Bab 2 LANDASAN TEORI

9 Bab 2 LANDASAN TEORI 21 Uji Kecukupan Sampel Dalam melakukan penelitian yang berhubungan dengan kecukupan sampel maka langkah awal yang harus dilakukan adalah pengujian terhadap jumlah sampel Pengujian ini dimaksudkan untuk mengetahui apakah data yang diperoleh dapat diterima sebagai sampel Hipotesis yang diuji adalah : H 0 H 1 : Ukuran sampel telah memenuhi syarat : Ukuran sampel belum memenuhi syarat Rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah sampel adalah : 20N Y Y N Y Dengan : N = ukuran sampel yang dibutuhkan N = ukuran sampel percobaan Y t = data aktual t = 1,2,3,, n

10 Kriteria pengujian : H 0 diterima jika H 0 ditolak jika : N` < N : N` N 22 Pengertian Regresi Linier Regresi linier adalah regresi yang variabel bebasnya (variabel X) berpangkat paling tinggi satu, Dalam regresi linier sederhana terdapat hanya satu variabel bebas X yang dihubungkan dengan satu variabel Y = a + bx 1 + ε Sedangkan dalam regresi linier ganda terdapat sejumlah k buah variabel bebas (k 2) yang dihubungkan dengan Y linier atau pangkat satu dalam semua variabel bebas sehingga terbentuk model: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 + +b k X k +ε i Analisa regresi mempelajari hubungan kausal antara variabel tak bebas dan variabel bebas 23 Model Regresi Linier Ganda Bentuk umum persamaan regresi linier ganda adalah Y b b X b X b X ε Dimana: Y i X ik = Variabel tak bebas = Varibel bebas ke-k dan pengamatan ke-i k = 1, 2, 3,, j i = 1, 2, 3,, n

11 b o b k ε i = konstanta yang merupakan intersep (titik potong) antara garis dengan sumbu tegak Y = Parameter atau koefisien regresi yang akan ditaksir = Suatu bagian kesalahan taksiran untuk pengamatan ke-i Bentuk data yang akan diolah dari hasil pengamatan adalah sebagai berikut : TABEL 21 BENTUK PENGOLAHAN DATA No Observasi Variabel Tak Bebas (Y) Variabel Bebas X 1 X 2 X 3 X k 1 Y 1 X 11 X 12 X 13 X 1k 2 Y 2 X 21 X 22 X 23 X 2k 3 Y 3 X 31 X 32 X 33 X 3k N Y n X n1 X n2 X n3 X nk Untuk memperkirakan parameter b 0, b 1, b 2,, b k ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil biasa, sehingga ε = minimum (terkecil) Hal ini diperoleh dengan jalan menurunkan secara parsial terhadap b 0, b 1, b 2,, b k dan menyamakan nol Dirumuskan sebagai berikut: ε Y Y ε Y b b X b X b X

12 Mencari turunan parsial untuk b 0, b 1, b 2,, b k ε b 2Y b b X b X b X 1 0 ε b 2Y b b X b X b X X 0 ε b 2Y b b X b X b X X 0 Sehingga diperoleh persamaan normal sebagai berikut : nb b X b X b X Y b X b X b X b X X b X X X Y b X X b X X b X X Y 1

13 24 Model Regresi Linier Dengan Pendekatan Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya Bentuk matriks : A Secara Umum, invers dari matriks persegi A atau ditulis A -1 adalah sebagai berikut : A -1 1 = adj( A) det( A) dengan : det (A) = determinan matriks A dan Adj (A) adalah adjoin matriks A Adjoin matriks A = transpose dari matriks kofaktor A Invers matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks dan sistem persamaan linear Seperti pada persamaan 1 akan lebih sederhana dengan menggunakan matriks: Y= Xb + ε Dimana: Y 1 X X X b e Y Y 1 X,X X X b,b e,ε Y 1 X X X b e Maka untuk mendapatkan penaksir kuadrat terkecil bagi b yang minimum ε ε ε = YXb Y Xb

14 YY b X YY Xb b X Xb 2 Berdasarkan sifat dari transpose matriks yaitu Xb X b karena b X Y adalah suatu scalar (bilangan nyata = real number) maka sama dengan transposenya b X Y Y Xb Sehingga persamaan (2) menjadi : ε YY Y Xb Y Xb b X Xb ε YY 2Y Xb b X Xb Dengan penurunan terhadap elemen-elemen: b ε 2X Y2X Xb Kemudian disamakan dengan nol, maka diperoleh X Xb X Y (persamaan normal) (3) bx X X Y, dengan syarat ada invers Bentuk penulisan persamaan (3) dalam matriks adalah n X X X X X X X X X b b X X X X X X b X X X X X X b 1 1 1 1 X X X X Y Y X X X X X X X X Y (4) Y Koefisien regresi b 0, b 1, b 2,, b k adalah

15 b n X X X b X X X X X X b X X X X X X b X X X X X X (5) Y X Y X Y X Y 25 Metode Regresi Stepwise Metode yang digunakan adalah Metode bertatar (Stepwise Forward) Metode ini digunakan untuk menentukan suatu persamaan regresi linier variabel respon (Y) terhadap variabel-variabel bebas (X) adalah dengan cara menyusupkan peubah satu demi satu sampai diperoleh persamaan regresi yang memuaskan Urutan penyisipannya ditentukan dengan menggunakan koefisien korelasi parsial sebagai ukuran pentingnya peubah yang masih diluar persamaan Prosedur dasarnya,langkah pertama adalah memilih X yang paling berkorelasi dengan Y (misalkan X 3 ) kemudian dihitung persamaan regresi linier antara Y dengan X 3 Setelah itu diuji apakah peubah tersebut nyata atau tidak Jika tidak nyata proses berhenti dengan mengambil model Y = Y sebagai yang terbaik Jika peubah tersebut nyata, dicari peubah peramal kedua untuk dimasukkan kedalam peubah persamaan regresi Untuk mencarinya, diperiksa koefisien korelasi parsial semua peubah peramal yang berada diluar persamaan regresi Peubah X yang mempunyai koefisien korelasi parsial tertinggi dengan Y yang dipilih (misalkan X 8 ) dan selanjutnya persamaan regresi kedua antara Y, X 3, dan X 8 dihitung Kemudian persamaan regresi tersebut diuji Dan nilai F parsial untuk kedua peubah yang ada dalam persamaan diuji Nilai F parsial terendah (misalkan X 8 ) kemudian dibandingkan dengan nilai F tabel Jika peubah tersebut nyata, dicari peubah peramal selanjutnya untuk dimasukkan kedalam peubah persamaan regresi Namun jika tidak nyata proses diberhentikan dengan mengambil model regresi antara Y dengan X 3 sebagai persamaan regresi terbaik

16 251 Membentuk Matriks Koefisien Korelasi Koefisien korelasi yang dicari adalah koefisien korelasi linier sederhana antara Y dengan X i, dengan rumus: X X Y Y r X X Y Y Dengan : Y Y n X X n i = 1, 2, 3,, n j = 1, 2, 3,, k Bentuk matriks koefisien korelasi linier sederhana antara Y dan X i : r X X r r X r X r 252 Membentuk Regresi Pertama (Persamaan Regresi Linier) Variabel pertama yang diregresikan adalah variabel yang mempunyai harga mutlak koefisien korelasi yang terbesar antara Y dengan X i, misalkan X h Dari variabel ini dibuat persamaan regresi linier Y=b 0 +b 1 X h +ε i, dengan cara sebagai berikut:

17 1 X 1 X X 1 X n X X X X X Y Y Y Y Y X Y X Y βx X X Y b b Keberartian regresi diuji dengan tabel analisa variansi (Anava) Perhitungan untuk membuat Anava adalah sebagai berikut: SSR β X Y Y JY n SST Y Y Y JY n Dengan : β X Y Y Y n Y n SSR SST =Sum Square Regresion (Jumlah Kuadrat Regresi) =Sum Square Total (Jumlah Kuadrat Total) J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n x n J =Matriks berordo n x n dengan semua nilai adalah 1 SSE SST SSR SSR MSR p1 MSE SSE np SSE = Sum Square Error (Jumlah Kuadrat kesalahan) MSE = Mean Square Error (Rata-rata kuadrat Kesalahan)

18 Sehingga didapat harga standard error dari b, dengan rumus S β MSEX X Sb S b TABEL 22 ANALISA VARIANSI UNTUK UJI KEBERARTIAN REGRESI Source DF SS MS F uji Regresi (X h ) p-1 SSR MSR Residu n-p SSE MSE MSR/MSE Total SST Uji Hipotesa: H 0 H 1 : Regresi antara Y dengan X h tidak signifikan : Regresi antara Y dengan X h signifikan Keputusan: Bila F hitung < F tabel maka terima H 0 Bila F hitung F tabel maka tolak H 0 Dengan : F tabel =F (p-1,n-p,0,5) 253 Seleksi Variabel Kedua Diregresikan Cara menyeleksi variabel yang kedua diregresikan adalah memilih parsial korelasi variabel sisa yang terbesar Untuk menghitung harga masing-masing korelasi parsial bisa digunakan rumus: r SSRX,X SSRX SSEX Dimana:

19 X k merupakan variabel sisa SSR X B X Y Y /n SSEX SST SSR SSRX,X diperoleh dengan cara: i Mencari (X X) -1 (xh,xk), dan X Y (xh,xk) ii Mencari harga B (xh,xk), sehingga didapat B (xh,xk) iii SSR (X h,x k ) = B (xh,xk) X Y (xh,xk) 254 Membentuk Regresi Kedua Dengan memilih parsial korelasi variabel sisa terbesar untuk variabel tersebut masuk dalam regresi kedua dibuat Y = b 0 + b h X k +b k X k +ε i Dengan cara sebagai berikut : 1 X X 1 X X X X X X 1 X X X n X X X X X X X X Y Y Y Y Y X Y X Y X Y b β X X X Yb b

20 Uji keberartian regresi dengan tabel anava sama dengan langkah kedua yaitu dengan menggunakan tabel 22 Berikutnya dicek apakah koefisien regresi b k signifikan, dengan hipotesa: H 0 : b k = 0 H 1 : b k 0 F b Sb Sedangkan F tabel =F (1,n-p,0,05) Keputusan : Bila F hitung < F tabel terima H 0 artinya b k dianggap sama dengan nol, maka proses distop dan persamaan yang terbaik Y=b 0 + b h X h + e i Bila F hitung F tabel tolak H 0 artinya b k tidak sama dengan nol, maka variabel X k tetap di dalam penduga 255 Seleksi Variabel Ketiga Diregresikan Dipilih kembali harga parsial korelasi variabel sisa terbesar Menghitung harga masing-masing parsial korelasi variabel sisa menggunakan langkah 3, dengan rumus : r X X SSRX,X,X SSRX,X SSEX,X 256 Membentuk Persamaan Regresi Ketiga ( Regresi Ganda ) Dengan memilih parsial korelasi terbesar, persamaan regresi dibuat: Yb b X b X b X e Dimana X 1 adalah variabel sisa yang mempunyai parsial korelasi terbesar, dengan cara sebagai berikut:

21 1 X X X 1 X X X X 1 X X X n X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Y X Y X Y X Y X Y Untuk proses selanjutnya, dilakukan dengan cara yang sama seperti di atas 257 Pembentukan Persamaan Penduga Persamaan penduga Y b b X dimana adalah adalah semua variabel X yang masuk kedalam penduga (Faktor penduga) dan adalah koefisien regresi untuk 258 Pertimbangan Terhadap Penduga Sebagai pembahasan suatu penduga,untuk menanggapi kecocokan penduga yang diperoleh ada dua hal yang dipertimbangkan yakni: a Pertimbangan berdasarkan R 2 Suatu penduga sangat baik digunakan apabila persentase variabel yang dijelaskan sangat besar atau bila R 2 1

22 b Analisa Residu Suatu regresi adalah berarti dan model regresinya cocok (sesuai berdasarkan nilai observasi) apabila asumsi dibawah ini dipenuhi: e j N (0, σ 2 ) berarti residu (e j ) mengikuti distribusi normal dengan mean (e) = 0 dan varian (σ 2 ) = konstanta Asumsi ini dibuktikan dengan analisa residu Untuk langkah ini pertama-tama dihitung residu (sisa) dari penduga, yaitu selisih dari respon observasi terhadap hasil keluaran oleh penduga berdasarkan prediktor observasi Dengan rumus : dimana tabelnya seperti dibawah ini : TABEL 23 RESIDU No Observasi Respon (Y) Penduga (Y Residu (e 1 Y 1 Y Y 1 -Y 2 3 N Y 2 Y 3 Y Y Y Y Y 2 -Y Y 3 -Y Yn-Y Jumlah e Rata-rata e /n Asumsi a Rata-rata residu sama dengan nol (e 0 b Varian (e j ) = varian (e k ) = σ 2 Keadaan ini dibuktikan dengan uji statistik dengan menggunakan uji korelasi Rank Spearman (Spearman s Rank Correlation Test) Uji Spearman merupakan salah satu uji statistik non paramateris Digunakan apabila ingin mengetahui kesesuaian antara 2 subjek dimana skala datanya adalah ordinal Karena uji kesesuaian, maka jelas sifat

23 hubungan kedua variabel adalah simetris, bukan resiprocal Skala data jelas adalah nominal (2 subjek) dengan interval yang diubah menjadi peringkat Langkah-Langkah yang dilakukan dalam analisis korelasi Rank Spearman adalah sebagai berikut : 1Hipotesis H 0 H 1 : tidak ada hubungan antara variabel faktor-faktor yang mempengaruhi kriminalitas dengan jumlah kriminalitas : ada hubungan antara variabel faktor-faktor yang mempengaruhi kriminalitas dengan jumlah kriminalitas 2 Kriteria Pengujian Hipotesis H 0 ditolak bila harga r hitung > dari r tabel H 0 diterima bila harga r hitung dari r tabel Untuk uji ini, data yang diperlukan adalah Rank (e j ) dan Rank (Y j ), dimana : d j = Rank (Y j ) Rank (e j ) hal ini ditunjukkan dengan tabel berikut: TABEL 24 RANK SPEARMAN No Penduga Residu Rank Rank (e) d (r y -r e ) d 2 Observasi (Y j ) (e) (Y) 1 Y 1 e 1 r y1 r e1 d 1 d 1 2 2 Y 2 e 2 r y2 r e2 d 2 d 2 2 3 Y 3 e 3 r y3 r e3 d 3 d 3 2 Y n Y n e n r yn r en d n d n 2 Jumlah d Koefisien korelasi Rank Spearman (r s ) :

24 r 16 d nn 1 r dj N = koefisien korelasi Rank Spearman = beda antara dua pengamatan berpasangan = total pengamatan 1Tentukan nilai estimasi Y terhadap X untuk mendapat nilai residu ε n 2Susun nilai nilai ε n dari X, menurut susunan menaik atau menurun (tanpa memperhatikan nilai (+) atau (-) dari ε n karena kita mengambil nilai absolut ε n untuk menghitung koefisien korelasi Rank Spearman Untuk nilai ini data yang diperlukan adalah rank (ε n ) dan Rank (Ŷ n ) 3Lakukan pengujian koefisien rank spearman r s dengan uji t : t r n2 1r n = Banyaknya data observasi/ banyaknya individu atau pengamatan yang di rank-kan t- tabel = t,α ; n-2 adalah derajat kebebasan dan α adalah taraf nyata hipotesa Dengan membandingkan test terhadap tabel, bila t hitung < t tabel maka, varian (e j ) = varian (e k ) dengan kata lain bila t test < t tabel, maka varian seluruh residu adalah sama Bila terbukti varian (e j ) = varian (e k ) maka model yang digunakan yakni model linier adalah cocok