Bab 5 Puntiran 5.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibahas mengenai kekuatan dan kekakuan batang lurus yang dibebani puntiran (torsi). Puntiran dapat terjadi secara murni atau bersamaan dengan beban aksial, momen lentur dan gaya lintang. Puntiran murni dapat terjadi misalnya pada batang-batang poros mesin. Batang-batang ini kebanyakan berpenampang lingkaran. Sedangkan pada struktur bangunan, misalnya puntiran terjadi pada balok pinggir atau balok luifel, kolom pada bangunan gedung akibat pembebanan horisontal, jembatan lengkung dan lain sebagainya. Batang-batang ini biasanya berpenampang persegi, T, I atau box. Gambar 5.1 memperlihatkan contoh batang-batang yang mengalami puntiran. Gambar 5.1. Contoh batang yang mengalami puntiran 5.2 Batang Berpenampang Lingkaran Sekarang kita tinjau sebuah batang prismatis berpenampang lingkaran masiv yang menerima puntiran yang saling berlawanan arah pada kedua ujungnya, seperti diperlihatkan pada Gambar 5.2. Akibat puntiran, penampang akan berputar terhadap sumbu longitudinal batang. Puntiran ini menyebabkan salah sath ujung batang berputar terhadap Iainnya. Sebelum membalias tentang tegangan-tegangan akibat puntiran tersebut, ada beberapa asumsi khususnya untuk batang yang homogen berpenampang Iingkaran atau tabung, yaitu: Potongan datar yang tegak lurus terhadap sumbu batang akan tetap datar setelah mengalami puntiran. Akibat lanjut dan asumsi ini adalah tidak akan terjadi regangan geser pada bidang-yang sejajar dan melalui sumbu batang. Adanya puntiran, potongan datar ini akan tetap rigid, sehingga regangan geser berbanding lurus dengan jaraknya dan sumbu batang.
Tidak terjadi deformasi arah memanjang batang. Gambar 5.2. Batang berpenampang lingkaran menenma puntiran Tinjaulah sebuah elemen sangat kecil ABCD yang dibatasi oleh potongan I dan II (lihat Gambar 5.2 (b)). Akibat puntiran, potongan II akan berputar terbadap potongan I, misalnya ruas BC bergerak menjadi B C. Panjang ruas-ruas elemen ini tidak mengalami perubahan, sehingga elemen mengalami geser murni. Secara umum tegangan-tegangan yang terjadi pada elemen kecil seperti pada Gambar 5.2. (c) adalah sebagai berikut: ε ε = ε = 0 atau σ = σ = σ = 0 r = θ x r θ x γ rθ = γ rx = 0 atau τ r θ = τ rx = 0 (5.1) Satu-satunya tegangan yang tidak sama dengan nol adalah yang selanjutnya dituliskan τ r θ saja. Besarnya regangan geser γ R adalah: Sedangkan regangan geser pada sembarang titik yang berjarak r dan sumbu batang adalah: Momen torsi T sama dengan gaya dalam yang timbul akibat geser dikalikan dengan jaraknya ke sumbu batang (lihat Gambar 5.3):
Gambar 5.3. Momen torsi luar dan dalam Sehingga tegangan geser maksimum yang terjadi adalah: dengan Ip adalah momen inersia polar penampang lingkaran, yang besarnya: dengan : d = 2R Tegangan geser sembarang titik yang berjarak r dan sumbu batang: Untuk batang dengan penampang lingkaran berongga seperti tampak pada Gambar 5.4, momen inersia polar Ip, dapat dihitung dengan rumus: Gambar 5.4. Penampang lingkaran berongga 5.3. Batang Berpenampang Berongga yang Berdinding Tipis Jika penampang lingkaran berongga berdinding sangat tipis, momen inersia polar dapat didekati dengan rumus:
dengan t : tebal pipa d : diameter pipa Gambar 5.5. Penampang berongga dengan dinding tipis Sebuah contoh batang dengan sembarang penanipang berongga yang berdinding tipis dapat dilihat path Gambar 5.5. Jika aliran gaya q menyatakan besarnya gaya persatuan panjang yang besarnya konstan, yang mana dapat dihitung dengan: q = τ t, (5.8) maka besarnya momen puntir adalah (lihat juga Gambar 5.5(a)): r q ds = dar = T = q ds r (5.9) dengan da =q ds dan r adalah jarak da ke titik berat penampang. Jika luas daerah terarsir (luas segitiga): maka Persamaan (5.9) dapat dituliskan menjadi: T = 2q da = 2qAm (5.11) A m dengan A m : luas penampang yang dibatasi oleh tengah-tengah antara sisi luar dan dalam dan dinding bagian luar dan dalam (luas terarsir pada Gambar 5.5 (b)). Sedangkan tegangan geser dapat dihitung dengan rumus:
5.4 Energi yang Tersimpan dalam Batang yang dibebani Geser Murni Untuk memudahkan dalam mencari beberapa konstanta penampang akibat puntir, berikut akan dibahas terlebih dahulu energi yang tersimpan dalam batang yang dibebani geser. Gambar 5.6 memperlihatkan deformasi elemen kecil akibat geser murni pada sisi-sisinya. (a) sebelum deformasi (b) setelah deformasi Gambar 5.6 Elemen yang menerima geser murni Jika panjang keempat sisi masing-masing adalah h dan tebal elemen t, maka besarnya gaya geser V adalah V = h t, (5.13) Akibat gaya geser ini, titik sudut akan bergeser sebesar δ (lihat Gambar 5.6 (b) yang besarnya: δ = γh Jika Gambar 5.7 menunjukkan grafik hubungan antara perpindahan δ dan gaya geser V, maka energi regangan tersimpan dalam elemen u sama dengan luas daerah yang terarsir, yang besarnya:
Gambar 5.7. Energi regangan elemen Sedangkan besarnya kerapatan energi u (enegi persatuan volume) adalah: Dengan memperhatikan Persamaan (5.15) dan (2.12), maka kerapatan energi u juga dapat dituliskan: Sedangkan besarnya kerapatan energi regangan pada sebuah batang berpenampang Iingkaran yang dibebani puntiran murni T adalah: dengan r adalah jari-jari elemen yang ditinjau. Sehingga besarnya energi regangan yang tersimpan dalam batang sepanjang L dengan luasan kecil da: Jika da = 2πrdr, maka energy seluruhnya maka energi yang tersimpan pada batang akibat momen puntir T adalah: Jika hubungan antara Tdan dapat dijelaskan seperti pada Gambar 5.8 yang mana: 1 U = Tφ (5.18) 2 maka dengan memperhatikan Persamaan (5.17) didapatkan :
Sehingga energi yang tersimpan pada batang dengan sudut puntir φ adalah: Gambar 5.8 Hubungan antara puntiran T dengan sudut puntir 0 Jika θ adalah besarnya sudut puntir total persatuan panjang L maka dari Persamaan (5.19) didapatkan bahwa sudut ini akan berbanding lurus dengan momen puntir T dan berbanding terbalik dengan hasil kali GI p. Nilai G Ip dikenal sebagai ketegaran/ kekakuan puntir (torsional rigidity) 5.5. Penampang Solid Bukan Lingkaran Penurunan secara analitis untuk batang dengan penampang solid bukan lingkaran cukup rumit, karena asumsi-asumsi yang berlaku pada penampang Iingkaran (Bab 5.2) tidak berlaku lagi. Sebagai contoh pada penampang segiempat yang dibebani puntir, pada bagian sudut-sudut penampang akan mengalami distorsi. Gambar 5.9 diperlihatkan distribusi tegangan geser disepanjang garis yang arahnya radial dan titik pusat berat. Tegangan geser maksimum akan terjadi pada serat terluar sisi panjang, sedangkan pada bagian sudut tegangan geser menjadi nol.
Gambar 5.9. Distribusi tegangan geser pada penampang persegi akibat puntiran Meskipun cukup rumit, telah didapatkan rumusan untuk menghitung tegangan geser maksimum pendek, yaitu: τ maks yang nilainya tergantung perbandingan antara sisi panjang dan Dengan, b dan a : sisi panjang : sisi pendek α, β : koefisien untuk penampang persegi, lihat Tabel 5.1 b a Tabel 5.1. Koefisien α dan β untuk penampang persegi 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 10,00 α 0,208 0,231 0,246 0,256 0,267 0,282 0,299 0,312 0,333 β 0,141 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,312 0,333 Untuk penampang yang tersusun dari gabungan bebrapa penampang persegi, Persamaan (5.22) dan (5.23) menjadi:
Untuk penampang yang tipis nilai α dan β sama yaitu mendekati 1/3, untuk selanjutnya dapat dilihat pada sub Bab 5.6. di bawah. 5.6. Penampang Gabungan Beberapa Penampang Persegi Tipis Untuk batang dengan penampang persegi tipis dengan tinggi b dan tebal h seperti ditunjukkan pada Gambar 5.10(a) nilai J dapat didekati dengan: dengan, b : sisi panjang h: sisi pendek Sedangkan nilai J untuk gabungan beberapa penampang persegi dihitung dan penjumlahan masing-masing penampang: (a) tunggal (b) gabungan Gambar 5.10. Penampang persegi tipis memanjang dan gabungan 5.7 Contoh/Aplikasi 1. Sebuah batang pejal mempunyai penampang Iingkaran dengan diameter 120 mm. Tegangan geser ijin adalah 50 MPa dan G = 1. 10 5 MPa. Berapakah momen puntir
maksimum yang diperkenankan jika sudut puntir persatuan panjang dibatasi hanya θ = 1 o saja. Penyelesaian: Momen puntiran maksimal akan dibatasi oleh dua ketentuan, yaitu: a) Berdasarkan tegangan ijin, T maks besarnya adalah: b) Berdasarkan sudut puntir maksimum, besarnya T maks adalah: diambil terkecil yaitu T maks = 0,0 1696 MNm = 16,96 knm. 2. Sebuah pipa bundar dengan tebal t = 3 mm dan diameter dalam 100 mm. Hitunglah tegangan geser yang terjadi pada pipa tersebut jika menerima beban puntir sebesar T 5000 Nm. Penyelesaian: Tegangan geser yang terjadi: τ = 2. T A m τ = 102,99 MPa 3 5000 10 =. t 2.8091,3 3
3. Berapakah perbandinngan luas yang diperlukan antara pipa bundar dan pipa pesegi, jika bahan, tegangan geser ijin, tebal, panjang yang sama dan momen puntir yang harus didukung sama. Penyelesaian: Dari soal diatas, maka diperlukan A ml (untuk penampang Iingkaran) dan A m2 (untuk penampang persegi) yang sama dengan perbandingan: π. 4 2 2 d = b b = 0,8862d Luas penampang pipa bundar A 1 = π.d. t Luas penampang pipa bujur sangkar A 2 = 4 b t A A 2. d. t = 4.0,8862d. t 1 π = 0,8862 5.8. Rangkuman Pada bahasan mengenai puntiran, ada beberapa hal penting yang dapat disimpulkan antara lain: 1. Untuk penampang lingkaran potongan datar yang tegak lurus sumbu batang akan tetap datar setelah mengalami puntiran, tidak terjadi deformasi dan tegangan arab memanjang batang, tegangan geser pada titik yang berjarak r dan titik pusat lingkaran adalah: Tr τ = (5.5) I p 2. Untuk penampang berongga yang berdinding tipis dengan tebal t, tegangan geser adalah: T τ = (5.12) 2Am. t 3. Untuk penampang tersusun dan beberapa penampang persegi, tegangan geser maksimum dirumuskan:
T τ maks = (5.22) α 2. bi. ai dengan a adalah lebar atau sisi pendek dan b sisi panjang penampang. 5.9. Soal-soal 1. Penampang box seperti terlihat pada Gambar 5.11 digunakan untuk batang yang menahan puntiran T = 0,2 knm. Panjang batang adalah 3 m. Tentukan tegangan geser maksimum dan sudut puntiran yang terjadi jika diketahui modulus geser bahan G = 80 GPa. 2. Batang yang terjepit pada salah satu ujungnya dengan panjang 15 m dibebani puntiran pada ujung yang lain T = 0,15 knm (lihat Gambar 5.12). Hitunglah - tegangan maksimum dan berapakah besamya sudut rotasi antara kedua ujung batang. 3. Suatu balok beton dengan penampang seperti Gambar 5.13. tentukanlah tegangan geser maksimum jika balok tersebut dibebani momen puntir sebesar 5 knm.