhd du titik tertentu (diseut fous) dlh tet hrgn (itu sm dengn 2) Temt kedudukn titik-titik sehingg erndingn jrkn ke titik tertentu dn gris tertentu dlh kurng dri 1 ( 0 < e < 1 ) Persmn ( ) 2 ( q) 2 -------- + --------- = 1 2 2 ( ) 2 ( q) 2 -------- + --------- = 1 2 2 Pust (, q) (, q) Prmeter,, 2 = 2 + 2 > > 0 sumu njng = 2 (sejjr s. ) sumu endek = 2 (sejjr s. ),, 2 = 2 + 2 > > 0 sumu njng = 2 (sejjr s. ) sumu endek = 2 (sejjr s. ) okus (2) (, q) (, q ) Punk (4) (, q ) dn (, q) (, q ) dn (, q) Direktriks (2) = ( 2 /) = ( 2 /) S. simetri = dn = q = dn = q Eksentrisits e = (/) ; 0 < e < 1 e = (/) ; 0 < e < 1 Ltus retum LR = 2 2 LR = 2 2 A Gris singgung m dikethui q = m( ) ( 2 m 2 + 2 ) q = m( ) ( 2 m 2 + 2 ) ttk singgung dikethui ( )(1 ) ( q)(1 q) 2 2 rumus gi dil (1, 1) d elis Gris olr ( )(1 ) ( q)(1 q) 2 2 rumus gi dil (1, 1) dilur elis Gris tengh sekwn - 2 q = ------ ( ) 2 m ( )(1 ) ( q)(1 q) 2 2 rumus gi dil (1, 1) d elis ( )(1 ) ( q)(1 q) 2 2 rumus gi dil (1, 1) dilur elis - 2 q = ------ ( ) 2 m 3
HIPERBOLA Hierol (dtr) Hierol (tegk) Bentuk kurv simtot simtot q q Definisi Temt kedudukn titik-titik ng selisih jrkn terhd du titik tertentu (diseut fokus) dlh tet hrgn (itu sm dengn 2) Temt kedudukn titik-titik sehingg erndingn jrkn ke titik tertentu dn ke gris tertentu dlh leih dri 1 (e > 1) Persmn ( ) 2 ( q) 2 -------- - -------- = 1 2 2 ( q) 2 ( ) 2 -------- - -------- = 1 2 2 Pust (, q) (, q) Prmeter,,, 2 = 2 + 2 sumu trnsfer = 2 ( sejjr sumu ) sumu imjiner = 2 ( sejjr sumu ),,, 2 = 2 + 2 sumu trnsfer = 2 ( sejjr sumu ) sumu imjiner = 2 ( sejjr sumu ) okus (2) (, q ) (, q ) Punk (2) (, q ) (, q ) Direktris (2) 2 = ---- 2 q = ---- S simetri = dn = q = dn = q Eksentrisits e = --- ; e > 1 e = --- ; e > 1 Ltus retum 2 2 Asimtot LR = ----- q = --- ( ) 2 2 LR = ----- q = --- ( ) Gris singgung m dikethui = m ( ) ( 2 m 2 2 ) = m ( ) ( 2 2 m 2 ) ttk sg. dikethui ( )(1 ) ( q)(1 q) 2 2 rumus gi dil, (1, 1) d hierol Gris olr ( )(1 ) ( q)(1 q) 2 2 Grs. Tengh sekwn rumus gi dil, (1, 1) di lur hierol 2 q = ------ ( ) 2 m ( q)(1 q) ( )(1 ) 2 2 rumus gi dil, (1, 1) d hierol ( q)(1 q) ( )(1 ) 2 2 rumus gi dil, (1, 1) di lur hierol 2 q = ------ ( ) 2 m 4
CATATAN Elis - Sumu njng diseut sumu mor, dn sumu endek diseut jug sumu minor Hierol 1. Hierol sekwn 2 2 2 2 --- - --- = 1 dn --- - --- = -1 dlh du hierol ng sekwn 2 2 2 2 Ciri : - ust sm - sumu nt hierol ng stu merukn s. imjiner hierol linn - gris-gris simtotn sm - jrk semu fokus ke ust dlh sm njng - hierol sekwn umumn tidk sm dn sengun 2. Hierol orthogonl / hierol sm sisi dlh hierol ng simtotn sling tegk lurus, tu = Menri gris singgung jik titik singgung telh dikethui Cr ng termudh (tidk erlu mengethui entuk kurv dn tidk erlu menghfl rumus gris singgung) dlh dengn menggunkn differensil, mengingt hw m = Contoh : Cri ersmn gris singgung di (5, 3) d elis : 2 + 4 2 6 16 + 17 = 0 Jw : Differensiln = 2 + 8 6 16 = 0 Di (5, 3) 2.5 + 8.3. 6 16 = 0 = -½ Persmn gris singgung : 3 = -½ ( 5) 2 6 = - + 5 + 2 = 11 Menri gris singgung dri titik (1, 1) di lur kurv (untuk semu entuk kurv) Ad du r : I. Menggunkn rumus gris singgung jik m dikethui Lngkh : 1. Mislkn gris singgung seolh-olh m (grdien) dikethui 2. Sustitusi titik (1, 1) ke ersmn gris singgung terseut - dieroleh sutu ersmn dlm m - ehkn ersmn terseut, sehingg dieroleh nili m 3. Gunkn rumus: 1 = m ( 1) untuk mendtkn ersmn gris singgung II. Menggunkn ntun gris olr Lngkh : 1. Cri ersmn gris olr titik (1, 1) (gunkn rumus gi dil) 2. Sustitusi gris olr ke ersmn kurv - ehkn ersmn terseut - dieroleh koordint dri kedu titik singgung 3. Gunkn rumus gi dil untuk mendtkn ersmn gris singggung Contoh: Cri ersmn gris singung ng ditrik dri (7, 1) d lingkrn 2 + 2 = 25 Cr I : Jw : Kren lingkrn terseut erust di (0, 0) dn erjri-jri r = 5, mk gris singgungn jik m telh dikethui ilh. = m 5 (m 2 + 1) gris lewt (7, 1) 1= m.7 5 (m 2 + 1) 1 7m = 5 (m 2 + 1) (1 7m) 2 = 25 (m 2 + 1) 1 14m + 49m 2 = 25m 2 + 25 24m 2 14m 24 = 0 m = 4/3 m= -3/4 1 = 4/3 ( 7) sert 1 = -3/4 ( 7) 4 3 25 = 0 sert 3 + 4 25 = 0 5
Cr II Jw : Persmn gi dil : 1 + 1 = 25 1. Persmn gris olr :.7 +.1 = 25 7 + = 25 = 25 7 2. Sustitusi ke lingkrn: 2 + (25 7) 2 = 25 2 + 625 350 + 49 2 = 25 50 2 350 + 600 = 0 2 7 + 12 = 0 ( 4)( 3) = 0 1 = 4 1 = 25 7.4 = -3 (4, -3) 2 = 3 2 = 25 7.3 = 4 (3, 4) 3. ersmn gris singgung di (4, -3) :.4 + (-3) = 25 4 3 25 = 0 ersmn gris singgung di (3, 4) :.3 + 4 = 25 3 + 4 25 = 0 Jenis kurv irisn keruut Persmn ser umum : A 2 + B 2 + C + D + E = 0 Jik : Lingkrn : A = B Elis : A B, A = +, B = + Hierol : A = 0 tu B = 0 Gris lurus: A = 0 dn B = 0 Kedudukn gris terhd irisn keruut D < 0 : gris tidk memotong kurv D = 0 : gris meninggung kurv D > 0 : gris memotong kurv di du titik 6