Rk Mtriks Ats Rig A 8 Yuliyti Di Prtiwi (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM) Mifth Sigit Rhmwti (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM); N Fitri (Mhsisw S2 Mtemtik FMIPA UGM); Sri Whyui (Dose PS S2 Mtemtik Jurus Mtemtik FMIPA UGM) ABSTRAK Dlm rtikel ii k dibhs rk mtriks ts rig yg merupk geerlissi dri rk mtriks ts lpg Sudh dikethui, bhw pd rk mtriks ts lpg slh stu cr mecri rk megguk metode elimisi Guss deg megguk opersi bris tu kolom elemeter, sehigg diperoleh bsis dri rug kolom tu rug bris mtriks tersebut Dimesi dri rug kolom tu rug bris mtriks tersebut dikel sebgi rk mtriks ts lpg Mislk A Mmx(R) deg R rig komuttif deg eleme stu, mk k diperoleh submodul yg dibgu oleh kolom-kolom mtriks A, d ug diperoleh submodul yg dibgu oleh bris-bris mtriks A Ak tetpi submodul-submodul tersebut belum tetu mempuyi bsis Deg demiki, tidk dpt didefiisik rk mtriks A tersebut sebgi dimesi dri submodul-submodul tersebut Sebgi kibty rk mtriks ts rig tersebut tidk dpt dihitug megguk cr opersi bris elemeter tu opersi kolom elemeter Megigt rk mtriks ts lpg ug dpt diliht dri ili mior mtriks A yg tidk ol, dlm rtikel ii k dicob didefiisik rk mtriks ts rig mellui pedekt idel yg dibgu oleh mior-mior t t dri mtris A ts rig R mtriks tersebut Megigt rig R ug dpt membgi ol, mk dlm pedefiisi rk mtriks ts R pedekt dilkuk deg megguk pegeoly yki ik I dlh sutu idel mk pegeol (Aihiltor) dri I didefiisik sebgi himpu ARI x R rx 0, x I Dlm rtikel ii diperoleh pedefiisi rk mtriks ts rig R sebgi berikut rk (A) = mx t ARItA 0 deg ItA didefiisik sebgi idel yg dibgu oleh semu mior-mior berukur t t dri mtris A Seluty dituukk bhw pedefiisi ii tidk bertetg ik dipliksik pd mtriks ts lpg Kt kuci : rk mtriks ts lpg, idel, d ihiltor Pedhulu Sebelumy kit k bhs secr gris besr megei rk mtriks ts lpg Slh stu topik yg kit pelri dlh bgim mecri rk dri sutu mtriks lpg Adik F dlh sutu lpg, diberik mtriks M = M mx (F) = deg F dlh sutu mtriks yg eleme-elemey bersl dri lpg Deg megubh M tersebut medi mtriks eselo bris tereduksi mk dpt dikethui rug kolom d rug bris mtriks tersebut Didefiisik CS(M) =,,,, F dlh subrug di yg dibgu oleh kolom-kolom M =,,,, Kre CS(M) mempuyi bsis mk rk (CS(M)) = dim (CS(M)), rk (CS(M)) d dim (CS(M)) dlh byky kolom-kolom yg merupk bsis Kemudi Mklh dipresetsik dlm Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik deg tem Mtemtik d Pedidik Krkter dlm Pembelr pd tggl 3 Desember 20 di Jurus Pedidik Mtemtik FMIPA UNY
didefiisik pul RS(M) = F dlh subrug di yg dibgu oleh bris-bris M =,,,, deg rk (RS(M)) = dim (RS(M)), rk (CS(M)) Kit ug telh megethui bhw CS(M) = RS(M) sehigg dim (CS(M)) = dim (RS(M)) = rk (M) Kre lpg dlh betuk khusus dri sutu rig, mk kit megki lebih lut pkh cr mecri sutu rk dri sutu mtriks ts lpg dpt ug diguk utuk mecri rk mtriks ts rig 2 Rk Mtriks Ats Lpg Berikut ii k dibhs pedefiisi rk mtriks ts rig Defiisi 2: Mislk diberik lpg d deg Vektor-vektor: A = 2 m 2 22 m2 2 m,,,,,, yg di betuk dri bris-bris mtriks A disebut vektor-vektor bris mtriks A, d vektor-vektor:,, yg dibetuk dri kolom kolom mtriks A disebut vektor vektor mtriks A Seluty, subrug yg di bgu oleh vektor vektor bris mtriks A disebut rug bris A, d subrug yg di bgu oleh vektor vektor kolom mtriks A disebut rug kolom A Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 67
Cotoh : Diberik 2 0 3 4 Dri mtriks A tersebut, dpt diperoleh vektor vektor bris, yitu: 2,,0 d 3,,4 D vektor-vektor kolom, yitu: 2 3,, d 4 0 Perhtik bhw pd sutu mtriks, opersi bris elemeter tidk megubh rug bris sutu mtriks A, d opersi kolom elemeter ug tidk megubh rug kolom A Seluty, vektor-vektor bris tk ol yg berbetuk eselo dri mtriks A k membgu bsis utuk rug bris A, d vektorvektor kolom tk ol yg berbetuk eselo dri mtriks A k membgu bsis utuk rug kolom A Defiisi 22: Diberik F dlh lpg d Rk dri mtriks A, diotsik dlh dimesi dri rug bris d rug kolom A Perhtik bhw defiisi tersebut ug bis diytk sebgi mksiml dri vektor-vektor bris (tu vektor-vektor kolom) dri mtriks A yg bebs lier Deg kt li, ug bis diytk sebgi t mksiml dim mtriks A memiliki submtriks berkur t x t yg determiy tidk sm deg ol Cotoh 2: Diberik dlh lpg, d mtriks 2 0! Dlm mtriks B itu hy d du bris, di rk mtriks B tersebut dlh 2 Di li pihk, dlm mtriks B tersebut ug hy d du kolom yg bebs lier, yitu: 2 0 d Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 68
Kre utuk sebrg, ik 2 0 0 mk berlku: 0 2 0 0 Sehigg = 0 Oleh kre itu, rk mtriks B tersebut dlh 2 3 Rk Mtriks Ats Rig Berikut ii k dibhs pedefiisi rk mtriks ts rig Seperti hly mtriks ts lpg, mtriks ts rig dibgu oleh rug bris d rug kolom Mislk A M mx (R) d R rig komuttif deg eleme stu, mk A = m 2 2 22 m2 2 deg, 2, m R m Rug kolom dri mtriks A diotsik CS(A) = < C, C 2,, C > merupk sub modul di R m d bris dri mtriks A diotsik RS(A) = < R, R 2,, R m > merupk sub modul di R, tetpi sub modul-submodul ii belum tetu mempuyi bsis Kre itu perlu dilkuk iovsi sehigg dpt didefiisik rk mtriks ts rig yg tidk bertetg deg defiisi mtriks ts lpg Pd sutu rig dikel sebuh himpu 0, yg disebut Aihiltor dri idel I yg meyerupi pedefiisi bsis pd mtriks ts lpg, sehigg dpt diguk utuk mecri rk mtriks ts rig D megigt defiisi rk mtriks ts lpg yg telh kit bhs sebelumy ug dpt diliht dri sisi dy mior mtriks A yg tidk ol, mk pedefiisi rk mtriks ts rig dpt dilkuk mellui pegki idel dri R yg dibgu semu mior t t dri mtriks A ts rig R Defiisi 3: Dikethui R Rig komuttif deg eleme stu d A M mx (R) Utuk t =, 2,, r = mi {m, }, otsi I t (A) meytk idel dri R yg dibgu oleh semu mior mtriks A yg berukur t t Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 69
Hl ii dpt dielsk sebgi berikut: Kre A M mx (R), mk mtriks A dpt ditulis sebgi A = 2 m 2 22 m2 2 deg i R m Mior-mior mtriks A yg berukur dlh, 2,, 2, 22,, 2, m, m2,, m R Dri mior-mior ii dpt dibetuk idel yg dibgu oleh mior-mior dri mtriks A, diotsik I (A) Sedgk mior-mior berukur 2 2 dri mtriks A dlh 2 2 22, 2 3 23,, ( m )( ) m( ) ( m ) m R Dri mior-mior ii dpt dibetuk idel yg dibgu oleh mior-mior berukur 2 2 dri mtriks A, diotsik I 2 (A) Deg cr yg sm, ik t =, 2,, r = mi {m, }, mk dri miormior mtriks A yg beruku t t dpt dibetuk idel yg dibgu semu mior mtriks A yg berukur t t ( M txt ), diotsik I t (A) Kre M txt M 2M 2 + + t M t deg M txt I =, M M 2,, M t t, mior-mior mtriks berukur (t-) (t-), mk ( A) Berrti semu mior mtriks berukur t t dri mtriks A berd dlm I t- (A) Deg demiki I t I t-, sehigg diperoleh sift berikut ii Sift Jik A M mx (R), d t r = mi {m, }, berlku I r (A) I r- (A) I 2 (A) I (A) R () Telh dikethui bhw R di sii rig komuttif Kre R rig komuttif, mk R d {0} merupk idel dlm R, sehigg dlm ksus ii, t > mi {m, }, mk I t (A) = {0}, sedgk kre semu idel berd di dlm R mk bis dimbil I 0 (t) = R Akibty defiisi 3 dpt diperlus seperti berikut ii Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 70
(0), ik t > mi{m, } Defiisi 32: Utuk semu t Z berlku I t (A) = R, ik t 0 Deg demiki () medi {0}= I r+ (A) I r (A) I r- (A) I 2 (A) I (A) I 0 (A) = R (2) Lemm: Jik B M mxp (R) d C M px (R), mk I t (BC) I t (B) I t (A) utuk semu t Z Bukti: Pembukti lemm ii dpt dibgi dlm 3 ksus sebgi berikut: (i) Ksus Utuk t 0 mk I t (BC) = R Perhtik bhw I t (BC) = R rtiy I t (B) = R d I t (C) = R, kibty I t (B) I t (C) = R Deg demiki I t (BC) I t (B) I t (C) (ii) Ksus 2 Utuk t > mi {m, }, mk I t (BC) = {0} Pd bgi ii, pembukti dibgi dlm 4 sub ksus, yitu () Sub ksus I, m p Jik m p, mk I t (B) = {0} d {0} I t (C), kibty I t (B) I t (C) = {0} Deg demiki I t (BC) I t (B) I t (C) (b) Sub ksus 2, p m Jik p m, mk I t (C) = {0} d {0} I t (B), kibty I t (B) I t (C) = {0} Berrti I t (BC) I t (B) I t (C) (c) Sub ksus 3, p < m, d t > p Jik p < m, d t > p, mk I t (B) = {0}, I t (C) = {0}, I t (BC) = {0}, kibty I t (B) I t (C) = {0} Jdi I t (BC) I t (B) I t (C) (d) Sub ksus 4, p > m, d t > p Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 7
Jik p > m, d t > p, mk I t (BC) = {0}, I t (B) = {0}, I t (C) = {0}, kibty I t (B) I t (C) = {0} Deg demiki I t (BC) I t (B) I t (C) (iii) Ksus 3 Utuk t mi{m, } Ak dituukk I t (BC) I t (B) I t (C) Ekuivle deg meuukk I t (BC) I t (C) b I t (BC) I t (B) Yitu sebgi berikut, Ak dituukk I t (BC) I t (C) Mislk C diprtisi medi kolom, mk C = δ δ δ ), deg δ i ( 2 kolom ke-i dri C Telh dikethui, Jik A M mxp (R) d B M px (R), mk AB = ( A Kolom (B) A Kolom 2 (B) A Kolom (B)) Berdsrk sift tersebut, diperoleh: BC = Bδ Bδ Bδ ) = B( δ δ δ ) ( 2 2 Mislk Δ dlh sebrg mior t x t dri BC, yitu pembgu idel I t (BC), d kolom-kolom dri Δ bersl dri kolom-kolom ke, 2,, t deg < 2 < < t dri mtriks BC Kre { 2 δ, δ,, δ } { δ, δ,, δ }, mk 2 t I t ( δ, δ,, ) I (, 2,, ) I ( C) δ 2 t t δ δ δ = t d kre Δ I (( Bδ Bδ Bδ )) = I t ( B( δ δ 2 t t 2 t mk di sii cukup cukup utuk meuukk I ( B( δ δ δ )) I ( δ δ δ ) t 2 t t δ 2 t )) Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 72
Deg kt li, dlm membuktik Δ I t (C), tp megurgi keberlku secr umum, kit dpt megsumsik t = m Deg demiki Δ = Δ(i, i 2,, i ;, 2,, ) utuk sutu pilih ideks-ideks bris i < i 2 < < i m Mislk B = (b i ) M mxp (R), mk Row i (BC) = Row i (B) C Row ( C) Row2 ( C) = Row i (B) Rowp ( C) Row ( C) Row2 ( C) = ( bi bi 2 bip ) Rowp ( C) = b Row C) + b Row ( C) + b Row ( ) i ( i2 2 + ip p C p = bi Row = ( C), i =,2,, m Sehigg Δ( i, i2,, i ;,2,, ) = det(( Row ( BC);; Row ( BC)) = det(( p = b i Row ( BC );; p = b i Row i ( BC ))) = c det(( ( );; ( ))) Row C Row C,, = p c berbgi kost dlm R kibt ekspsi determi Simbol p,, = berrti umlh dimbil ts semu ideks,, Utuk msig-msig i =, 2,,, ideks i berl dri smpi p Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 73
Perhtik bhw utuk semu pilih,, det(( Row ( C);; Row ( C))) mior dri mtriks C Berrti utuk semu pilih,, det(( Row ( C);; Row ( C))) I (C) Determi-determi ii semuy berili ol ik > p Deg demiki Δ i, i,, i ;,2,, ) I t (C) Kre Δ sebrg pembgu ( 2 dri I t (BC), mk dpt disimpulk bhw I t (BC) I t (C) Terbukti b Ak dituukk I t (BC) I t (B) utuk semu t Z Sebelumy k dituukk I (A t ) = I (A), Z Mislk Δ = i, i,, i ;,, ) mior dri mtriks A deg ( 2 2 Z Mk i Δ = i i i = A = t A mior dri A t Deg demiki I (A t ) = I (A), Z Seluty, perhtik bhw I t (BC) = I t ((BC) t ) = I t (C t B t ) I t (B t ) = I t (B) Kre I t (BC) I t (C) d I t (BC) I t (B) mk I t (BC) I t (C) I t (B) Akibt : Mislk A M m (R), P Gl(m, R) d Q Gl(,R) Mk I t (PAQ) = I t (A) utuk semu t Z Deg Gl(m, R) Himpu mtriks ivertible dlm M m m (R), seggk himpu Gl(,R) merupk grup deg opersi kelipt mtriks Bukti: Berdsrk Lemm I t (PA) I t (A) = I t (P - (PA)) I t (PA) Kre itu I t (PA) = I t (A) utuk semu t Z Deg cr yg sm, dpt dituukk I t (PA) = I t (PAQ) Akibty I t (PAQ) = I t (PA) = I t (A) Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 74
Terbukti Sekrg kit defiisik rk mtriks A M m Defiisi 33: Aihiltor idel I dlm R, diotsik A R (I) dlh A R (I) = {r R ri = 0, i I} Sift 2 Jik I J mk A R (J) A R (I) Bukti : Dimbil sebrg r A R (J), mk r = 0, J Kre I J mk setip i I mk i J Jdi ri = 0, i I Deg kt li r A R (I) Kre r A R (J) r A R (I), berrti A R (J) A R (I) Terbukti Sedgk A R (R) = { r R rs = 0, s R} = {0} d A R (0) = { r R r0 = 0} = R Berdsrk (2) deg megguk sift mk utuk sebrg mtriks A M m (R) deg r = mi {m, } berlku R = A R ({0}) = A R ( I r+ (A)) A R (I r (A)) A R (I r- (A)) A R (I 2 (A)) A R (I (A)) A R (I 0 (A)) = A R (R) = {0} Atu {0} = A R (I 0 (A)) A R (I (A)) A R (I 2 (A)) A R (I r- (A)) A R (I r (A)) A R ( I r+ (A)) = R Jdi ik A R (I t (A)) {0} mk A R (I k (A)) {0}, k t Defiisi 34: Mislk A M m (R) Rk mtriks A, diotsik rk(a), didefiisik sebgi mks {t A R (I t (A)) = {0}} Berdsrk defiisi di ts, diperoleh beberp sift dri rk(a), sebgi berikut: Sift 3 Jik A M m (R), mk 0 rk(a) mi{m, } b Rk(A) = rk (A t ) c Rk(A) = rk(paq) utuk setip P Gl(m, R) d Q Gl(, R) d Rk(A) = 0 ik d hy ik A R (I (A)) {0} e Jik m =, mk rk(a) < ik d hy ik det(a) Z(R) Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 75
Z(R) merupk himpu pembgi ol dri R Bukti Kre I 0 (A) = R d A R (R) = 0, mk rk(a) 0 Di pihk li, ik t > mi{m, }, mk I t (A) = {0} d A R (0) = R, sehigg rk(a) mi {m, } Terbukti 0 rk(a) mi{m, } b Kre I (A) = I (A t ), Z, mk rk(a) = rk(a t ) Terbukti c Peryt ii sebgi kibt lgsug dri Akibt Sift d d e dituruk lgsug dri defiisi rk(a) Mislk A = ( i ) M m (R) Perhtik kembli sift bhw rk(a) = 0 ik d hy ik A R (I (A)) {0}, deg kt li, d x R tidk ol sedemiki sehigg x i = 0, utuk semu i =, 2,, m d =, 2,, Khususy, tidk seperti pd ksus klsik, sebuh mtriks dpt mempuyi rk ol wlupu mtriksy buk mtriks ol Berikut beberp cotoh perhitug rk mtriks Cotoh 3: Dikethui R = Z/ 6Z = {0,, 2, 3, 4, 5} 2 2 Mislk A = 2 2 ( R) 0 2 M Jels A buk mtriks ol Setip eleme di A merupk pembgi ol dlm R Mior berukur 2 2 dri mtriks A dlh 4 Diperoleh I 2 (A) = 4R Kre 43 = 0 d 40 = 0 deg 0 d 3 di dlm R, sedgk 4x 0, x R {0, 3}, mk A R (I 2 (A)) = {0, 3} = 3R {0} Sedgk I (A) = 2R Kre 20 = 0 d 23 =0 deg 0 d 3 di dlm R, sedgk 2x 0, x R {0, 3}, mk A R (I (A)) = {0, 3} = 3R {0} Berdsrk sift d, mk rk(a) = 0 2 b Mislk C = 2 2 ( R) 3 5 M I (C) = {, 2, 3, 5} = R + 2R + 3R + 5R = R, sehigg A R (C) = {0} I 2 (C) = 5R = R, sehigg A R (C) = {0} Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 76
Kre berdsrk defiisi, rk (A) = mks {t A R (I t (A)) = {0}}, mk rk(c) = 2 Hsil ii bersesui deg Sift e 4 Kesimpul Dri pembhs rk mtriks ts lpg d rk mtriks ts rig di ts, mk dpt disimpulk bhw defiisi rk ts rig dlh yg pllig umum, yg msih bis berlku dlm lpg Mislk A M m (R) Rk mtriks A, diotsik rk(a), didefiisik sebgi mks {t A R (I t (A)) = {0}} Jik F dlh lpg d, mk berlku 0 ik d hy ik 0 Dri sii diperoleh bhw dlh t mksiml sehigg mtriks A memiliki submtriks berukur t x t yg determiy tk ol Deg kt li, Deg demiki dpt dimbil kesimpul bhw defiisi rk mtriks ts rig tetp dipeuhi utuk sebrg mtriks ts lpg 5 Dftr Pustk Ato, H Albr Lier Elemeter, 987, Peerbit Erlgg, Jkrt Brow, W C, Mtrices Over Commuttive Rigs, 992, Mrcel Dekker Ic, New York Semir Nsiol Mtemtik d Pedidik Mtemtik Yogykrt, 3 Desember 20 MA 77