EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB RUDIANSYAH

EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB RUDIANSYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007

ABSTRAK RUDIANSYAH. Evaluasi Determinan Matriks Rekursif dengan Faktorisasi LB. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan FARIDA HANUM. Evaluasi determinan sebagai sebuah kajian tersendiri dipelopori oleh George Andrews. Metode yang bisa dipakai untuk evaluasi determinan cukup variatif, di antaranya dengan faktorisasi. Dalam tulisan ini, evaluasi determinan dilakukan terhadap matriks rekursif A yang unsur-unsurnya didefinisikan oleh persamaan ai, j = ai 1, j 1 + ai 1, j. Syarat awal untuk persamaan rekursif tersebut ditentukan oleh unsur-unsur pada baris dan kolom pertama matriks A. Ada empat kasus yang dianalisis, yaitu dengan menentukan syarat awal persamaan rekursif k k k k berpadanan dengan suku-suku barisan bilangan bulat: ω, χ, ω, dan υ. Keempat kasus tersebut dianalisis melalui faktorisasi LB, sedemikian sehingga evaluasi determinan matriks A bisa diselesaikan melalui evaluasi determinan matriks B. Hasil yang diperoleh dari analisis-analisis tersebut adalah bahwa determinan matriks A bisa dinyatakan sebagai persamaan rekursif tertentu. Bahkan untuk parameter yang diberikan secara spesifik, formulasi determinan yang diperoleh berupa relasi kongruensi tertentu.

ABSTRACT RUDIANSYAH. Determinant Evaluation of Recursive Matrix with LB Factorization. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and FARIDA HANUM. Determinant evaluation as an independent study is pioneered by George Andrews. Many methods can be used for determinant evaluations, one of them is factorization. In this paper, determinant evaluations work on matrix A which its entries are defined by equation a = a + a. The initial condition of the recursive equation is determined by entries of the i, j i 1, j 1 i 1, j first row and column of matrix A. There were four cases which were analyzed, with determining the initial condition k k k k corresponded with members of integer sequences: ω, χ, ω, and υ. All cases were analyzed by LB factorization, so that determinant evaluation of matrix A could be solved by determinant evaluation of matrix B. The result was the determinant of matrix A could be expressed by certain recursive equations. Furthermore, determinant formulations could be expressed as certain congruences relations for specifically value of parameter.

EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika RUDIANSYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007

Judul Skripsi : Evaluasi Determinan Matriks Rekursif dengan Faktorisasi LB Nama : Rudiansyah NIM : G05400010 Menyetujui: Pembimbing I, Pembimbing II, Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. NIP 131 779 501 Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP 131 956 709 Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NIP 131 473 999 Tanggal lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhaanahu wa Ta`aala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam tugas akhir yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2007 ini adalah evaluasi determinan, dengan judul Evaluasi Determinan Matriks Rekursif dengan Faktorisasi LB. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. dan Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku pembimbing serta Bapak Dr. Sugi Guritman yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Saudara Abdul Rahmat Ramdhan dan Saudara Setiadi Hudjimartsu yang telah banyak membantu dalam proses penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, September 2007 Rudiansyah

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 17 Oktober 1981 dari ayah Ibrahim dan ibu Robiah. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2000 penulis lulus dari SMA Negeri 3 Bogor dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Matematika Dasar pada tahun ajaran 2002/2003 dan 2003/2004 serta mata kuliah Kalkulus I pada tahun ajaran yang sama. Pada tahun ajaran 2004/2005 penulis bekerja sebagai pengajar matematika di SMA Darul Faizin Bogor dan pada tahun ajaran 2005/2006 bekerja sebagai pengajar matematika di SMA Bina Cipta Insani Bogor. Sejak tahun 2006, penulis bekerja sebagai guru matematika di Bimbingan Belajar dan Privat BTA Bogor.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR LAMPIRAN... viii I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Metode dan Sistematika Penulisan... 1 1.3 Tujuan... 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Notasi Sigma... 1 2.2 Matriks dan Determinan... 2 2.3 Persamaan Beda... 5 2.4 Teori Bilangan... 6 III PEMBAHASAN... 6 IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan... 22 4.2 Saran... 22 DAFTAR PUSTAKA... 23 LAMPIRAN... 24 vii

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Bukti Teorema 2.2... 25 2 Ilustrasi Teorema 3.1... 26 3 Ilustrasi Faktorisasi pada Pembuktian Teorema 3.3... 26 viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Istilah determinan diperkenalkan pertama kali oleh Gauss dalam Disquisitiones Arithmeticae (1801) ketika membahas bentuk kuadratik. Tapi, pengertian determinan menurut sudut pandang modern baru diberikan oleh Cauchy pada tahun 1812. [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/ HistTopics/Matrices_and_determinants.html] Evaluasi determinan sebagai sebuah kajian tersendiri baru dimulai ketika George Andrews berhasil memecahkan masalah enumerasi yang sulit pada partisi bidang. Sampai saat ini sudah banyak metode yang efektif dan praktis untuk mengevaluasi determinan suatu matriks, di antaranya: reduksi ke dalam matriks segitiga melalui operasi baris atau kolom, ekspansi Laplace, determinan Vandermonde, faktorisasi LU, kondensasi, identifikasi faktor, dan lain-lain. [Krattenthaler, 1991] Dalam karya ilmiah ini, determinan matriks A yang unsur-unsurnya didefinisikan secara rekursif sebagai ai, j = ai 1, j 1 + ai 1, j, akan dievaluasi melalui faktorisasi LB. Kemudian, beberapa kasus khusus dianalisis dengan memilih unsur-unsur baris dan kolom pertama matriks tersebut berpadanan dengan suku-suku barisan bilangan bulat tertentu sebagai syarat awal untuk persamaan rekursif yang diberikan. Semua bahasan itu direkonstruksi dari tulisan A. R. Moghaddamfar dan kawan-kawan yang berjudul More calculations on determinant evaluations. 1.2 Metode dan Sistematika Penulisan Karya ilmiah ini disusun dengan menggunakan metode studi literatur. Adapun sistematika penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut. Pada bab kedua diberikan landasan teori yang menjadi tumpuan dasar dalam analisis masalah. Pada bab ketiga diberikan pembahasan mengenai evaluasi determinan matriks rekursif dan penyelesaian setiap detail kasus yang ada. Pada bab keempat diberikan kesimpulan dan saran yang mengakhiri karya ilmiah ini. 1.3 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk mengevaluasi determinan suatu matriks rekursif berukuran n dengan beberapa pilihan unsur pada baris dan kolom pertamanya. II LANDASAN TEORI Di dalam bab ini akan dibahas sejumlah definisi dan teorema yang menjadi landasan untuk pembahasan di bab III, di antaranya: notasi sigma, matriks dan determinan, persamaan beda, serta teori bilangan. 2.1 Notasi Sigma Teorema 2.1 (Sifat-sifat notasi sigma) Misalkan ai dan b i adalah suku ke-i dari dua barisan dengan n suku, serta k adalah suatu konstanta, maka 1