dapat dilihat pada Gambar 1. Penjelasan untuk masing-masing langkah adalah sebagai : Studi Literatur Tahapan ini diperlukan untuk mempelajari prinsip dasar aritmetika optimal extension field. Selain itu, juga mempelajari algoritme serta kajian umum lain yang berkaitan dengan field tersebut. Analisis Gambar 1 Metodologi Penelitian Dalam aritmetika, hal yang paling penting adalah penentuan parameter yang digunakan, yaitu n, c, m dan ω. Hankerson et al. (2004) dan Cohen et al. (2006) menyebutkan bahwa keamanan kunci kriptografi kurva elips 160 bit setara dengan kunci RSA konvensional 1024 bit. Oleh karena itu, dilakukan pemilihan parameter sehingga nm mendekati 160. Pada tahap ini, dilakukan analisis mencakup penentuan nilai parameter n, c, m dan ω yang akan dipakai. Kemudian, akan ditentukan cara merepresentasikan tersebut. Implementasi Studi Literatur Analisis Implementasi Pengujian Tahap ini mencakup implementasi operasioperasi aritmetika dalam. Operasi-operasi yang diimplementasikan adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, kuadrat, reduksi, pemangkatan dan invers pada aritmetika menggunakan bahasa pemrograman C. Lingkungan Pengembangan Sistem dibangun dan diuji dengan menggunakan hardware dan software dengan spesifikasi tertentu. Hardware yang digunakan berupa netbook dengan spesifikasi: 1. Prosesor Intel Atom N450 1,66 GHz 2. RAM 1 GB Software yang digunakan yaitu: 1. Sistem Operasi Windows 7 2. Bloodshed Dev-C++ 4.9.9.2 3. Notepad++ 4. Winmerge Pengujian Pengujian pada penelitian ini dilakukan dengan metode black box. Pengujian dilakukan dengan membandingkan output yang dihasilkan dengan output yang seharusnya. Karena setelah dicari, belum ditemukan software yang melakukan perhitungan serupa, output yang benar dicari secara hitung manual. Selain itu, dari pengujian ini akan dihitung kecepatan eksekusi dari masing-masing operasi. Operasioperasi yang akan diuji adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, kuadrat, reduksi, pemangkatan dan invers. Analisis HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam implementasi, hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan parameter n, c, m dan ω yang akan digunakan. Pada penelitian ini, konfigurasi p yang digunakan adalah p = 2 n c dengan n, c > 0. yang akan diimplementasikan adalah dengan panjang 8 bit dan 16 bit sehingga yang dicari adalah nilai n dan c yang membentuk p < 2 8 dan p < 2 16. Untuk pemilihan m, syaratnya adalah membentuk polinomial tak teruraikan x m ω. m dapat dibentuk dari faktor-faktor (p-1). Selain itu, syarat yang lain adalah m jika dikalikan dengan n hasilnya mendekati 160. Nilai 160 dipilih karena jika menggunakan nilai tersebut, tingkat keamanan sistem kriptografi kurva elips yang dihasilkan dapat setara dengan 1024 bit. Untuk pemilihan ω, dipilih ω yang merupakan elemen primitif (primitive root modulo p) dalam F. Dalam penelitian ini, parameter yang digunakan untuk 8 bit adalah n = 7, c = 1, m = 21, ω = 3 Tipe I, nm = 147 n = 6, c = 3, m = 30, ω = 2 Tipe II, nm = 180 sedangkan untuk 16 bit n = 14, c = 3, m = 12, ω = 2 Tipe II, nm = 168 n = 13, c = 1, m = 13, ω = 2 Tipe I/II, nm = 169 4
Untuk memudahkan penyebutan dalam tulisan ini, yang menggunakan parameter : - n = 7, c = 1, m = 21, ω = 3 selanjutnya akan disebut nomor 1 - n = 6, c = 3, m = 30, ω = 2 selanjutnya akan disebut nomor 2 - n = 14, c = 3, m = 12, ω = 2 selanjutnya akan disebut nomor 3 - n = 13, c = 1, m = 13, ω = 2 selanjutnya akan disebut nomor 4 Anggota F adalah polinomial, misalkan a(z) F maka a(z) dapat ditulis sebagai dengan dan a(z) = a z = a z + + a z +a z + a a i = 0, 1, 2,..., p i = 0, 1, 2,..., m-1 p = 2 n c Dalam implementasinya, a(z) dapat direpresentasikan dalam suatu array yang berisi nilai koefisien representasi a dengan i bersesuaian dengan indeks dari array tersebut. Representasi F diilustrasikan pada Gambar 2. Indeks m-1... 2 1 0 Isi a... a a a Gambar 2 Representasi F pada array Implementasi Operasi-operasi aritmetika pada optimal extension field ini diimplementasikan dalam bahasa pemrograman C. Bahasa pemrograman C merupakan bahasa prosedural sehingga dalam pengimplementasiannya berbentuk fungsi. Beberapa jenis tipe data dalam bahasa pemrograman C dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Tipe data dalam bahasa pemrograman C Tipe Data Panjang Bit char 8 short 16 long 32 Untuk merepresentasikan nilai-nilai dari suku polinomial, digunakan tipe data long unsigned yang mempunyai panjang 32 bit. Dalam penelitian ini, yang diimplementasikan adalah 8 bit dan 16 bit. Oleh karena itu, tipe data tersebut sudah dapat menampung hasil perkalian dalam aritmetika subfield yang nilai maksimalnya (2 16-1) (2 16-1) < (2 32-1). Dalam implementasinya, polinomial direpresentasikan dengan tipe data struct sebagai typedef struct { long unsigned *num; int length; } fpm; Operasi aritmetika optimal extension field ini diimplementasikan dalam bentuk fungsifungsi. Beberapa fungsi-fungsi dasar yang digunakan adalah : a. copy_fpm Fungsi ini digunakan sebagai operasi sama dengan (=) pada fpm. Fungsi ini akan menyalin nilai koefisien suku-suku polinomial dari suatu fpm ke fpm yang lain. Algoritme dari fungsi copy_fpm adalah sebagai Input : fpm b dan a Output : b = a 1. Alokasi memory untuk b sebesar a.length 2. n 0 3. while n < a.length do 4. b n a n 5. n n + 1 6. end while 7. b.length n Dari algoritme tersebut terlihat bahwa fungsi copy_fpm akan mengalokasikan memori untuk b sebesar a.length. Kemudian, semua variabel yang ada pada b diberikan nilai yang sama dengan a. b. cmp_fpm Fungsi ini digunakan untuk membandingkan nilai antara dua fpm. Fungsi ini mempunyai tiga kemungkinan return value (nilai kembali). Misal masukan pertama a dan masukan kedua b, ketiga kemungkinan return value dari fungsi cmp_fpm dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Return value fungsi cmp_fpm Return Value Keterangan (-1) a < b 0 a = b 1 a > b 5
Algoritme dari fungsi cmp_fpm adalah sebagai : Input : fpm a dan b Output : Nilai perbandingan antara a dan b 1. if a.length > b.length 2. return 1 3. else 4. if b.length > a. length 5. return (-1) 6. else 7. for n a.length-1 to 0 8. if a n > b n 9. return 1 10. end if 11. if a n < b n 12. return (-1) 13. end if 14. end for 15. end if 16. end if 17. return 0 Dari algoritme tersebut terlihat bahwa fungsi cmp_fpm akan membandingkan jumlah tempat di array yang digunakan pada a dan b. Jika a lebih banyak daripada b maka a > b dan sebaliknya jika b lebih banyak daripada a maka a < b. Jika array yang digunakan keduanya sama, maka akan dibandingkan mulai dari digit array paling signifikan antara keduanya. Jika semua nilai digit array sama, maka a = b. Aritmetika pada subfield F p Sebelum masuk ke algoritme optimal extension field F, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai aritmetika pada subfield F. Anggota F direpresentasikan sebagai polinomial yang suku-sukunya mempunyai nilai koefisien. Operasi aritmetika yang digunakan pada suku-suku polinomial tersebut adalah aritmetika field prima F. Dalam, aritmetika field prima terhadap koefisienkoefisien polinomial ini biasa disebut sebagai aritmetika pada subfield. Misal a(z) dan b(z) F, maka a(z) dan b(z) dapat ditulis sebagai a(z) = a z + + a z + a z + a b(z) = b z + + b z + b z + b Aritmetika yang digunakan pada a(z) dan b(z) secara keseluruhan adalah aritmetika optimal extension field. Akan tetapi, aritmetika yang digunakan pada operasi antar koefisien elemenelemen a(z) dan b(z) yaitu a i dan b i adalah aritmetika field prima F. Operasi-operasi aritmetika subfield F yang digunakan pada aritmetika F adalah sebagai : a. Penjumlahan Operasi penjumlahan dalam F adalah jumlah modulo p c = (a + b) mod p Nilai a, b < p maka (a + b) < 2p. Oleh karena itu, langkah reduksi yaitu modulo p dapat dengan mudah dilakukan dengan (a + b) p jika (a + b) > p Dengan begitu, dapat dipastikan bahwa c F. Aritmetika mendapat keuntungan dengan operasi ini karena tidak menyebabkan adanya carry. b. Pengurangan Operasi pengurangan dalam F juga merupakan operasi kurang modulo p c = (a - b) mod p Nilai a, b < p maka (a - b) > -p. Oleh karena itu, langkah modulo p dapat dengan mudah dilakukan dengan p - b + a jika a < b Dengan begitu, dapat dipastikan bahwa c F. c. Perkalian Operasi perkalian dalam F adalah kali modulo p c = (a. b) mod p Misal panjang bit a i, b i adalah w, maka panjang bit a.b < 2w. Oleh karena itu, langkah reduksi modulo p yang dilakukan akan memastikan c F dan membuat panjang bit c menjadi w kembali. Dalam penelitian ini, operasi modulo dalam F dilakukan dengan suatu fungsi khusus. d. Reduksi Operasi a mod b bila dijalankan secara konvensional adalah mengurangkan a dengan b sampai a < b. Akan tetapi, dengan menggunakan algoritme reduksi cepat yang dikemukakan Baley (2000), operasi modulo dapat dilakukan dengan lebih efisien. Algoritmenya adalah sebagai Input : n, c, p = 2 n c, x < p 2 Output : r = x modulo p 1. q 0 x >> n 2. r 0 x (q 0 << n) 6
3. r r 0 4. i 0 5. while q i > 0 do 6. q i+1 q 0 c >> n 7. r i+1 q 0 c (q i+1 c << n) 8. i i + 1 9. r r + r i 10. end while 11. while r > p do 12. r r p 13. end while e. Invers Misalkan a F, maka g F yang membuat (g. a) mod p = 1 atau bisa ditulis dengan (g. a) 1(mod p) disebut dengan invers a dalam F atau notasinya g = a. Ada dua macam algoritme invers dalam F yang diimplementasikan dalam penelitian ini, yaitu algoritme invers Extended Euclidean dan algoritme Binary Invers. Algoritme Extended Euclidean Input : a F, a > 0 Output : g = a F 1. u a, v p 2. x 1, x 0 3. while u > 1 do 4. quo v / u 5. rem v mod u 6. x = x x x 1.quo 7. v u 8. u rem 9. x x 1 10. x x 11. end while 12. g x mod p Algoritme Binary Invers Input : a F, a > 0 Output : g = a F 1. u a, v p 2. x 1, x 0 3. while ( u 1 dan v 1) do 4. while u genap do 5. u u >> 1 6. if x genap maka 7. x x >> 1 8. else 9. x (x + p) >> 1 10. end if 11. end while 12. while v genap do 13. v v >> 1 14. if x genap maka 15. x x >> 1 16. else 17. x (x + p) >> 1 18. end if 19. end while 20. if u > v maka 21. u u v 22. x x x 23. else 24. v v u 25. x x x 26. end if 27. end while 28. if u == 1 maka 29. g x mod p 30. else 31. g x mod p 32. end if Aritmetika pada F p m Operasi-operasi aritmetika pada F p m yang diimplementasikan adalah : a. Penjumlahan Fungsi ini melakukan proses penjumlahan dua anggota F. Rumusnya adalah sebagai misalkan a(z) = a z anggota F, maka dan b(z) = b z a(z) + b(z) = c(z) = c z dengan c = (a + b ) mod p. Algoritmenya adalah sebagai Input : F a dan b dengan m koefisien Output : a + b = c F 1. for i 0 to m 1 do 2. c = a + b 3. if c > p maka 4. c = c p 5. end if 6. end for Dengan melihat algoritme tersebut, dapat diketahui bahwa algoritme penjumlahan untuk F dilakukan dengan menjumlahkan koefisien-koefisien representasi polinomial yang bersesuaian. Kemudian jika diperlukan, 7
hasil tiap penjumlahan direduksi dengan cara mengurangkannya dengan p. b. Pengurangan Fungsi ini melakukan proses pengurangan dua anggota F. Rumus dan algoritmenya hampir sama dengan penjumlahan sebagai misalkan a(z) = a z anggota F, maka dan b(z) = b z a(z) b(z) = c(z) = c z dengan c = (a - b ) mod p. Algoritmenya adalah sebagai Input : F a dan b dengan m koefisien Output : a - b = c F 1. for i 0 to m 1 do 2. if a > b maka 3. c = a b 4. else 5. c = p b + a 6. end if 7. end for Dengan melihat algoritme tersebut, dapat diketahui bahwa algoritme pengurangan untuk F dilakukan dengan mengurangkan koefisien-koefisien representasi polinomial yang bersesuaian. Kemudian jika diperlukan (a i < b i ), p dikurangkan terlebih dahulu dengan b i kemudian baru ditambah dengan a i. c. Perkalian Dalam penelitian ini, diimplementasikan dua algoritme perkalian. Kedua algoritme tersebut adalah algoritme Schoolbook dan algoritme Karatsuba. Algoritme perkalian Schoolbook Algoritme Schoolbook adalah metode perkalian yang sudah biasa kita pakai sejak sekolah dasar. Rumusnya : c(z) = a(z)b(z) = a z b z c z dengan c = a b mod p. Contoh a(z) = a z + a z + a b(z) = b z + b z + b c(z) = a(z)b(z) c z = (a b )z + (a b + a b )z + (a b + a b + a b )z + (a b + a b )z + a b Algoritme perkalian Schoolbook adalah sebagai Input : F a dan b dengan m koefisien Output : ab = c 1. for i 0 to 2m 2 do 2. c 0 3. if i < m maka 4. s i 5. e i 6. else 7. s m 1 8. e i m 1 9. end if 10. for j s to e do 11. c c + a b 12. end for 13. end for Dengan menggunakan algoritme Schoolbook, operasi perkalian dilakukan sebanyak n 2 dan penjumlahan sebanyak (n-1) 2 (Mahfouz 2004). Algoritme perkalian Karatsuba Waktu untuk melakukan operasi kali lebih lama dibandingkan waktu untuk melakukan operasi jumlah. Metode perkalian Karatsuba mempunyai keunggulan dengan menurunkan jumlah operasi perkalian yang dilakukan. Pada penelitian ini, algoritme Karatsuba yang digunakan adalah algoritme Karatsuba satu iterasi. Contoh penggunaan algoritme Karatsuba pada polinomial berderajat 1 a(z)b(z) = (a z + a ) (b z + b ) = a b z + ((a + a ) (b + b ) a b a b )z + a b dari contoh tersebut, dapat dilihat bahwa operasi perkalian yang dilakukan hanya sebanyak 3 kali. Bila menggunakan algoritme 8
Schoolbook, operasi perkalian yang dilakukan adalah 4 kali. Selain menambah banyaknya operasi jumlah, algoritme ini juga memerlukan variabel yang lebih banyak untuk melakukan perhitungan. Algoritme Karatsuba satu iterasi adalah sebagai Input : a,b F dengan k koefisien, p Output : c = ab 1. for i 0 to k 1 do 2. D i a i b i mod p 3. end for 4. for i 0 to k 1 do 5. for j i+1 to k 1 6. D i,j (a i + a j )(b i + b j ) mod p 7. end for 8. end for 9. c 0 D 0 10. i 1 11. for i 0 to 2k 3 do 12. c i 0 13. if i ganjil, maka 14. for n i (i/2) to i 15. l i n 16. c i c i + D l,n - D l D n 17. end for 18. else 19. for n i (i/2) + 1 to i 20. l i n 21. c i c i + D l,n - D l D n 22. end for 23. c i c i + D i/2 24. end if 25. end for 26. c 2k 2 D k-1 Mahfouz (2004) mengatakan bahwa salah satu hal yang mempengaruhi kecepatan algoritme Karatsuba adalah rasio antara waktu eksekusi operasi kali dan waktu eksekusi operasi jumlah. Rasio yang diperlukan agar algoritme ini lebih cepat dibandingkan algoritme Schoolbook adalah lebih besar dari 3. Contoh untuk m = 3 misal r adalah rasio r = T mul / T add T mul = waktu operasi kali T add = waktu operasi tambah kompleksitas waktu algoritme Schoolbook T SB = 9T mul + 4T add = (9r + 4) T add Sedangkan kompleksitas algoritme Karatsuba T KA = 6T mul + 13T add = (6r + 13) T add Agar algoritme Karatsuba lebih cepat, maka d. Kuadrat T SB > T KA (9r + 4) T add > (6r + 13) T add 9r - 6r > 13 4 3r > 9 r > 3 Operasi kuadrat (pemangkatan dua) adalah sebuah bentuk khusus dari perkalian. Operasi kuadrat dapat dituliskan sebagai perkalian a(z)b(z) dengan a(z) = b(z). Operasi ini didefinisikan secara khusus karena memberikan suatu keuntungan dalam efisiensi operasi. Hasil dari operasi kali polinomial berderajat dua a(z)dan b(z) adalah a(z) = a z + a z + a b(z) = b z + b z + b c(z) = a(z)b(z) = (a b )z + (a b + a b )z + (a b + a b + a b )z + (a b + a b )z + a b Jika a(z) = b(z), maka hasilnya menjadi c(z) = a(z)a(z) = (a a )z + (a a + a a )z + (a a + a a + a a )z + (a a + a a )z + a a = (a a )z +(2a a )z +(2a a + a a )z + (2a a )z + a a Perkalian dengan 2 dapat dilakukan dengan pergeseran ke kiri sebanyak 1 bit. Dengan begitu, jumlah operasi kali menjadi lebih sedikit dan waktu operasinya pun menjadi lebih cepat. Implementasi algoritmenya adalah sebagai Input : a F dengan k koefisien, p Output : c = a 2 1. for i 0 to k 1 do 2. D i a i b i mod p 3. end for 4. c 0 D 0 5. i 1 6. for i 0 to 2k 3 do 7. c i 0 8. if i ganjil, maka 9. for n i (i/2) to i 10. c i c i + ((c l c n )<<1) mod p 11. end for 12. else 13. for n i (i/2) + 1 to i 14. c i c i + ((c l c n )<<1) mod p 15. end for 16. c i c i + D i/2 9
17. end if 18. end for 19. c 2k 2 D k-1 e. Reduksi Perkalian dua polinomial berderajat m pada umumnya akan menghasilkan polinomial berderajat 2m. Oleh karena itu, perlu dilakukan reduksi untuk memastikan hasil perkalian c(z) F. Rumus reduksi dalam aritmetika (reduksi dalam F ) adalah c z c z + (c + ωc )z mod f(z) Algoritme reduksi pada F adalah sebagai Input : F c dengan k koefisien, m, ω Output : c = c mod f (memastikan c F ) 1. if k > m maka 2. n 0 3. for i m to k 1 do 4. if ω = 2 maka 5. c c + (c << 1) 6. else 7. c c + (ωc ) 8. end if 9. n n + 1 10. end for 11. end if f. Pemangkatan Fungsi ini merupakan fungsi pemangkatan pada. Algoritme yang digunakan pada fungsi ini adalah left to right exponentiation. Algoritme ini bekerja dengan menggunakan nilai biner dari bilangan pemangkatnya (k). Algoritme ini melakukan proses perkalian polinomial sebanyak n dimana n adalah banyaknya bit k yang bernilai 1 dan melakukan operasi kuadrat sebanyak t dimana t adalah panjang bit k. Algoritmenya adalah sebagai Input : a F, m, ω, k Output : c = a mod f 1. c 1 2. n banyaknya bit bilangan k 3. while n > 0 do 4. c c 2 mod f 5. if k[n] == 1 maka 6. c c.a mod f 7. end if 8. n n 1 9. end while Pada penelitian ini, diimplementasikan dua fungsi pangkat. Pertama adalah fungsi pangkat yang operasi kali-nya menggunakan algoritme Schoolbook dan kedua adalah fungsi pangkat yang operasi kali-nya menggunakan algoritme Karatsuba. g. Invers Invers dari a F, a 0, adalah menemukan suatu a F sehingga aa 1 (mod f). Hankerson et al. (2004) dan Baley dan Paar (1998) menyebutkan bahwa Metode yang paling cepat dan relatif efisien untuk menemukan invers dari polinomial F adalah algoritme Invers Itoh dan Tsujii (ITI). Algoritme ini relatif sederhana untuk diimplementasikan karena hanya memerlukan beberapa operasi perkalian untuk menurunkan invers dalam F menjadi invers dalam subfield F. Algoritme tersebut menghitung dengan a = (a ) a mod f r = p 1 p 1 = p + + p + p + 1 (a ) 1 (mod p ) maka a F Untuk melakukan perhitungan efisien a = a mod f digunakan pemetaan Frobenius φ: F F didefinisikan dengan φ(a) = a. Jika Maka a = a z + + a z + a z + a φ : a a z () + + a z + a mod f Dengan bantuan pemetaan Frobenius tersebut, penghitungan a dapat dilakukan secara efisien menggunakan algoritme addition chain. Dalam penelitian ini, pemetaan Frobenius hanya dilakukan sampai i = 2. Hal ini ditujukan untuk menyederhanakan algoritme addition chain secara umum. Algoritme addition chain sendiri adalah sebagai Input : a F, p, m, ω, n, c Output : b = a = a mod f 1. div m >> 1 2. if m genap lakukan 3. t 1 a 10
4. b t 1 5. if div > 1 lakukan 6. t 2 t 1.a mod f 7. while div > 1 do 8. t 2 t 9. b t 2.b mod f 10. div div 1 11. end while 12. end if 13. else 14. t 1 a 15. t 2 t 1.a mod f 16. t 2 t 17. b t 2 18. while div > 1 do 19. t2 t 20. b t 2.b mod f 21. div div 1 22. end while 23. end if Langkah selanjutnya setelah didapat a adalah mencari a. a dapat dihitung dengan a a = a Nilai a adalah sebuah bilangan F. Langkah selanjutnya, yaitu mencari invers dari a dilakukan menggunakan algoritme invers dalam aritmetika F sehingga waktu eksekusinya pun relatif cepat. Langkah terakhir adalah mengalikan (a ) dengan a dan didapatkan a = (a ) a Algoritme invers F secara lengkap adalah Input : a F, a 0 Output : a F sehingga aa 1(mod f) 1. Digunakan algoritme addition-chain untuk mendapatkan a, dengan r =(p -1)/(p-1) 2. c a = a a F 3. dicari c sehingga cc 1 (mod p) melalui algoritme invers dalam F 4. return (c a ) Fungsi invers dalam penelitian ini diimplementasikan dalam 4 kombinasi, yaitu algoritme perkalian menggunakan Karatsuba dan algoritme invers dalam F menggunakan Binary Invers algoritme perkalian menggunakan Karatsuba dan algoritme invers dalam F menggunakan Extended Euclidean algoritme perkalian menggunakan Schoolbook dan algoritme invers dalam F menggunakan Binary Invers algoritme perkalian menggunakan Schoolbook dan algoritme invers dalam F menggunakan Extended Euclidean. Pengujian Pengujian dilakukan dengan cara membandingkan output yang dihasilkan sistem dengan output yang dihitung dengan cara manual sehingga dapat diuji kebenaran dari output tersebut. Pengujian dilakukan sebanyak 10 kali menggunakan koefisien-koefisien polinomial yang ditentukan secara acak. Kemudian, setelah dipastikan nilai kebenarannya, pada masing-masing fungsi aritmetika dihitung nilai rata-rata waktu eksekusinya. Hal tersebut dilakukan lagi sebanyak 10 kali kemudian dihitung waktu ratarata dari waktu rata-rata hasil pengujian terhadap masing-masing fungsi aritmetika. Invers dalam F p Waktu eksekusi operasi invers menggunakan dua algoritme invers tersebut terdapat pada Tabel 3. Tabel 3 Waktu eksekusi operasi invers dalam F p n c p Euclidean Binary 7 1 127 3,0019 2,8860 6 3 61 2,9862 2,8052 14 3 16381 3,4328 3,3732 3 1 8191 3,4160 3,3300 Dari Tabel 3 terlihat bahwa kecepatan rata-rata eksekusi menggunakan algoritme Binary Invers lebih cepat daripada menggunakan algoritme Extended Euclidean sejalan dengan yang dikemukakan oleh Crandall dan Promerance (2005) bahwa algoritme Binary sering lebih cepat dibandingkan Euclid. Hali ini terjadi karena algoritme Binary Invers menggunakan operasi shift, tambah, dan kurang yang cost-nya lebih kecil dibanding operasi kali dan bagi yang digunakan pada algoritme Extended Euclidean. Penjumlahan Hasil pengujian untuk fungsi penjumlahan ditampilkan pada Tabel 4. Tabel 4 Waktu eksekusi operasi jumlah PARAMETER n c m ω Waktu rata-rata (µs) 1 7 1 21 3 3,7879 2 6 3 30 2 4,2437 3 14 3 12 2 3,6524 4 13 1 13 2 3,8002 11
nomor 1 lebih cepat dibanding nomor 2 karena besar m pada nomor 1 lebih kecil dibanding pada nomor 2. Begitu juga nomor 3 lebih cepat daripada nomor 4 karena jumlah m yang lebih kecil. Pengurangan Selanjutnya, waktu eksekusi operasi pengurangan ini dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5 Waktu eksekusi operasi kurang PARAMETER n c m ω Waktu rata-rata (µs) 1 7 1 21 3 3,8065 2 6 3 30 2 4,1265 3 14 3 12 2 3,4924 4 13 1 13 2 3,5726 Seperti pada penjumlahan, nomor 1 lebih cepat dibanding nomor 2 karena besar m pada nomor 1 lebih kecil dibanding pada nomor 2. Begitu juga nomor 3 lebih cepat daripada nomor 4 karena nilai m yang lebih kecil. Perkalian Waktu eksekusi operasi perkalian dapat dilihat pada Tabel 6. Tabel 6 Waktu eksekusi operasi kali n c m ω Schoolbook Karatsuba 1 7 1 21 3 81,4489 90,5832 2 6 3 30 2 129,8420 138,9630 3 14 3 12 2 53,3200 57,7916 4 13 1 13 2 56,4304 63,6921 Pada operasi kali yang menggunakan algoritme Schoolbook, waktu eksekusi pada nomor 1 lebih cepat dibanding dengan nomor 2. Begitu juga menggunakan nomor 3 lebih cepat dibanding menggunakan nomor 4. Dari sini juga terlihat bahwa besar m sangat berpengaruh pada operasi kali. Sama seperti pada algoritme Schoolbook, pada operasi kali yang menggunakan algoritme Karatsuba, waktu eksekusi pada nomor 1 lebih cepat dibanding dengan nomor 2. Begitu juga menggunakan nomor 3 lebih cepat dibanding menggunakan nomor 4. Dari sini juga terlihat bahwa besar m sangat berpengaruh pada operasi kali. Apabila dibandingkan antara algoritme Schoolbook dan algoritme Karatsuba, terlihat bahwa waktu eksekusi pada operasi kali yang menggunakan algoritme Schoolbook lebih cepat dibanding jika menggunakan algoritme Karatsuba. Hal ini terjadi karena algoritme Karatsuba membutuhkan banyak variabel sehingga memerlukan lebih banyak waktu juga untuk mengakses memory. Selain itu, hal ini juga karena rasio (waktu eksekusi operasi kali / waktu operasi tambah) pada mesin yang digunakan kurang dari 3. Rata-rata waktu dari 1000 operasi kali dengan bilangan acak pada komputer yang digunakan pada penelitian ini adalah 3,024 µs sedangkan untuk operasi tambah adalah 2,544 µs. Jadi, rasionya kurang dari 3 yaitu sekitar 1,2. Kuadrat Waktu eksekusi operasi kuadrat dapat dilihat pada Tabel 7. Tabel 7 Waktu eksekusi operasi kuadrat n c m ω kuadrat Schoolbook 1 7 1 21 3 69,4140 78,9976 2 6 3 30 2 98,5839 127,2670 3 14 3 12 2 48,0476 53,3940 4 13 1 13 2 50,2219 55,3466 Waktu operasi menggunakan algoritme kuadrat secara khusus memang lebih cepat dibandingkan menggunakan algoritme perkalian Schoolbook. Hal ini terjadi karena operasi kali yang dilakukan pada algoritme kuadrat lebih sedikit dibanding jika menggunakan algoritme Schoolbook. Reduksi Tabel 8 menunjukkan waktu eksekusi operasi reduksi pada F. Tabel 8 Waktu eksekusi operasi reduksi PARAMETER n c m ω Waktu rata-rata (µs) 1 7 1 21 3 5,5863 2 6 3 30 2 5,0998 3 14 3 12 2 4,2744 4 13 1 13 2 4,0465 nomor 2 lebih cepat waktu eksekusinya dibanding nomor 1 karena nilai parameter ω pada nomor 2 adalah 2 sedangkan nilai ω pada nomor 1 adalah 3. Nilai parameter ω = 2 mempunyai keunggulan karena operasi kali pada algoritme reduksi dapat digantikan dengan shift yang relatif lebih cepat dibanding kali. nomor 3 dan 4 mempunyai nilai ω yang sama yaitu 2. Akan tetapi, nilai m pada nomor 3 lebih besar dibandingkan pada nomor 4. Oleh karena itu, eksekusi pada nomor 4 menjadi lebih cepat. 12
Pangkat Untuk waktu eksekusi fungsi pangkat ditampilkan pada Tabel 9. Tabel 9 Waktu eksekusi operasi pangkat menggunakan algoritme Schoolbook n c m ω Schoolbook Karatsuba 1 7 1 21 3 146,2190 153,8930 2 6 3 30 2 330,1010 344,9450 3 14 3 12 2 78,7081 82,0094 4 13 1 13 2 101,4660 109,2390 Fungsi pangkat bila menggunakan algoritme Schoolbook untuk mengalikan polinomial memang lebih cepat waktu eksekusinya. Hal ini sejalan dengan perbandingan waktu operasi kali antara dua algoritme tersebut pada penelitian ini, yaitu perkalian menggunakan algoritme Schoolbook lebih cepat dibanding menggunakan algoritme Karatsuba. Selain itu, juga terlihat bahwa hal yang mempengaruhi kecepatan eksekusi fungsi pangkat ini adalah nilai dari parameter m. Semakin besar nilai m, semakin lama waktu eksekusinya. Invers dalam F p m Waktu eksekusi fungsi invers yang menggunakan algoritme perkalian Schoolbook ditampilkan pada Tabel 10. Waktu eksekusi fungsi invers yang menggunakan algoritme perkalian Karatsuba ditampilkan pada Tabel 11. Tabel 10 Waktu eksekusi invers : algoritme perkalian Schoolbook n c m ω Binary Euclidean 1 7 1 21 3 50,1585 51,4815 2 6 3 30 2 143,6481 144,0145 3 14 3 12 2 15,6382 16,4149 4 13 1 13 2 16,3397 16,5830 Tabel 11 Waktu eksekusi invers : algoritme perkalian Karatsuba n c m ω Binary Euclidean 1 7 1 21 3 51,8911 52,4257 2 6 3 30 2 144,3946 145,0930 3 14 3 12 2 15,8894 16,5836 4 13 1 13 2 17,5118 17,8124 Dari dua tabel tersebut dapat disimpulkan bahwa operasi invers yang menggunakan algoritme perkalian Schoolbook mempunyai waktu eksekusi yang lebih cepat dibandingkan dengan operasi invers yang menggunakan algoritme perkalian Karatsuba. Jika dilihat dari algoritme invers dalam F, operasi invers yang menggunakan Binary Invers lebih cepat waktu eksekusinya dibandingkan dengan operasi invers yang menggunakan algoritme Extended Euclidean. Dari sini dapat disimpulkan bahwa kombinasi operasi invers F terbaik adalah menggunakan algoritme perkalian Schoolbook dan algoritme Binary Invers untuk perhitungan invers dalam F -nya. Kesimpulan KESIMPULAN DAN SARAN Implementasi Aritmetika Optimal Extension Field () menggunakan Bahasa Pemrograman C telah berhasil dilakukan. Aritmetika optimal extension field mempunyai beberapa keunggulan dalam komputasi. Hal yang paling penting dalam adalah memilih parameter yang sesuai dengan arsitektur mesin dan memenuhi tingkat keamanan yang ingin dicapai. dengan parameter c = 1 mempunyai keunggulan perhitungan modulo dalam F yang lebih cepat. dengan parameter ω = 2 mempunyai keunggulan dalam mempercepat perhitungan reduksi. Dari pengujian yang dilakukan sebanyak 10 kali dengan polinomial yang dipilih secara acak untuk masing-masing operasi pada optimal extension field, sistem menghasilkan output yang benar. Dari penelitian ini, didapat beberapa kesimpulan. Pada penjumlahan dan pengurangan, terlihat bahwa semakin besar nilai parameter m semakin lama waktu eksekusinya. Untuk operasi kali, waktu eksekusi menggunakan algoritme Schoolbook lebih cepat dibandingkan menggunakan algoritme Karatsuba. Salah satu hal yang menyebabkan algoritme Schoolbook lebih cepat dari Karatsuba adalah rasio antara waktu perkalian dan penjumlahan pada mesin yang digunakan pada penelitian ini adalah kurang dari 3 yaitu 1,2. Operasi kuadrat yang didefinisikan secara khusus lebih cepat waktu eksekusinya dibandingkan jika digunakan algoritme perkalian Schoolbook. Pada operasi reduksi, yang mempunyai nilai ω = 2 mempunyai waktu eksekusi lebih cepat dibanding nilai lainnya. Selain itu, semakin besar nilai m semakin lama juga waktu eksekusinya. Operasi pangkat yang menggunakan algoritme Schoolbook sebagai operasi kali mempunyai waktu eksekusi yang lebih cepat daripada menggunakan algoritme Karatsuba. Kombinasi yang menghasilkan waktu eksekusi tercepat untuk operasi invers F adalah menggunakan 13