Kestabilan dan Bifurkasi Model Epidemik SEIR dengan Laju Kesembuhan Tipe Jenuh Khoiril Hidayati, Setijo Winarko, I Gst Ngr Rai Usadha Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail: setijo_winarko@yahoo.com, usadha@matematika.its.ac.id Abstrak Terjangkitnya suatu penyakit menular (epidemik) dalam masyarakat dapat menimbulkan banyak kerugian (kepunahan). Untuk itu diperlukan upaya penanggulangan wabah tersebut, diantaranya dengan cara pembentukan imun melalui treatmen pihak rumah sakit dengan laju jenuh agar penderita tidak menjadi sumber penularan. Pada model epidemik SEIR dengan treatmen tipe jenuh ini dilakukan analisa bifurkasi. Dari hasil analisis didapat bilangan reproduksi dasar yang menyatakan rata-rata terjadinya penularan penyakit. Bifurkasi mundur terjadi karena kurang sempurnanya treatmen yang dilakukan. Kata Kunci Bifurkasi Mundur, Bilangan Reproduksi Dasar, Model SEIR, Treatmen. I. PENDAHULUAN enyakit endemik, yaitu penyakit yang menyebar pada Psuatu wilayah dalam kurun waktu yang sangat lama, bisa menjadi ancaman bagi populasi di suatu wilayah. Suatu populasi yang terdapat penyakit endemik di dalamnya bisa mengalami kepunahan jika tidak dilakukan penanganan yang tepat. Banyak upaya penanganan yang bisa dilakukan, diantaranya ada treatmen dan karantina. Treatmen adalah pemberian obat yang dilakukan pihak rumah sakit untuk menghasilkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat mencegah atau mengurangi penularan penyakit. Treatmen memiliki 2 tipe yaitu tipe jenuh dan tipe linier. Treatmen tipe jenuh digunakan karena sering kali jumlah pasien yang perlu ditangani jumlahnya melebihi kapasitas pelayanan yang disediakan oleh pihak rumah sakit. Mohammad Djasuli dalam penelitiannya dengan eksistensi bifurkasi mundur pada model penyebaran penyakit makroparasitis menyatakan bahwa penyakit menular yang menimbulkan fenomena bifurkasi mundur lebih berbahaya daripada penyakit menular yang tidak menyebabkan terjadinya bifurkasi mundur ditinjau dari sisi kesembuhan dan bebasnya penderita awal[6]. Pada paper ini dianalisa kestabilan dan adanya bifurkasi mundur pada model epidemik SEIR dengan treatmen tipe jenuh. Model epidemik SEIR adalah model yang terdiri dari empat sub-populasi manusia yaitu individu susceptible atau individu yang rentan terhadap penyakit, individu exposed atau individu yang telah terinfeksi tetapi belum tampak tanda-tanda menderita penyakit, individu infected atau individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit dan individu recovered atau individu yang telah sembuh dari penyakitnya. Pada model ini dicari bilangan reproduksi dasar ( R 0 ) yang menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung didalam populasi susceptible. Analisa bifurkasi diperlukan untuk mengetahui perubahan stabilitas dan perubahan banyaknya titik tetap akibat perubahan nilai parameter. II. METODE PENELITIAN A. Tahap Telaah Dari permasalahan dan tujuan yang telah dirumuskan selanjutnya dilakukan studi literatur sebagai acuan dalam pemecahan permasalahan. Studi literatur dilakukan terhadap jurnal-jurnal ilmiah, paper, dan buku-buku yang berhubungan dengan model epidemik SEIR dengan kesembuhan tipe jenuh dan terjadinya bifurkasi mundur. B. Tahap Kajian Model Epidemik SEIR Dilakukan pengkajian terhadap diagram kompartemen dan disusun asumsi-asumsi tertentu dalam memahami model, baik pada epidemik SEIR tanpa treatmen maupun pada epidemik dengan treatmen tipe jenuh sehingga dapat dibuat model kompartemen yang sesuai dengan 4 kelompok individu yaitu individu susceptible, exposed, infected dan recovered. C. Tahap Mencari Bilangan Reproduksi Dasar dan Menentukan Stabilitas Titik Kesetimbangan Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menentukan nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks Jacobian yang dihitung pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Tetapi pada beberapa kasus, bilangan reproduksi dasar tidak dapat diperoleh dari perhitungan struktur model matematikanya, tetapi tergantung pada definisi kompartemen terinfeksi dan tidak terinfeksi. Dari nilai eigen dari titik kesetimbangan model dapat diketahui titik kesetimbangan tersebut stabil asimtotik atau tidak. D. Tahap Analisa dan Pembahasan Pada tahap ini dilakukan analisa stabilitas dan adanya bifurkasi mundur pada model epidemik SEIR dengan/tanpa treatmen. E. Tahap Simpulan dan Saran Setelah dilakukan analisa dan pembahasan maka akan diambil suatu kesimpulan dan saran sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut.
III. ANALISA DAN PEMBAHASAN A. Model Penyebaran Penyakit Menular Tanpa Treatmen Model epidemik tipe SEIR tanpa treatmen mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut : a. Populasi dibagi menjadi 4 kelompok yaitu : S adalah populasi susceptible yaitu individu yang rentan terhadap penykait, exposed (E) yaitu individu yang telah terinfeksi tetapi belum menampak tanda-tandanya, infected (I) yaitu individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit dan recovered (R) yaitu individu yang telah sembuh dari penyakitnya, pada kondisi ini kesembuhan hanya diperoleh secara alami. b. Diasumsikan adalah laju kematian alami. Sedangkan A adalah laju masuknya individu kedalam populasi dan populasi ini akan masuk ke kelompok S. Jumlah populasi yang masuk kedalam populasi tiap satuan waktu selalu konstan. c. βsi adalah laju besarnya populasi susceptible yang terinfeksi dengan β merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit. d. opulasi recovered tidak kembali menjadi susceptible karena imun yang terbentuk bersifat permanen. e. Penyakit yang menyebar bersifat mematikan dan laju kematian karena penyakit sebesar d. Dari diagram dan asumsi-asumsi tersebut, diperoleh model epidemik SEIR tanpa treatmen ds(t) = A βs(t)i(t) S(t), (1) de(t) = βs(t)i(t) ( + ε)e(t), (2) di(t) = εe(t) ( + r + d)i(t), (3) dr(t) = ri(t) R(t) (4) Tiga persamaan pertama pada persamaan diatas ternyata dr(t) bebas dari variabel R(t), maka persamaan dapat direduksi. Dimisalkan N(t) = S(t) + E(t) + I(t) + R(t), maka dn A N Sehingga diperoleh lim t (S + E + I + R) A B. Titik Kesetimbangan dan Bilangan Reproduksi Dasar Model Penyebaran Penyakit Menular Tanpa Treatmen Titik kesetimbangannya diperoleh dari ds de = 0, = 0 dan di = 0. Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah keadaan saat penyakit menular tidak menyebar dalam suatu populasi. Keadaan ini terjadi saat I(t) = 0, sehingga diperoleh: Titik kesetimbangan bebas penyakitnya adalah (S 0, E 0, I 0 ) = ( A, 0, 0) Sedangkan titik kesetimbangan endemik adalah keadaan saat penyakit menular menyebar dalam suatu populasi. Hal ini terjadi saat I(t) 0. Titik kesetimbangan diperoleh dari Substitusi pers (3) ke (2), diperoleh S = (+r+d)(+ε) (5) Selanjutnya substitusi pers (6) ke (1), sehingga diperoleh: I = β Dengan R 0 = Aβε (+r+d)(+ε) Aβε (+r+d)(+ε) 1 (6) Dan E = (+r+d) [R 0 1] (8) Jadi, titik kesetimbangan endemiknya adalah: (S, E, I ) = ( + r + d)( + ε) ( + r + d), [R 0 1], β [R 0 1] Jadi, titik kesetimbangan endemik ada saat R 0 > 1 C. Kestabilan Lokal Kestabilan model epidemik ini ditentukan oleh nilai eigen dari matriks Jacobian sistem epidemik tanpa treatmen, diperoleh: βi 0 βs J = βi ( + ε) βs 0 ε ( + r + d) Pada titik kesetimbangan bebas penyakit, matriks jacobiannya: 0 β A J = 0 ( + ε) β A 0 ε ( + r + d) Diperoleh: λ 1 = λ 2 + λ 3 = (2 + r + d + ε) < 0 λ 2. λ 3 = A + ( + ε)( + r + d) = (1 R 0) Jadi, titik (S 0, E 0, I 0 ) = ( A, 0, 0)akan stabil ketika R 0 < 1 Sedangkan kestabilan titik kesetimbangan endemiknya adalah J = β β [R 0 1] 0 β β β [R 0 1] ( + ε) β (7) ( + r + d)( + ε) ( + r + d)( + ε) 0 ε ( + r + d) Diperoleh persamaan eigen berikut ini: a 0 λ 3 + a 1 λ 2 + a 2 λ + a 3 = 0 Dengan a 0 = 1 a 1 = ( (3 + r + d + ε) + [R 0 1]), maka a 1 < 0 ketika R 0 1 a 2 = 2( + r + d)( + ε) + (2 + r + d + ε)( + [R 0 1]), maka a 2 < 0 ketika R 0 1 a 3 = ( + ε)( + r + d)( + [R 0 1]), maka a 3 < 0 ketika R 0 1 Dengan menggunakan metode Routh-Hurwitznya, diketahui bahwa kestabilan titik kesetimbangan endemik tanpa treatmen terjadi saat R 0 > 1.
D. Model Penyebaran Penyakit Menular dengan Treatmen Model epidemik tipe SEIR tanpa treatmen mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut : a. Populasi dibagi menjadi 4 kelompok yaitu : S (susceptible), exposed (E, infected (I) dan recovered (R). Individu recovered memperoleh imun melalui 2 cara: secara alami (ri) dan melalui treatmen ci b+i b. Diasumsikan adalah laju kematian alami. Sedangkan A adalah laju masuknya individu kedalam populasi dan populasi ini akan masuk ke kelompok S. Jumlah populasi yang masuk kedalam populasi tiap satuan waktu selalu konstan. c. βsi adalah laju besarnya populasi susceptible yang terinfeksi dengan β merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit. d. Populasi recovered tidak kembali menjadi susceptible karena imun yang terbentuk bersifat permanen. e. Penyakit yang menyebar bersifat mematikan dan laju kematian karena penyakit sebesar d. Dengan diagram sebagai berikut A ds(t) de(t) di(t) dr(t) di βsi εe ri S E I R ci b+i S E I R Model epidemik SEIR dengan treatmen tipe jenuh = A βs(t)i(t) S(t), (6) = βs(t)i(t) ( + ε)e(t), (7) = εe(t) ( + r + d)i(t) ci(t) b+i(t) (8) = ri(t) R(t) + ci(t) b+i(t) (9) Persamaan (9) ini mengalami reduksi karena tiga persamaan sebelumnya tidak terkait dr(t). Dengan mengasumsikan N(t) = S(t) + E(t) + I(t) + R(t), maka dn A N Sehingga diperoleh lim t (S + E + I + R) A E. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model epidemik dengan treatmen diperoleh dengan mengambil ds(t) = 0, de(t) = 0 dan di(t) = 0. Sehingga diperoleh A βsi S = 0 (10) βsi ( + ε)e = 0 (11) εe ( + r + d)i ci b+i (12) Titik kesetimbangan bebas penyakit terjadi saat I = 0. Dari persamaan diatas diperoleh S 0 = A Jadi, titik kesetimbangan bebas penyakitnya adalah P 0 = (S 0, E 0, I 0 ) = A, 0,0 F. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar didapatkan dari the spectral radius of the next generation matrix FV 1. Diberikan x = (E, I, S) T. Persamaan (10), (11) dan (12) ditulis dalam bentuk dx = F(x) V(x) dengan ( + ε)e βsi F(x) = 0, V(x) = ( + r + d)i + ci 0 b + I εe βsi + S A Diperoleh: Ϝ = 0 β A + ε 0 dan V = ε ( + r + d) + c 0 0 b Sehingga didapatkan R t = ρ(fv 1 bβaε ) = ( + ε)(b + br + bd + c) G. Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemik adalah suatu keadaan dimana terjadi penyebaran penyakit di dalam populasi. Dari persamaan (10) dan (11) dengan I 0, diperoleh E = βai 2 +ε+(β+)i (13) Persamaan ini disubstitusikan ke pers (12) sehingga diperoleh Dengan a 1 I 2 + a 2 I + a 3 = 0 a 1 = ( + r + d)(β + ) a 2 = ( + ε)[ 2 + βb + d + r + cβ + dbβ + rbβ] A a 3 = [R t 1]( + ε)[b + rb + db + c] Dengan a 1 > 0; a 3 < 0 R t > 1; a 3 0 R t 1 Titik kesetimbangan endemik ada ketika = a 2 2 4a 1 a 3 = 0 atau R c = 1 4a 1 ( + ε)(b + rb + db + c) Dengan demikian, titik kestimbangan yang didapat adalah: a) titik kesetimbangan endemik tunggal ketika R t > 1; b) titik kesetimbangan endemik tunggal ketika R t = 1 dan a 2 < 0; a 2 2
c) titik kesetimbangan endemik tunggal ketika R t = R c dan a 2 < 0; d) dua titik kesetimbangan endemik, yaitu P (S, E, I ) dan P (S, E, I ) dengan I > I, terjadi ketika R c < R t < 1 dan a 2 < 0; e) tidak terdapat titik kesetimbangan endemik ketika R t < R c dan a 2 < 0 atau ketika R t < 1 dan a 2 > 0. H. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik endemiknya ditentukan berdasarkan teori manifold pusat (center manifold teory), karena ketika b = b atau R t = 1, titik kesetimbangan bebas penyakit P 0 adalah titik kesetimbangan nonhiperbolik. Ketika P 0 A, 0,0 dan R t = 1 diperoleh nilai parameter c( + ε) b = b = βaε ( + ε)( + r + d) Matriks Jacobiannya: 0 β A J(P 0, b ) = 0 ( + ε) β A 0 ε ( + r + d + c b ) Nilai eigennya adalah: λ 1 =, λ 2 = 2 + ε + d + r + c b, λ 3 = 0 Nilai eigen nul yang simple dari matrik J(P 0, b ) adalah λ 3 = 0 dan nilai eigen yang lainnya bernilai real negatif. Vektor eigen kanan w = (w 1, w 2, w 3 ) T yang berkaitan dengan nilai eigen nol λ 3 = 0 diberikan oleh: 0 β A 0 ( + ε) β A w 1 w 2 = 0 w 3 0 ε sehingga diperoleh + r + d + c b βa ( + ε) w 1 2 w 2 = βa w 3 + ε Sedang untuk vektor eigen kiri v = (v 1 v 2 v 3 ) yang memenuhi v. w = 1 diberikan oleh v 1 = 0, ( + ε)v 2 + εv 3 = 0, β A v 1 + β A v 2 + r + d + c b v 3 = 0. Diperoleh ε ( + ε) (v 1 v 2 v 3 ) = 0 βaε + ( + ε) 2 βaε + ( + ε) 2 Nilai koefisiennya a = 2(+ε) 2 βaε+(+ε) 2 2 A 2 [R 1 1] dengan R 1 = c2 (+ε) b 2 2 A b = c(+ε) 2 b 2 (βaε+(+ε) 2 ) Koefisien b selalu bernilai positif. Maka kestabilan ditentukan oleh koefisien a. Dengan demikian, hasil yang diperoleh adalah: 1. a < 0, b < 0, ketika b < 0, dengan b 1, A, 0,0 tidak stabil; ketika 0 < b 1, A, 0,0 stabil asimtotik lokal dan titik kesetimbangan endemik (positif) tidak stabil 2. a > 0, b < 0, ketika b < 0, dengan b 1, A, 0,0 tidak stabil dan titik kesetimbangan endemik (negatif) stabil; ketika 0 < b 1, A, 0,0 stabil dan titik kesetimbangan endemik (positif) tidak stabil; Sedangkan bifurkasi yang terjadi adalah bifurkasi maju terjadi ketika a < 0, b > 0 dan ketika a > 0, b > 0 terjadi bifurkasi mundur. Dengan kata lain, bifurkasi maju terjadi ketika R 1 < 1 dan saat R 1 > 1 terjadi bifurkasi mundur. Dengan cara sama, berlaku juga saat parameter bifurkasinya c. I. Simulasi dan Interpretasi Simulasi ini menunjukkan kestabilan titik bebas penyakit (I = 0) dan titik kesetimbangan endemik (a 1 I 2 + a 2 I + a 3 = 0). Simulasi yang diperoleh: a. Untuk parameter: A = 10, = 0.2, ε = 1.2, r = 0.4, c = 2, β = 0.05, d = 0.2 dan b = 0.8. diperoleh R t = 0.649351 < 1. Hal ini menunjukkan tidak adanya titik kesetimbangan endemik pada sistem epidemik dengan treatemen. (Gambar 1) b. Untuk A = 10, = 0.2, ε = 1.2, r = 0.4, c = 2, β = 0.1, d = 0.2 dan b = 1.2..Bilangan reproduksi dasarnya R t = 1.737452 > 1 dan a 2 = 0.9175 < 0. Titiik kesetimbangannya pada sistem epidemik dengan treatemen memiliki titik kesetimbangan bebas penyakit dan 1 titik kesetimbangan endemik. c. Untuk A = 10, = 0.2, ε = 1.2, r = 0.4, c = 2, β = 0.05, d = 0.2 dan b = 1.2, diperoleh R t = 0.868726 < 1, a 2 = 0.1708 < 0 dan R c = 0.8596 < R t < 1. Sistem epidemik dengan treatmen memiliki 2 titik kesetimbangan endemik. d. Bifurkasi mundur terjadi pada saat b = b. Hal ini terjadi saat A = 10, = 0.2, ε = 1.2, r = 0.4, c = 2, β = 0.05, d = 0.2. keadaan ini ditunjukkan oleh gambar 1.
Gambar 1. Diagram penyebaran populasi terhadap waktu, saat A = 10, = 0.2, ε = 1.2, r = 0.4, c = 2, β = 0.05, d = 0.2 dan b = 0.8. Gambar 2. Diagram bifurkasi terhadap parameter b. terjadi bifurkasi maju saat A = 10, = 0.2, ε = 1.2, r = 0.4, c = 2, β = 0.05, d = 0.2 dan b = 4.5. IV. KESIMPULAN Berdasarkan hasil analisa yang telah dilakukan dalam penyusunan paper ini, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : Gambar 2. Diagram bifurkasi terhadap parameter b. Persamaan garis(horisontal) menunjukkan titik kesetimbangan bebas penyakit dan kurva (vertikal) menunjukkan titik kesetimbangan endemik dengan garis tebal menunjukkan kestabilan, sedangkan garis tipis menunjukkan ketidakstabilan. 1. Bilangan reproduksi dasar dari model penyebaran penyakit SEIR dengan treatmen tipe jenuh adalah R t = ρ(fv 1 bβaε ) = ( + ε)(b + br + bd + c) Titik setimbang bebas penyakit adalah stabil asimtotik jika R t < 1 dan tidak stabil jika R t > 1. Hal ini menunjukkan bahwa tidak terjadi infeksi ketika R t > 1 kurang dari 1. 2. Jumlah penderita tanpa treatmen lebih besar daripada jumlah penderita dengan treatmen tipe jenuh. Hal ini terlihat pada R t < R 0 bβaε ( + ε)(b + br + bd + c) < Aβε ( + r + d)( + ε) 3. Bifurkasi mundur terjadi pada saat R t = 1 dimana terdapat satu titik setimbang endemik jika R t > 1 dan terdapat dua titik setimbang endemik jika R < 1. Jika R 1 > 1, terjadi bifurkasi mundur pada R t = 1 dan R t = 1 mengalami bifurkasi maju ketika R 1 < 1. v Gambar 1. Diagram penyebaran populasi terhadap waktu, saat A = 10, = 0.2, ε = 1.2, r = 0.4, c = 2, β = 0.05, d = 0.2 dan b = 4.5. V. DAFTAR PUSTAKA [1] Xueyong Zhou dan Jingan Cui (2011). Analysis of stability and bifurkasi for an SEIR epidemik model with satured recovery rate. Common Nonlinear Sci Numer Simulat. Elsevier. [2] Priyandoko, Bagus. (2009). Analisis kualitatif dan bifurkasi pada Model Epidemik Tipe SEIR dengan Transmisi Vertikal. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika. [3] Greenhalgh D. Some results for a SEIR epidemic model with density dependence in he death rate. IMA J Math Appl Med Biol 1992;9:67.
[4] Zhang J, Ma Z. Global dynamics of an SEIR epidemic model with saturating contact rate. Math Biosci 2003;185:15 32. [5] Cui JA, Mu XX, Wan H. Saturation recovery leads to multiple endemic equilibria and backward bifurcation. J Theor Biol 2008;254:273-85. [6] Djasuli, M. (2009). Eksistensi Bifurkasi Mundur pada Model Penyebaran Penyakit Makroparasitis. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S2 Jurusan Matematika. [7] Van den Driessche P, Watmough J. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission. Math Biosci. 2002;180:129-48. [8] Guckenheimer J, Holmes P. Nonlinear oscillations. Dynamical systems and bifurcations of vector fields, Berlin: Springer; 1983.