Peluang A. Populasi dan Sampel Populasi adalah himpunan semua obyek yang diteliti. Sampel adalah himpunan bagian dari populasi. Contoh: Dalam rangka menentukan tingkat kecerdasan rata-rata siswa SMP di suatu Kabupaten, diadakan tes kecerdasan di 6 SMP. Tentukan: a) Populasinya? b) Sampelnya? a) Populasinya = Siswa SMP se-kabupaten b) Sampelnya = Siswa 6 SMP yang di tes B. Ruang Sampel dan Titik Sampel Ruang Sampel adalah himpunan dari semua percobaan. Titik Sampel adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Pada Uang Logam, ada Angka dan Gambar. Jadi, Ruang Sampel sebanyak {2}. Pada Dadu, ada 1, 2, 3, 4, 5, 6. Jadi, Ruang Sampel sebanyak {6}. Pada Kartu Remi, ada : 13 Kartu Sekop ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, As 13 Kartu Hati ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, As 13 Kartu Keriting ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, As { 13 Kartu Berlian ( ): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, As Jadi, Ruang Sampel sebanyak {52}. C. Menentukan Ruang Sampel 1) Diagram Pohon Contoh: Dua mata uang logam dilempar bersama-sama, tentukan: a) Ruang sampelnya (S)? b) Banyaknya titik sampel? a) Uang Logam 1 Uang Logam 2 Hasil A AA A G AG G A G GA GG 1
S = {(AA), (AG), (GA), (GG)} b) = 4 2) Tabel Contoh: Dua mata uang logam dilempar bersama-sama, tentukan: a) Ruang sampelnya (S)? b) Banyaknya titik sampel? a) Uang Logam 2 A G Uang Logam 1 A AA AG G GA GG S = {(AA), (AG), (GA), (GG)} b) = 4 D. Peluang Suatu Kejadian Tunggal (Teoritik) 1) Nilai Peluang Keterangan: P(A) = nilai peluang kejadian A n(a) = banyaknya titik sampel kejadian A = banyaknya ruang sampel 2) Kisaran Nilai Peluang Nilai dari suatu peluang mempunyai kisaran tertentu, yaitu: 0 P(A) 1 P(A) = 0, berarti suatu kejadian yang tidak mungkin (kemustahilan) P(A) = 1, berarti suatu kejadian yang pasti (kepastian) Contoh: Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan peluang mata dadu bilangan prima! 2
Mata Dadu yang diamati Mata Dadu yang muncul (A) Mata Dadu keseluruhan (S) 1 0 1 2 1 1 3 1 1 4 0 1 5 1 1 6 0 1 Jumlah n(a) = 3 = 6 Ruang sampel (S) = {1,2,3,4,5,6} = 6 titik sampel bilangan prima (A) = {2,3,5} n(a) = 3 = 3 6 = 1 2 3) Peluang Komplemen Jika P (A ) adalah peluang kejadian selain A (Peluang Komplemen) dan P(A) adalah peluang kejadian A, maka: P(A ) = 1 P(A) Contoh: Sebuah dadu dilempar satu kali, tentukan peluang mata dadu bukan bilangan prima! Ruang sampel (S) = {1,2,3,4,5,6} = 6 titik sampel bilangan prima (A) = {2,3,5} n(a) = 3 = 3 6 = 1 2 P(A ) = 1 P(A) = 1 1 2 = 1 2 3
E. Frekuensi Relatif atau Peluang Empirik Suatu Kejadian Tunggal 1) Nilai Peluang f A = n(a) n(b) Keterangan: f A = nilai empirik A n(a) = banyaknya titik sampel kejadian A n(b) = banyaknya percobaan 2) Kisaran Nilai Peluang Nilai dari suatu peluang mempunyai kisaran tertentu, yaitu: 0 f A 1 f A = 0, berarti suatu kejadian yang tidak mungkin (kemustahilan) f A = 1, berarti suatu kejadian yang pasti (kepastian) Contoh: Sebuah dadu dilempar 10 kali, tentukan peluang empiriknya! Mata Dadu Mata Dadu yang muncul yang diamati (A) Berapa kali Mata Dadu yang muncul (B) 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 1 6 1 1 Jumlah n(a) = 6 n(b) = 10 f A = n(a) = n(b) 6 10 = 3 5 F. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan adalah banyaknya kejadian yang terjadi pada sejumlah percobaan. F h (A) = n P(A) Contoh: Sebuah dadu dilempar 30 kali. Hitunglah Frekuensi Harapan munculnya mata dadu ganjil! n = 30 Ruang sampel (S) = {1,2,3,4,5,6} = 6 titik sampel bilangan prima (A) = {2,3,5} n(a) = 3 4
= 3 6 = 1 2 F h (A) = n P(A) = 30 1 2 = 15 G. Peluang Suatu Kejadian Majemuk 1) Operasi Himpunan a) Irisan Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari himpunan A dan himpunan B, dinotasikan dengan A B = {x x A dan x B}. Contoh: Diberikan himpunan A = {1, 2} dan B = {2, 3, 4, 5}, carilah A B! Jadi, A B = {2} b) Gabungan Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari himpunan A atau himpunan B atau semuanya, dinotasikan dengan A B = {x x A atau x B}. Contoh: Diberikan himpunan A = {1, 2} dan B = {2, 3, 4, 5}, carilah A B! 5
Jadi, A B = {1, 2, 3, 4, 5} 2) Peluang Kejadian Saling Bebas Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari himpunan A dan himpunan B, dinotasikan dengan A B = {x x A dan x B}, maka peluang A dan B dikatakan saling bebas jika dan hanya jika P(A B) = P(A) P(B) Contoh: Sebuah dadu dilempar dua kali, pada pelemparan pertama muncul mata dadu {1, 2} dan pada pelemparan kedua muncul mata dadu {2, 3, 4, 5}, carilah peluang munculnya kedua mata dadu berangka sama! Diketahui: A = {1, 2} B = {2, 3, 4, 5} Ditanya: P(A B)? A = {1, 2} n(a) = 2 B = {2, 3, 4, 5} n(b) = 4 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 = 2 6 P(B) = n(b) = 4 6 6
P(A B) = P(A) P(B) = 2 6 4 6 = 8 36 = 2 9 Jadi, P(A B) = 2 9 3) Peluang Kejadian Gabungan Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari himpunan A atau himpunan B atau semuanya, dinotasikan dengan A B = {x x A atau x B}, maka peluang A dan B dikatakan peluang kejadian gabungan jika dan hanya jika P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Contoh: Sebuah dadu dilempar dua kali, pada pelemparan pertama muncul mata dadu {1, 2} dan pada pelemparan kedua muncul mata dadu {2, 3, 4, 5}, carilah peluang kejadian gabungannya! Diketahui: A = {1, 2} B = {2, 3, 4, 5} Ditanya: P(A B)? A = {1, 2} n(a) = 2 B = {2, 3, 4, 5} n(b) = 4 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 = 2 6 P(B) = n(b) 7
= 4 6 P(A B) = P(A) P(B) = 2 6 4 6 = 8 36 = 2 9 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 2 + 4 2 6 6 9 = 12 + 24 8 36 36 36 = 36 8 36 36 = 28 36 = 7 9 Jadi, P(A B) = 7 9 4) Peluang Kejadian Saling Lepas P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) 0 P(A B) = P(A) + P(B) Contoh: Sebuah dadu dilempar dua kali, pada pelemparan pertama muncul mata dadu {1, 2} dan pada pelemparan kedua muncul mata dadu {3, 4, 5}, carilah peluang kejadian saling lepas! Diketahui: A = {1, 2} B = {3, 4, 5} Ditanya: P(A B)? A = {1, 2} n(a) = 2 B = {3, 4, 5} n(b) = 3 8
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 = 2 6 P(B) = n(b) = 3 6 P(A B) = P(A) + P(B) = 2 + 4 2 6 6 9 = 12 + 24 8 36 36 36 = 36 8 36 36 = 28 36 = 7 9 Jadi, P(A B) = 7 9 9